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Propiedades Principales de la Potenciación

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saraygarciamorales3

14/12/2025

Matemáticas

Potenciación

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14 de dic de 2025

•

5 páginas

Propiedades Principales de la Potenciación

S

saraygarciamorales3

@saraygarciamorales3_0x8s

Estas notas cubren conceptos esenciales de álgebra: operaciones con polinomios,... Mostrar más

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Dia 21 Mes 03 Año 2019 Realice $(3x^5-5x^2+4x-7)+(x^3-3x^2+2x+1)$ $3x^5-5x^2+4x-7+x^3-3x^2+2x+1$ $3x^5 + x^3-8x^2+6x-6$ Potenciación X

Operaciones con polinomios y potenciación

¿Alguna vez te has preguntado cómo simplificar expresiones algebraicas complicadas? Todo comienza con las operaciones básicas. Al sumar polinomios como en el ejemplo (3x5−5x2+4x−7)+(x3−3x2+2x+1)(3x^5-5x^2+4x-7)+(x^3-3x^2+2x+1), simplemente agrupamos términos semejantes para obtener 3x5+x3−8x2+6x−63x^5 + x^3-8x^2+6x-6.

La potenciación es multiplicar un número por sí mismo varias veces. Por ejemplo, X⋅X⋅X=x3X·X·X = x^3 en polinomios, mientras que 2×2×2=23=82×2×2=2^3=8. Podemos descomponer números como 64 o 625 en sus factores primos: 64=43=2664 = 4^3 = 2^6 y 625=54625 = 5^4.

La primera propiedad importante de potenciación establece que an⋅am=an+ma^n · a^m = a^{n+m}. Por ejemplo, a7⋅a8=a15a^7 · a^8 = a^{15} o X4⋅X=X5X^4 · X = X^5. Esta regla te permite simplificar expresiones con la misma base.

💡 Consejo útil: Cuando veas expresiones con la misma base pero diferentes exponentes, recuerda que al multiplicarlas, mantienes la base y sumas los exponentes. ¡Es mucho más fácil que multiplicar todo!

Dia 21 Mes 03 Año 2019 Realice $(3x^5-5x^2+4x-7)+(x^3-3x^2+2x+1)$ $3x^5-5x^2+4x-7+x^3-3x^2+2x+1$ $3x^5 + x^3-8x^2+6x-6$ Potenciación X

Propiedades de potenciación

Las matemáticas son como un juego con reglas claras. La segunda propiedad de potenciación dice que (an)m=an⋅m(a^n)^m = a^{n·m}. Esto significa que cuando elevas una potencia a otro exponente, multiplicas los exponentes. Por ejemplo, (a5)5=a25(a^5)^5 = a^{25}.

Esta regla se extiende a expresiones más complejas. Con (a⋅b)m=am⋅bm(a·b)^m = a^m·b^m, podemos desarrollar expresiones como (32m)5=310m5(3^2m)^5 = 3^{10}m^5 o (−4x)2=(−4)2(x)2=16x2(-4x)^2 = (-4)^2(x)^2 = 16x^2. Estas propiedades son herramientas poderosas para simplificar problemas.

Para fracciones, usamos la regla (xy)m=xmym(\frac{x}{y})^m = \frac{x^m}{y^m}. También es importante recordar que cuando trabajas con exponentes negativos, puedes convertirlos a exponentes positivos usando x−m=1xmx^{-m} = \frac{1}{x^m} o ax−m=axmax^{-m} = \frac{a}{x^m}.

🔑 Recuerda: En potenciación y radicación no pueden quedar exponentes negativos en la respuesta final. Siempre convierte los exponentes negativos a fracciones con exponentes positivos.

Dia 21 Mes 03 Año 2019 Realice $(3x^5-5x^2+4x-7)+(x^3-3x^2+2x+1)$ $3x^5-5x^2+4x-7+x^3-3x^2+2x+1$ $3x^5 + x^3-8x^2+6x-6$ Potenciación X

Más propiedades de potenciación

Continuar con las propiedades nos lleva a entender mejor cómo funcionan los exponentes. Por ejemplo, aplicando las reglas anteriores: ((x)3)5=x15((x)^3)^5 = x^{15}. Este tipo de simplificaciones son esenciales cuando trabajamos con expresiones algebraicas complejas.

La tercera propiedad nos muestra cómo manejar fracciones elevadas a potencias: (xy)m=xmym(\frac{x}{y})^m = \frac{x^m}{y^m}. Pero cuando tenemos exponentes negativos, debemos ser cuidadosos: (xy)−m=(yx)m(\frac{x}{y})^{-m} = (\frac{y}{x})^m.

Las propiedades adicionales incluyen A0=1A^0=1 (cualquier número elevado a cero es 1) y AmAn=Am−n\frac{A^m}{A^n} = A^{m-n} (al dividir potencias de la misma base, restas los exponentes). Estas reglas son fundamentales para resolver problemas más avanzados.

💡 Truco matemático: Cuando te encuentres con expresiones como x−mx^{-m}, recuerda que siempre puedes reescribirlas como 1xm\frac{1}{x^m}. Esta transformación convierte un exponente negativo en una fracción con exponente positivo.

