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Introducción a los Límites: Propiedades y Ejemplos

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C

chelseakamila.p22

23/12/2025

Matemáticas

Limites

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23 de dic de 2025

•

3 páginas

Introducción a los Límites: Propiedades y Ejemplos

C

chelseakamila.p22

@chelseakamila.p22_aywl

Las propiedades de los límites son herramientas fundamentales en el... Mostrar más

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(-1) # Propiedades de los Limites 1. M X=a x->a 3(+3) =d (χε) *-) (-1) TW 2.WM K=K X =a 2X ?P + x E - 5 x 2 + Exs + + x ) ٢٠٠٨-٤ KO +(-)-(Em

Propiedades de los Límites

Cuando trabajamos con límites, podemos usar varias propiedades que nos facilitan los cálculos. La primera propiedad establece que el límite de una constante es la constante misma: lim⁡x→aK=K\lim_{x \to a} K = K. Esto significa que si tienes un número fijo, su límite siempre será ese mismo número.

Para funciones, cuando xx se acerca a un valor aa, el límite de la función será el valor de la función en ese punto: lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x \to a} f(x) = f(a). Además, el límite de una constante multiplicada por una función es igual a la constante multiplicada por el límite de la función: lim⁡x→a(K⋅f(x))=K⋅lim⁡x→af(x)\lim_{x \to a} (K \cdot f(x)) = K \cdot \lim_{x \to a} f(x).

Las operaciones entre funciones también siguen reglas claras. El límite de una suma o resta de funciones es igual a la suma o resta de los límites: lim⁡x→a(f(x)±g(x))=lim⁡x→af(x)±lim⁡x→ag(x)\lim_{x \to a} (f(x) \pm g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) \pm \lim_{x \to a} g(x). Lo mismo ocurre con el producto: lim⁡x→a(f(x)⋅g(x))=lim⁡x→af(x)⋅lim⁡x→ag(x)\lim_{x \to a} (f(x) \cdot g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x).

💡 Consejo útil: Recuerda que estas propiedades te permiten descomponer límites complejos en partes más simples que puedes resolver por separado.

(-1) # Propiedades de los Limites 1. M X=a x->a 3(+3) =d (χε) *-) (-1) TW 2.WM K=K X =a 2X ?P + x E - 5 x 2 + Exs + + x ) ٢٠٠٨-٤ KO +(-)-(Em

Ejemplos de Aplicación

Veamos cómo aplicar estas propiedades con ejemplos sencillos. Para constantes, el límite siempre es el mismo valor: lim⁡x→44=4\lim_{x \to 4} 4 = 4. Si tenemos una expresión con variables, simplemente sustituimos: lim⁡x→−12x=2⋅(−1)=−2\lim_{x \to -1} 2x = 2 \cdot (-1) = -2.

Para funciones más complejas, descomponemos paso a paso. Por ejemplo, lim⁡x→−3(−3x)=−3⋅lim⁡x→−3x=−3⋅(−3)=9\lim_{x \to -3} (-3x) = -3 \cdot \lim_{x \to -3} x = -3 \cdot (-3) = 9. Este proceso se puede aplicar a polinomios completos como lim⁡x→−3(x4+2x3+5x2−3x+4)\lim_{x \to -3} (x^4 + 2x^3 + 5x^2 - 3x + 4), donde reemplazamos cada xx por −3-3.

Dos propiedades adicionales importantes son: el límite de un cociente de funciones es el cociente de los límites siempre que el límite del denominador no sea cero: lim⁡x→af(x)g(x)=lim⁡x→af(x)lim⁡x→ag(x)\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)}. Y también, el límite de una función elevada a una potencia es igual al límite de la función elevado a esa potencia: lim⁡x→a(f(x))k=(lim⁡x→af(x))k\lim_{x \to a} (f(x))^k = (\lim_{x \to a} f(x))^k.

🔍 Atención: Cuando resuelvas límites de polinomios, no necesitas aplicar las propiedades por separado a cada término; puedes sustituir directamente el valor de xx en toda la expresión.

