Límites y Factorización: Ejercicios Inspiradores

DaniDani

28/11/2025

Matemáticas

Límites , factorización

Asignaturas

Matemáticas

491

•

28 de nov de 2025

•

5 páginas

Límites y Factorización: Ejercicios Inspiradores

Name: Knowunity
Brand: Knowunity
Rating: 4.6 (95900 reviews)

DaniDani

@danidani_7

Los límites son una herramienta fundamental del cálculo que nos... Mostrar más

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Limite de la siguiente función
Lim
x²+8x+15
=
x=-3
x²+7x+12
=
9-24+12
9-21+12
Factorizar:
x²+8X+15 x²+7x+12
(-3)²+8(-3)+15
(-3)+7(-3)+12
oo

Calculando límites con factorización

Cuando te encuentres con una indeterminación, la factorización es tu mejor aliada. Vamos a ver cómo resolver el límite de un cociente de funciones cuadráticas.

Para calcular $\lim_{x \to -3} \frac{x^2 + 8x + 15}{x^2 + 7x + 12}$ , primero evaluamos directamente y obtenemos $\frac{0}{0}$ , que es una indeterminación. Esto nos indica que debemos factorizar ambos polinomios:

Numerador: $x^2 + 8x + 15 = (x+3)(x+5)$
Denominador: $x^2 + 7x + 12 = (x+3)(x+4)$

Ahora podemos simplificar el factor común $(x+3)$ y nos queda: $\lim_{x \to -3} \frac{x+5}{x+4} = \frac{-3+5}{-3+4} = \frac{2}{1} = 2$

💡 Recuerda que cuando obtienes $\frac{0}{0}$ al evaluar un límite, no significa que el límite no exista, sino que necesitas aplicar técnicas como la factorización para encontrar su valor real.

Evaluación directa de límites

Cuando una función es continua en el punto donde evaluamos el límite, podemos simplemente sustituir el valor directamente. Veamos algunos ejemplos:

A) $\lim_{x \to 2} 4x+1 = 4(2)+1 = 9$ Este es un límite sencillo de una función lineal.

B) $\lim_{x \to 1} 2x^2-5x = 2(1)^2-5(1) = 2-5 = -3$ Las funciones polinómicas son siempre continuas, así que evaluamos directamente.

C) $\lim_{x \to 2} \sqrt{2x^2-4} = \sqrt{2(2)^2-4} = \sqrt{8-4} = \sqrt{4} = 2$ Con funciones radicales, primero evaluamos la expresión dentro de la raíz.

D) $\lim_{x \to 1} \frac{3x^2+4x-1}{5x-3} = \frac{3(1)^2+4(1)-1}{5(1)-3} = \frac{6}{2} = 3$ En fracciones racionales, evaluamos numerador y denominador por separado.

🔑 La evaluación directa funciona cuando la función es continua en el punto donde calculas el límite. ¡Es el método más rápido cuando se puede aplicar!

Propiedades de los límites

Las propiedades de los límites nos permiten trabajar con expresiones complejas dividiéndolas en partes más simples. Esto facilita enormemente los cálculos.

Para calcular $\lim_{x \to 2} [F(x)+g(x)]$ donde $F(x) = 3x^2+2x+1$ y $g(x)=2x+1$ , podemos usar la propiedad de la suma:

Método 1: Primero sumamos las funciones y luego calculamos el límite $\lim_{x \to 2} [3x^2+2x+1+2x+1] = \lim_{x \to 2} [3x^2+4x+2] = 3(2)^2+4(2)+2 = 22$

Método 2: Calculamos los límites por separado y luego sumamos $\lim_{x \to 2} F(x) + \lim_{x \to 2} g(x) = [3(2)^2+2(2)+1] + [2(2)+1] = 17 + 5 = 22$

📌 El límite de una suma es igual a la suma de los límites. Esta propiedad se aplica también para productos, cocientes y otras operaciones, ¡lo que hace que problemas complejos sean mucho más manejables!

Ecuación de la recta y factorización de expresiones

Para encontrar la ecuación de una recta que pasa por dos puntos, usamos la fórmula punto-pendiente. Veamos cómo hacerlo con los puntos P(-1,-6) y Q(3,5).

Primero calculamos la pendiente: $m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{5-(-6)}{3-(-1)} = \frac{11}{4}$

Ahora usamos la fórmula punto-pendiente con P(-1,-6): $(y-(-6)) = \frac{11}{4}(x-(-1))$ $(y+6) = \frac{11}{4}(x+1)$ $(y+6) = \frac{11}{4}x + \frac{11}{4}$

También podemos factorizar expresiones algebraicas:

Diferencia de cuadrados: $x^2-25 = x^2-5^2 = (x+5)(x-5)$
Trinomio: $x^2-x-2 = (x-2)(x+1)$

🌟 La factorización no solo es útil para simplificar expresiones algebraicas, sino que también es clave para resolver límites cuando aparecen indeterminaciones como $\frac{0}{0}$ .