Dia 21 Mes 03 Año 2019 Realice $(3x^5-5x^2+4x-7)+(x^3-3x^2+2x+1)$ $3x^5-5x^2+4x-7+x^3-3x^2+2x+1$ $3x^5 + x^3-8x^2+6x-6$ Potenciación X

Simplificando expresiones complejas

Ahora pongamos en práctica lo aprendido con ejercicios más complejos. Para simplificar W4Z4Z3W5\frac{W^4Z^4}{Z^3W^5}, podemos reescribirlo como W4−5Z4−3=W−1Z1=ZWW^{4-5}Z^{4-3} = W^{-1}Z^1 = \frac{Z}{W}.

Con expresiones más complicadas como [(AB)3(A−3B−2)2]4\left[\frac{(\frac{A}{B})^3}{(\frac{A^{-3}}{B^{-2}})^2}\right]^4, debemos aplicar varias propiedades en secuencia. Paso a paso llegamos a A54B48\frac{A^{54}}{B^{48}}.

Otro ejemplo: (3xyz)2(x−1y−2z+3)3\frac{(3xyz)^2}{(x^{-1}y^{-2}z^{+3})^3}. Al resolverlo correctamente, aplicamos las propiedades de potenciación para llegar a 9x5y8z−71=9x5y8z−7\frac{9x^5y^8z^{-7}}{1} = 9x^5y^8z^{-7}, que finalmente se escribe como 9x5y8z7\frac{9x^5y^8}{z^7}.

🔍 Observación importante: Al simplificar expresiones algebraicas complejas, trabaja por partes. Primero aplica las propiedades de potenciación dentro de los paréntesis, luego maneja los exponentes negativos, y finalmente combina todo en un solo resultado.

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Radicales y su relación con potenciación

Los radicales son otra forma de expresar potencias fraccionarias. Por ejemplo, 943\sqrt[3]{9^4} equivale a 94/39^{4/3}. Esto nos permite conectar lo que ya sabemos sobre potencias con las raíces.

La primera propiedad de radicales establece que ambmn=amnbmn=am/nbm/n\sqrt[n]{\frac{a^m}{b^m}} = \frac{\sqrt[n]{a^m}}{\sqrt[n]{b^m}} = \frac{a^{m/n}}{b^{m/n}}. Esta regla nos permite trabajar con radicales de fracciones.

La segunda propiedad dice que (amn)p=ampn=amp/n(\sqrt[n]{a^m})^p = \sqrt[n]{a^{mp}} = a^{mp/n}. Esto nos ayuda a simplificar expresiones donde elevamos un radical a otra potencia.

⚠️ ¡Atención!: Cuando te encuentres con −amn\sqrt[n]{-a^m} donde n es par y m es impar, la expresión no tiene solución en el conjunto de los números reales. Esto ocurre porque no podemos encontrar la raíz par de un número negativo.



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Pablo

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Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.

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Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.

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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.

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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

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Propiedades Principales de la Potenciación

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saraygarciamorales3

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Estas notas cubren conceptos esenciales de álgebra: operaciones con polinomios, propiedades de potenciación y radicación. Son herramientas matemáticas fundamentales que usarás constantemente en problemas más complejos, así que dominarlas ahora te ahorrará muchos dolores de cabeza en el futuro.

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Operaciones con polinomios y potenciación

¿Alguna vez te has preguntado cómo simplificar expresiones algebraicas complicadas? Todo comienza con las operaciones básicas. Al sumar polinomios como en el ejemplo (3x5−5x2+4x−7)+(x3−3x2+2x+1)(3x^5-5x^2+4x-7)+(x^3-3x^2+2x+1), simplemente agrupamos términos semejantes para obtener 3x5+x3−8x2+6x−63x^5 + x^3-8x^2+6x-6.

La potenciación es multiplicar un número por sí mismo varias veces. Por ejemplo, X⋅X⋅X=x3X·X·X = x^3 en polinomios, mientras que 2×2×2=23=82×2×2=2^3=8. Podemos descomponer números como 64 o 625 en sus factores primos: 64=43=2664 = 4^3 = 2^6 y 625=54625 = 5^4.

La primera propiedad importante de potenciación establece que an⋅am=an+ma^n · a^m = a^{n+m}. Por ejemplo, a7⋅a8=a15a^7 · a^8 = a^{15} o X4⋅X=X5X^4 · X = X^5. Esta regla te permite simplificar expresiones con la misma base.

💡 Consejo útil: Cuando veas expresiones con la misma base pero diferentes exponentes, recuerda que al multiplicarlas, mantienes la base y sumas los exponentes. ¡Es mucho más fácil que multiplicar todo!

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Propiedades de potenciación

Las matemáticas son como un juego con reglas claras. La segunda propiedad de potenciación dice que (an)m=an⋅m(a^n)^m = a^{n·m}. Esto significa que cuando elevas una potencia a otro exponente, multiplicas los exponentes. Por ejemplo, (a5)5=a25(a^5)^5 = a^{25}.

