Matemáticas
16 de dic de 2025
166
5 páginas
María José Zapata Muñoz @araosapatauoz_mnpxa3
¿Te has preguntado por qué algunas gráficas de funciones tienen "saltos" o "huecos"? La continuidad es un concepto... Mostrar más
Imaginate dibujando una función sin levantar el lápiz del papel. Si podés hacerlo, ¡la función es continua! Una función es continua cuando su gráfica no tiene rupturas, saltos o huecos.
Para que una función sea continua en un punto a, debe cumplir tres condiciones súper importantes primero, f(a) debe estar definida (o sea, debe existir); segundo, el límite cuando x se acerca a 'a' debe existir; y tercero, ese límite debe ser igual a f(a).
💡 Tip clave Si falla cualquiera de estas tres condiciones, la función es discontinua en ese punto.
Cuando una función no es continua, puede ser por cuatro razones el límite no existe y f(a) tampoco está definida, el límite no existe pero f(a) sí está definida, el límite existe pero f(a) no está definida, o ambos existen pero son diferentes.
Las discontinuidades se clasifican en dos tipos principales. La discontinuidad esencial o infinita ocurre cuando el límite simplemente no existe. La discontinuidad removible pasa cuando el límite existe, pero la función no es continua en ese punto.
Mirá este ejemplo para f(x) = / en x=1, cuando sustituís x=1 obtenés 0/0, que no está definido. Pero si factorizás y simplifícas, el límite existe y vale 3. Como f(1) no existe pero el límite sí, tenés una discontinuidad removible.
💡 Dato importante Las discontinuidades removibles se pueden "arreglar" redefiniendo la función en ese punto.
En el segundo ejemplo, cuando redefinimos la función para que f(1)=1, pero el límite sigue siendo 3, la discontinuidad persiste porque el límite no es igual al valor de la función.
Cuando trabajás con f(x) = /, las cosas se ponen más interesantes. En x=1, obtenés la forma 0/0, pero después de simplificar, el límite existe y vale 1/3. Sin embargo, f(1) no está definida, así que tenés una discontinuidad removible.
La cosa cambia en x=-2. Aquí f(-2) = -3/0, que no está definida, y el límite también da ±∞, que tampoco existe. Esto es una discontinuidad esencial porque no podés "repararla".
💡 Recuerda Si el límite tiende a infinito, siempre es una discontinuidad esencial.
La diferencia clave es que las discontinuidades removibles se pueden solucionar, pero las esenciales son permanentes en la estructura de la función.
Las funciones por partes requieren un análisis especial de continuidad. Para f(x) con diferentes expresiones en diferentes intervalos, tenés que verificar los puntos donde cambian las "reglas" de la función.
En x=-1, todos los límites laterales dan 1, y f(-1)=1, entonces la función es continua. Pero en x=2, el límite por la izquierda da 4 mientras que por la derecha da 1. Como los límites laterales son diferentes, el límite no existe y tenés una discontinuidad esencial.
💡 Estrategia En funciones por partes, siempre revisá los puntos de "unión" entre las diferentes expresiones.
Este tipo de problemas aparece frecuentemente en exámenes, así que practicá identificando dónde cambian las reglas de la función.
El último ejemplo te muestra cómo encontrar valores específicos para hacer que una función sea continua en todo ℝ. Necesitás que los límites laterales sean iguales en los puntos de transición.
Para x=-3 y x=3, planteás que los límites laterales deben ser iguales. Esto te da un sistema de ecuaciones lineales 15a + 7b = 9 y 9a + 5b = 3. Resolviendo por eliminación, obtenés a = 2 y b = -3.
💡 Método efectivo Siempre verificá tu respuesta sustituyendo los valores encontrados en la función original.
Con estos valores, la función queda completamente definida y continua 3x + 12 para x < -3, 6x + 24 para -3 ≤ x ≤ 3, y x + 36 para x > 3.
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuaria de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuaria de Android
Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
usuaria de Android
Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuaria de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
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Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
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Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
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Imaginate dibujando una función sin levantar el lápiz del papel. Si podés hacerlo, ¡la función es continua! Una función es continua cuando su gráfica no tiene rupturas, saltos o huecos.
Para que una función sea continua en un punto a, debe cumplir tres condiciones súper importantes: primero, f(a) debe estar definida (o sea, debe existir); segundo, el límite cuando x se acerca a 'a' debe existir; y tercero, ese límite debe ser igual a f(a).
💡 Tip clave: Si falla cualquiera de estas tres condiciones, la función es discontinua en ese punto.
Cuando una función no es continua, puede ser por cuatro razones: el límite no existe y f(a) tampoco está definida, el límite no existe pero f(a) sí está definida, el límite existe pero f(a) no está definida, o ambos existen pero son diferentes.
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Mirá este ejemplo: para f(x) = / en x=1, cuando sustituís x=1 obtenés 0/0, que no está definido. Pero si factorizás y simplifícas, el límite existe y vale 3. Como f(1) no existe pero el límite sí, tenés una discontinuidad removible.
💡 Dato importante: Las discontinuidades removibles se pueden "arreglar" redefiniendo la función en ese punto.
En el segundo ejemplo, cuando redefinimos la función para que f(1)=1, pero el límite sigue siendo 3, la discontinuidad persiste porque el límite no es igual al valor de la función.
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La cosa cambia en x=-2. Aquí f(-2) = -3/0, que no está definida, y el límite también da ±∞, que tampoco existe. Esto es una discontinuidad esencial porque no podés "repararla".
💡 Recuerda: Si el límite tiende a infinito, siempre es una discontinuidad esencial.
La diferencia clave es que las discontinuidades removibles se pueden solucionar, pero las esenciales son permanentes en la estructura de la función.
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En x=-1, todos los límites laterales dan 1, y f(-1)=1, entonces la función es continua. Pero en x=2, el límite por la izquierda da 4 mientras que por la derecha da 1. Como los límites laterales son diferentes, el límite no existe y tenés una discontinuidad esencial.
💡 Estrategia: En funciones por partes, siempre revisá los puntos de "unión" entre las diferentes expresiones.
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El último ejemplo te muestra cómo encontrar valores específicos para hacer que una función sea continua en todo ℝ. Necesitás que los límites laterales sean iguales en los puntos de transición.
Para x=-3 y x=3, planteás que los límites laterales deben ser iguales. Esto te da un sistema de ecuaciones lineales: 15a + 7b = 9 y 9a + 5b = 3. Resolviendo por eliminación, obtenés a = 2 y b = -3.
💡 Método efectivo: Siempre verificá tu respuesta sustituyendo los valores encontrados en la función original.
Con estos valores, la función queda completamente definida y continua: 3x + 12 para x < -3, 6x + 24 para -3 ≤ x ≤ 3, y x + 36 para x > 3.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
¡Sí lo es! Tienes acceso totalmente gratuito a todo el contenido de la app, puedes chatear con otros alumnos y recibir ayuda inmeditamente. Puedes ganar dinero utilizando la aplicación, que te permitirá acceder a determinadas funciones.
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
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Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
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Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
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Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
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Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
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