Límites con indeterminaciones

Cuando al evaluar un límite obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$ , la factorización nos permite encontrar el verdadero valor del límite.

Veamos el ejemplo: $\lim_{x \to 0} \frac{5x^2+x}{3x^2+x}$

Al evaluar directamente obtenemos $\frac{0}{0}$ , que es una indeterminación. Factorizamos: $\lim_{x \to 0} \frac{x(5x+1)}{x(3x^2+1)}$

El factor común $x$ aparece en numerador y denominador, podemos simplificarlo: $\lim_{x \to 0} \frac{5x+1}{3x^2+1}$

Ahora podemos evaluar directamente: $\lim_{x \to 0} \frac{5(0)+1}{3(0)^2+1} = \frac{1}{1} = 1$

💪 No te asustes cuando veas una indeterminación como $\frac{0}{0}$ . Es simplemente una señal de que necesitas aplicar técnicas como la factorización para revelar el verdadero valor del límite.

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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

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Los límites son una herramienta fundamental del cálculo que nos permite entender el comportamiento de funciones cuando nos acercamos a un valor específico. Vamos a explorar cómo calcular límites usando diferentes métodos y propiedades.

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Numerador: $x^2 + 8x + 15 = (x+3)(x+5)$
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Ahora podemos simplificar el factor común $(x+3)$ y nos queda: $\lim_{x \to -3} \frac{x+5}{x+4} = \frac{-3+5}{-3+4} = \frac{2}{1} = 2$

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B) $\lim_{x \to 1} 2x^2-5x = 2(1)^2-5(1) = 2-5 = -3$ Las funciones polinómicas son siempre continuas, así que evaluamos directamente.

C) $\lim_{x \to 2} \sqrt{2x^2-4} = \sqrt{2(2)^2-4} = \sqrt{8-4} = \sqrt{4} = 2$ Con funciones radicales, primero evaluamos la expresión dentro de la raíz.

D) $\lim_{x \to 1} \frac{3x^2+4x-1}{5x-3} = \frac{3(1)^2+4(1)-1}{5(1)-3} = \frac{6}{2} = 3$ En fracciones racionales, evaluamos numerador y denominador por separado.

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Propiedades de los límites

Las propiedades de los límites nos permiten trabajar con expresiones complejas dividiéndolas en partes más simples. Esto facilita enormemente los cálculos.

Para calcular $\lim_{x \to 2} [F(x)+g(x)]$ donde $F(x) = 3x^2+2x+1$ y $g(x)=2x+1$ , podemos usar la propiedad de la suma:

Método 1: Primero sumamos las funciones y luego calculamos el límite $\lim_{x \to 2} [3x^2+2x+1+2x+1] = \lim_{x \to 2} [3x^2+4x+2] = 3(2)^2+4(2)+2 = 22$

Método 2: Calculamos los límites por separado y luego sumamos $\lim_{x \to 2} F(x) + \lim_{x \to 2} g(x) = [3(2)^2+2(2)+1] + [2(2)+1] = 17 + 5 = 22$

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Ecuación de la recta y factorización de expresiones

Para encontrar la ecuación de una recta que pasa por dos puntos, usamos la fórmula punto-pendiente. Veamos cómo hacerlo con los puntos P(-1,-6) y Q(3,5).

Primero calculamos la pendiente: $m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{5-(-6)}{3-(-1)} = \frac{11}{4}$

Ahora usamos la fórmula punto-pendiente con P(-1,-6): $(y-(-6)) = \frac{11}{4}(x-(-1))$ $(y+6) = \frac{11}{4}(x+1)$ $(y+6) = \frac{11}{4}x + \frac{11}{4}$

También podemos factorizar expresiones algebraicas:

Diferencia de cuadrados: $x^2-25 = x^2-5^2 = (x+5)(x-5)$
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Cuando al evaluar un límite obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$ , la factorización nos permite encontrar el verdadero valor del límite.

Veamos el ejemplo: $\lim_{x \to 0} \frac{5x^2+x}{3x^2+x}$

Al evaluar directamente obtenemos $\frac{0}{0}$ , que es una indeterminación. Factorizamos: $\lim_{x \to 0} \frac{x(5x+1)}{x(3x^2+1)}$

El factor común $x$ aparece en numerador y denominador, podemos simplificarlo: $\lim_{x \to 0} \frac{5x+1}{3x^2+1}$

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