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María José Zapata Muñoz
10/12/2025
Matemáticas
Matemáticas grado 11 - Recta tangente
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10 de dic de 2025
•
María José Zapata Muñoz
@araosapatauoz_mnpxa3
Las rectas tangentes son herramientas fundamentales en cálculo para entender... Mostrar más
El término tangente proviene del latín "tangere", que significa "tocar". Una recta tangente es aquella que toca a una curva en un solo punto P(a, f(a)), sin atravesarla.
Para hallar la ecuación de una recta tangente necesitamos dos elementos clave: las coordenadas del punto P donde la recta toca la curva (que generalmente son dadas) y la pendiente de la tangente (Mtan), que es lo que debemos calcular.
Como no podemos determinar directamente la pendiente de la tangente, usamos las rectas secantes como aproximación. Estas rectas pasan por el punto P y por otro punto Q sobre la curva, acercándonos a la tangente a medida que Q se aproxima a P.
💡 Las rectas secantes nos permiten aproximarnos a la recta tangente. Mientras más cerca esté el punto Q de P, más se parecerá la recta secante a la tangente que buscamos.
Si tenemos un punto fijo P(x, f(x)) y otro punto Q sobre la curva, la pendiente de la recta secante que pasa por ambos puntos es:
msec = / h
Cuando h se acerca a cero (h→0), las rectas secantes se aproximan cada vez más a la recta tangente, y sus pendientes se acercan a la pendiente de la tangente:
mtan = lim / h
Esta fórmula define formalmente la pendiente de la curva en el punto P. Para cada punto de la curva tendremos una recta tangente diferente con su propia pendiente.
🔍 Este límite es, de hecho, la definición de la derivada de una función en un punto, un concepto central en el cálculo diferencial.
Aplicando lo aprendido, podemos calcular rectas tangentes en diversos puntos de una función. Por ejemplo, para f(x) = x² - 3, primero calculamos la pendiente general:
mtan = lim / h = 2x
Para x = 1:
Este procedimiento nos permite encontrar la ecuación exacta de la recta que toca la curva en el punto dado, describiendo el comportamiento instantáneo de la función en ese punto.
🌟 La pendiente de la tangente nos dice qué tan rápido está cambiando la función en un punto específico. ¡Es como capturar la velocidad instantánea de la curva!
Las funciones trigonométricas también pueden tener rectas tangentes. Para f(x) = cos x, la pendiente de la tangente es:
mtan = lim / h = -sen x
Por ejemplo, en x = π:
Esta tangente es horizontal (pendiente cero), lo que significa que en x = π, la función cos x alcanza un valor extremo (en este caso, un mínimo).
💫 Una pendiente igual a cero indica que la función momentáneamente deja de crecer o decrecer. ¡Este concepto es fundamental para encontrar máximos y mínimos!
No todas las funciones tienen tangente en todos sus puntos. Por ejemplo, f(x) = |x| no tiene tangente en x = 0 porque:
Al calcular el límite mtan = lim , obtenemos:
Como los límites por la derecha y por la izquierda son diferentes, el límite general no existe. Esto significa que la función |x| no tiene una pendiente única en x = 0, y por tanto, no tiene recta tangente en ese punto.
⚠️ Los puntos donde una función no tiene tangente son puntos críticos importantes. Suelen representar esquinas, picos o cambios abruptos en el comportamiento de la función.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
¡Sí lo es! Tienes acceso totalmente gratuito a todo el contenido de la app, puedes chatear con otros alumnos y recibir ayuda inmeditamente. Puedes ganar dinero utilizando la aplicación, que te permitirá acceder a determinadas funciones.
App Store
Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuaria de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuaria de Android
Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
usuaria de Android
Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuaria de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuaria de Android
Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
usuaria de Android
Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
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Las rectas tangentes son herramientas fundamentales en cálculo para entender el comportamiento de las curvas. A través de ellas podemos determinar la pendiente en un punto específico de una función y analizar su comportamiento instantáneo, algo esencial para comprender conceptos... Mostrar más
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El término tangente proviene del latín "tangere", que significa "tocar". Una recta tangente es aquella que toca a una curva en un solo punto P(a, f(a)), sin atravesarla.
Para hallar la ecuación de una recta tangente necesitamos dos elementos clave: las coordenadas del punto P donde la recta toca la curva (que generalmente son dadas) y la pendiente de la tangente (Mtan), que es lo que debemos calcular.
Como no podemos determinar directamente la pendiente de la tangente, usamos las rectas secantes como aproximación. Estas rectas pasan por el punto P y por otro punto Q sobre la curva, acercándonos a la tangente a medida que Q se aproxima a P.
💡 Las rectas secantes nos permiten aproximarnos a la recta tangente. Mientras más cerca esté el punto Q de P, más se parecerá la recta secante a la tangente que buscamos.
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Cuando h se acerca a cero (h→0), las rectas secantes se aproximan cada vez más a la recta tangente, y sus pendientes se acercan a la pendiente de la tangente:
mtan = lim / h
Esta fórmula define formalmente la pendiente de la curva en el punto P. Para cada punto de la curva tendremos una recta tangente diferente con su propia pendiente.
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Aplicando lo aprendido, podemos calcular rectas tangentes en diversos puntos de una función. Por ejemplo, para f(x) = x² - 3, primero calculamos la pendiente general:
mtan = lim / h = 2x
Para x = 1:
Este procedimiento nos permite encontrar la ecuación exacta de la recta que toca la curva en el punto dado, describiendo el comportamiento instantáneo de la función en ese punto.
🌟 La pendiente de la tangente nos dice qué tan rápido está cambiando la función en un punto específico. ¡Es como capturar la velocidad instantánea de la curva!
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Las funciones trigonométricas también pueden tener rectas tangentes. Para f(x) = cos x, la pendiente de la tangente es:
mtan = lim / h = -sen x
Por ejemplo, en x = π:
Esta tangente es horizontal (pendiente cero), lo que significa que en x = π, la función cos x alcanza un valor extremo (en este caso, un mínimo).
💫 Una pendiente igual a cero indica que la función momentáneamente deja de crecer o decrecer. ¡Este concepto es fundamental para encontrar máximos y mínimos!
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No todas las funciones tienen tangente en todos sus puntos. Por ejemplo, f(x) = |x| no tiene tangente en x = 0 porque:
Al calcular el límite mtan = lim , obtenemos:
Como los límites por la derecha y por la izquierda son diferentes, el límite general no existe. Esto significa que la función |x| no tiene una pendiente única en x = 0, y por tanto, no tiene recta tangente en ese punto.
⚠️ Los puntos donde una función no tiene tangente son puntos críticos importantes. Suelen representar esquinas, picos o cambios abruptos en el comportamiento de la función.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
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Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
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Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
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Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
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Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
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Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
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Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
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