Matemáticas91Actualizado 11 de oct de 20263 páginas

Ecuaciones de la Parábola en el Origen y Fuera de Él

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Mariana Santana@mariluuu

¡Adéntrate en el fascinante mundo de las parábolas! Estas curvas, que vemos en la naturaleza y la arquitectura, tienen propiedades matemáticas especiales que aprenderemos a identificar y graficar usando fórmulas específicas según su orientación y posición.

Parabola con centro en el origen y fuera del origen – página 1

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Elementos de una Parábola

Las parábolas pueden ser horizontales o verticales, dependiendo de su orientación. Cada parábola tiene componentes clave que debemos identificar: el vértice (V) que es el punto donde la parábola cambia de dirección, el foco (F) que es un punto especial dentro de la parábola, y la directriz (D) que es una línea recta.

La distancia focal $p$ es la distancia entre el vértice y el foco, mientras que el lado recto (LR) representa la amplitud de la parábola y se calcula como LR = 4p. Las ecuaciones básicas son: para parábolas horizontales y^2 = 4px, y para parábolas verticales x^2 = 4py.

Veamos un ejemplo: Para la ecuación y^2 = 20x, podemos identificar que es una parábola horizontal. Comparando con la forma estándar y^2 = 4px, tenemos que 4p = 20, así que p = 5. Con este valor podemos calcular que el lado recto es LR = 4p = 4(5) = 20.

💡 Consejo: Para identificar rápidamente la orientación de una parábola, observa qué variable está elevada al cuadrado. Si es "y", la parábola es horizontal; si es "x", la parábola es vertical.

Parabola con centro en el origen y fuera del origen – página 2

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Graficando Parábolas

Cuando trabajamos con parábolas con centro en el origen, la ubicación de sus elementos sigue patrones predecibles. Para una parábola horizontal como y^2 = 20x (del ejemplo anterior), el vértice está en el origen V(0,0), el foco está a la derecha F(5,0) y la directriz es una línea vertical a la izquierda D $-5,0$ .

Al graficar, primero ubicamos estos puntos clave y luego trazamos la curva que pasa por el vértice y se abre hacia el foco. La parábola se expande según el valor del lado recto, que actúa como una medida de qué tan "abierta" o "cerrada" es la curva.

Para parábolas verticales como x^2 = -32y, el proceso es similar pero la orientación cambia. En este caso, p = -8 (negativo porque la parábola abre hacia abajo), el vértice sigue en V(0,0), pero el foco está abajo F $0,-8$ y la directriz arriba D(0,8), con un lado recto de 32.

🔑 Recuerda: El signo de p determina la dirección de apertura de la parábola. Si p > 0, la parábola se abre hacia la derecha (horizontal) o hacia arriba (vertical); si p < 0, se abre hacia la izquierda o hacia abajo.

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Parábolas con Centro Fuera del Origen

Cuando el centro de la parábola no está en el origen, usamos fórmulas más generales. Para parábolas verticales: $x-h$ ^2 = 4p $y-k$ , y para horizontales: $y-k$ ^2 = 4p $x-h$ , donde (h,k) es el vértice de la parábola.

Si tenemos una ecuación en forma general como y^2-4x-8y-16=0, necesitamos transformarla para identificar sus elementos. Primero, reorganizamos términos para obtener la forma estándar. En este caso, p=1, k=4, y h=-8, lo que significa que el vértice está en V $-8,4$ .

Para calcular el lado recto, siempre usamos la fórmula LR = 4|p|, lo que en este ejemplo nos da LR = 4. Al trabajar con estas ecuaciones, es útil identificar los coeficientes D, E y F, y usar fórmulas de conversión según sea una parábola vertical u horizontal.

🌟 Truco útil: Para convertir rápidamente ecuaciones generales, agrupa los términos con la misma variable y completa cuadrados perfectos. Esto te permitirá identificar fácilmente el vértice, el foco y la directriz.

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