¿Te has preguntado por qué algunas gráficas de funciones tienen...
Matemáticas298 visualizaciones·Actualizado 23 de jun de 2026·5 páginasFunciones continuas en matemáticas de grado 11
María José Zapata Muñoz@araosapatauoz_mnpxa3
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¿Qué significa que una función sea continua?
Imaginate dibujando una función sin levantar el lápiz del papel. Si podés hacerlo, ¡la función es continua! Una función es continua cuando su gráfica no tiene rupturas, saltos o huecos.
Para que una función sea continua en un punto a, debe cumplir tres condiciones súper importantes: primero, f debe estar definida (o sea, debe existir); segundo, el límite cuando x se acerca a 'a' debe existir; y tercero, ese límite debe ser igual a f.
💡 Tip clave: Si falla cualquiera de estas tres condiciones, la función es discontinua en ese punto.
Cuando una función no es continua, puede ser por cuatro razones: el límite no existe y f tampoco está definida, el límite no existe pero f sí está definida, el límite existe pero f no está definida, o ambos existen pero son diferentes.
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Tipos de discontinuidades y ejemplos prácticos
Las discontinuidades se clasifican en dos tipos principales. La discontinuidad esencial o infinita ocurre cuando el límite simplemente no existe. La discontinuidad removible pasa cuando el límite existe, pero la función no es continua en ese punto.
Mirá este ejemplo: para f = / en x=1, cuando sustituís x=1 obtenés 0/0, que no está definido. Pero si factorizás y simplifícas, el límite existe y vale 3. Como f(1) no existe pero el límite sí, tenés una discontinuidad removible.
💡 Dato importante: Las discontinuidades removibles se pueden "arreglar" redefiniendo la función en ese punto.
En el segundo ejemplo, cuando redefinimos la función para que f(1)=1, pero el límite sigue siendo 3, la discontinuidad persiste porque el límite no es igual al valor de la función.
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Analizando discontinuidades esenciales
Cuando trabajás con f = /, las cosas se ponen más interesantes. En x=1, obtenés la forma 0/0, pero después de simplificar, el límite existe y vale 1/3. Sin embargo, f(1) no está definida, así que tenés una discontinuidad removible.
La cosa cambia en x=-2. Aquí f = -3/0, que no está definida, y el límite también da ±∞, que tampoco existe. Esto es una discontinuidad esencial porque no podés "repararla".
💡 Recuerda: Si el límite tiende a infinito, siempre es una discontinuidad esencial.
La diferencia clave es que las discontinuidades removibles se pueden solucionar, pero las esenciales son permanentes en la estructura de la función.
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Funciones definidas por partes
Las funciones por partes requieren un análisis especial de continuidad. Para f con diferentes expresiones en diferentes intervalos, tenés que verificar los puntos donde cambian las "reglas" de la función.
En x=-1, todos los límites laterales dan 1, y f=1, entonces la función es continua. Pero en x=2, el límite por la izquierda da 4 mientras que por la derecha da 1. Como los límites laterales son diferentes, el límite no existe y tenés una discontinuidad esencial.
💡 Estrategia: En funciones por partes, siempre revisá los puntos de "unión" entre las diferentes expresiones.
Este tipo de problemas aparece frecuentemente en exámenes, así que practicá identificando dónde cambian las reglas de la función.
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Encontrando valores para continuidad
El último ejemplo te muestra cómo encontrar valores específicos para hacer que una función sea continua en todo ℝ. Necesitás que los límites laterales sean iguales en los puntos de transición.
Para x=-3 y x=3, planteás que los límites laterales deben ser iguales. Esto te da un sistema de ecuaciones lineales: 15a + 7b = 9 y 9a + 5b = 3. Resolviendo por eliminación, obtenés a = 2 y b = -3.
💡 Método efectivo: Siempre verificá tu respuesta sustituyendo los valores encontrados en la función original.
Con estos valores, la función queda completamente definida y continua: 3x + 12 para x < -3, 6x + 24 para -3 ≤ x ≤ 3, y x + 36 para x > 3.
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Anausuaria de iOS
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María José Zapata Muñoz@araosapatauoz_mnpxa3
¿Te has preguntado por qué algunas gráficas de funciones tienen "saltos" o "huecos"? La continuidad es un concepto clave del cálculo que te ayuda a entender cuándo una función fluye sin interrupciones y cuándo tiene rupturas que afectan su comportamiento.
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Imaginate dibujando una función sin levantar el lápiz del papel. Si podés hacerlo, ¡la función es continua! Una función es continua cuando su gráfica no tiene rupturas, saltos o huecos.
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Analizando discontinuidades esenciales
Cuando trabajás con f = /, las cosas se ponen más interesantes. En x=1, obtenés la forma 0/0, pero después de simplificar, el límite existe y vale 1/3. Sin embargo, f(1) no está definida, así que tenés una discontinuidad removible.
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