Los Números Reales y sus Conjuntos

Los números reales (ℝ) incluyen varios conjuntos que seguramente ya conoces. Tenemos los números naturales $ℕ = {0, 1, 2, 3...}$, los enteros $ℤ = {..., -2, -1, 0, 1, 2,...}$ y los racionales (ℚ), que son todas las fracciones. ¡Todos estos están contenidos dentro de los reales!

Los números racionales tienen decimales que terminan o se repiten. Por ejemplo, 0.25 o 0.333... Por otro lado, los números irracionales tienen infinitos decimales que nunca se repiten, como π o √2. En la recta numérica, cada número real tiene su lugar exacto.

El valor absoluto es simplemente el valor de un número sin su signo. Por ejemplo, |-5| = 5. La distancia entre dos números se calcula como |x-y|. Los intervalos pueden ser abiertos (a,b), cerrados [a,b] o semiabiertos [a,b) o (a,b], dependiendo de si incluyen o no sus extremos.

💡 Dato útil: Cuando trabajas con números aproximados, el error absoluto es la diferencia entre el valor real y la aproximación, mientras que el error relativo es esa diferencia dividida por el valor real.

Potencias, Radicales y Logaritmos

Las potencias tienen propiedades muy útiles como a^n · a^m = a^$n+m$ y $a^n$^m = a^(n·m). Cuando el exponente es negativo, a^$-n$ = 1/a^n. Los exponentes racionales nos permiten escribir raíces, por ejemplo: a^$1/2$ = √a.

Los radicales también tienen propiedades importantes: √a · √b = √(a·b) y √a/√b = √(a/b). La racionalización es una técnica para eliminar raíces del denominador de una fracción.

Con los logaritmos, si log_a$m$ = z, entonces m = a^z. Sus propiedades clave incluyen: log_a(x·y) = log_a$x$ + log_a$y$ y log_a$x^y$ = y·log_a$x$.

Números Complejos

Los números complejos (ℂ) tienen la forma z = x + iy, donde i = √$-1$. La parte real es x y la parte imaginaria es y. Para sumarlos: $x+iy$ + $u+iv$ = $x+u$ + i$y+v$. Para multiplicarlos: x+iy$$u+iv = (xu-yv) + i(xv+uy).

El conjugado de un número complejo z = x+iy es z̄ = x-iy. El argumento de un número complejo se relaciona con sus coordenadas mediante: cosθ = x/√$x²+y²$ y senθ = y/√$x²+y²$.