Esta regla se extiende a expresiones más complejas. Con (a⋅b)m=am⋅bm(a·b)^m = a^m·b^m, podemos desarrollar expresiones como (32m)5=310m5(3^2m)^5 = 3^{10}m^5 o (−4x)2=(−4)2(x)2=16x2(-4x)^2 = (-4)^2(x)^2 = 16x^2. Estas propiedades son herramientas poderosas para simplificar problemas.

Para fracciones, usamos la regla (xy)m=xmym(\frac{x}{y})^m = \frac{x^m}{y^m}. También es importante recordar que cuando trabajas con exponentes negativos, puedes convertirlos a exponentes positivos usando x−m=1xmx^{-m} = \frac{1}{x^m} o ax−m=axmax^{-m} = \frac{a}{x^m}.

🔑 Recuerda: En potenciación y radicación no pueden quedar exponentes negativos en la respuesta final. Siempre convierte los exponentes negativos a fracciones con exponentes positivos.

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Más propiedades de potenciación

Continuar con las propiedades nos lleva a entender mejor cómo funcionan los exponentes. Por ejemplo, aplicando las reglas anteriores: ((x)3)5=x15((x)^3)^5 = x^{15}. Este tipo de simplificaciones son esenciales cuando trabajamos con expresiones algebraicas complejas.

La tercera propiedad nos muestra cómo manejar fracciones elevadas a potencias: (xy)m=xmym(\frac{x}{y})^m = \frac{x^m}{y^m}. Pero cuando tenemos exponentes negativos, debemos ser cuidadosos: (xy)−m=(yx)m(\frac{x}{y})^{-m} = (\frac{y}{x})^m.

Las propiedades adicionales incluyen A0=1A^0=1 (cualquier número elevado a cero es 1) y AmAn=Am−n\frac{A^m}{A^n} = A^{m-n} (al dividir potencias de la misma base, restas los exponentes). Estas reglas son fundamentales para resolver problemas más avanzados.

💡 Truco matemático: Cuando te encuentres con expresiones como x−mx^{-m}, recuerda que siempre puedes reescribirlas como 1xm\frac{1}{x^m}. Esta transformación convierte un exponente negativo en una fracción con exponente positivo.

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Simplificando expresiones complejas

Ahora pongamos en práctica lo aprendido con ejercicios más complejos. Para simplificar W4Z4Z3W5\frac{W^4Z^4}{Z^3W^5}, podemos reescribirlo como W4−5Z4−3=W−1Z1=ZWW^{4-5}Z^{4-3} = W^{-1}Z^1 = \frac{Z}{W}.

Con expresiones más complicadas como [(AB)3(A−3B−2)2]4\left[\frac{(\frac{A}{B})^3}{(\frac{A^{-3}}{B^{-2}})^2}\right]^4, debemos aplicar varias propiedades en secuencia. Paso a paso llegamos a A54B48\frac{A^{54}}{B^{48}}.

Otro ejemplo: (3xyz)2(x−1y−2z+3)3\frac{(3xyz)^2}{(x^{-1}y^{-2}z^{+3})^3}. Al resolverlo correctamente, aplicamos las propiedades de potenciación para llegar a 9x5y8z−71=9x5y8z−7\frac{9x^5y^8z^{-7}}{1} = 9x^5y^8z^{-7}, que finalmente se escribe como 9x5y8z7\frac{9x^5y^8}{z^7}.

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Radicales y su relación con potenciación

Los radicales son otra forma de expresar potencias fraccionarias. Por ejemplo, 943\sqrt[3]{9^4} equivale a 94/39^{4/3}. Esto nos permite conectar lo que ya sabemos sobre potencias con las raíces.

La primera propiedad de radicales establece que ambmn=amnbmn=am/nbm/n\sqrt[n]{\frac{a^m}{b^m}} = \frac{\sqrt[n]{a^m}}{\sqrt[n]{b^m}} = \frac{a^{m/n}}{b^{m/n}}. Esta regla nos permite trabajar con radicales de fracciones.

La segunda propiedad dice que (amn)p=ampn=amp/n(\sqrt[n]{a^m})^p = \sqrt[n]{a^{mp}} = a^{mp/n}. Esto nos ayuda a simplificar expresiones donde elevamos un radical a otra potencia.

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4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

Pablo

usuario de iOS

Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.

Elena

usuaria de Android

Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

Ana

usuaria de iOS

Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.

Thomas R

usuario de iOS

Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.

Lisa M

usuaria de Android

A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.

David K

usuario de iOS

¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!

Sara

usuaria de Android

En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

Roberto

usuario de Android

Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!

Julia S

usuaria de Android

Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.

Marco B

usuario de iOS

Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.

Sarah L

usuaria de Android

Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.

Paul T

usuario de iOS

La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

Pablo

usuario de iOS

Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.

Elena

usuaria de Android

Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

Ana

usuaria de iOS

Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.

Thomas R

usuario de iOS

Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.

Lisa M

usuaria de Android

A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.

David K

usuario de iOS

¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!

Sara

usuaria de Android

En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

Roberto

usuario de Android

Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!

Julia S

usuaria de Android

Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.

Marco B

usuario de iOS

Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.

Sarah L

usuaria de Android

Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.

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