Números Complejos

Un número complejo se escribe como z = a + bi, donde "a" es la parte real y "b" es la parte imaginaria. Estos números forman el conjunto ℂ. Puedes imaginarlos como puntos en un plano, donde el eje horizontal representa la parte real y el vertical la imaginaria.

La unidad imaginaria i es especial porque i² = -1. Sus potencias siguen un patrón que se repite cada 4: i⁰ = 1, i¹ = i, i² = -1, i³ = -i, i⁴ = 1, ¡y vuelve a empezar!

Para operar con números complejos, sumamos o restamos sus partes correspondientes: $a + bi$ + $c + di$ = $a + c$ + $b + d$i. El producto es un poco más complicado: $a + bi$ · $c + di$ = $ac - bd$ + $ad + bc$i.

💡 ¡Dato curioso! El conjugado de un número complejo z = a + bi es z* = a - bi. Si multiplicas un número complejo por su conjugado, obtienes un número real: z · z* = a² + b².

Los números complejos también se pueden expresar en forma polar (r∠θ) o trigonométrica $r(cos α + i sen α)$, donde r es el módulo (la distancia al origen) y θ o α es el argumento (el ángulo). La fórmula de De Moivre nos permite calcular potencias fácilmente: $cos α + i sen α$ⁿ = cos(nα) + i sen(nα).