(-1) # Propiedades de los Limites 1. M X=a x->a 3(+3) =d (χε) *-) (-1) TW 2.WM K=K X =a 2X ?P + x E - 5 x 2 + Exs + + x ) ٢٠٠٨-٤ KO +(-)-(Em

Resolución de Ejemplos

Al calcular límites sencillos como lim⁡x→3−3x\lim_{x \to 3} -3x, simplemente multiplicamos: −3⋅3=9-3 \cdot 3 = 9. Para expresiones como lim⁡x→04x2\lim_{x \to 0} 4x^2, sustituimos directamente: 4⋅(0)2=04 \cdot (0)^2 = 0. ¡Es realmente directo!

Los polinomios más complejos siguen el mismo principio. Por ejemplo, para calcular lim⁡x→0(x4+3x3−4x2+x−6)\lim_{x \to 0} (x^4 + 3x^3 - 4x^2 + x - 6), solo sustituimos x=0x = 0 en toda la expresión: (0)4+3(0)3−4(0)2+0−6=−6(0)^4 + 3(0)^3 - 4(0)^2 + 0 - 6 = -6. De forma similar, lim⁡x→1(3x4−2x2+10)=3(1)4−2(1)2+10=3−2+10=11\lim_{x \to 1} (3x^4 - 2x^2 + 10) = 3(1)^4 - 2(1)^2 + 10 = 3 - 2 + 10 = 11.

Podemos aplicar este método a cualquier polinomio. Para lim⁡x→4(5x3−2x+6)\lim_{x \to 4} (5x^3 - 2x + 6), tenemos 5(4)3−2(4)+6=5(64)−8+6=320−8+6=3185(4)^3 - 2(4) + 6 = 5(64) - 8 + 6 = 320 - 8 + 6 = 318. Y para expresiones más largas como lim⁡x→−3(x4+2x3+5x2−3x+4)\lim_{x \to -3} (x^4 + 2x^3 + 5x^2 - 3x + 4), la sustitución nos da (−3)4+2(−3)3+5(−3)2−3(−3)+4=81−54+45+9+4=85(-3)^4 + 2(-3)^3 + 5(-3)^2 - 3(-3) + 4 = 81 - 54 + 45 + 9 + 4 = 85.

🎯 Recuerda: La clave para resolver límites de polinomios es que si xx tiende a un valor donde todas las operaciones están definidas, el límite será simplemente el valor de la función en ese punto.



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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

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Introducción a los Límites: Propiedades y Ejemplos

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Las propiedades de los límites son herramientas fundamentales en el cálculo que te permiten resolver problemas complejos de forma más sencilla. Estas propiedades te ayudarán a calcular límites sin tener que sustituir directamente en expresiones complicadas.

(-1) # Propiedades de los Limites 1. M X=a x->a 3(+3) =d (χε) *-) (-1) TW 2.WM K=K X =a 2X ?P + x E - 5 x 2 + Exs + + x ) ٢٠٠٨-٤ KO +(-)-(Em

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Propiedades de los Límites

Cuando trabajamos con límites, podemos usar varias propiedades que nos facilitan los cálculos. La primera propiedad establece que el límite de una constante es la constante misma: lim⁡x→aK=K\lim_{x \to a} K = K. Esto significa que si tienes un número fijo, su límite siempre será ese mismo número.

Para funciones, cuando xx se acerca a un valor aa, el límite de la función será el valor de la función en ese punto: lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x \to a} f(x) = f(a). Además, el límite de una constante multiplicada por una función es igual a la constante multiplicada por el límite de la función: lim⁡x→a(K⋅f(x))=K⋅lim⁡x→af(x)\lim_{x \to a} (K \cdot f(x)) = K \cdot \lim_{x \to a} f(x).

Las operaciones entre funciones también siguen reglas claras. El límite de una suma o resta de funciones es igual a la suma o resta de los límites: lim⁡x→a(f(x)±g(x))=lim⁡x→af(x)±lim⁡x→ag(x)\lim_{x \to a} (f(x) \pm g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) \pm \lim_{x \to a} g(x). Lo mismo ocurre con el producto: lim⁡x→a(f(x)⋅g(x))=lim⁡x→af(x)⋅lim⁡x→ag(x)\lim_{x \to a} (f(x) \cdot g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x).

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Ejemplos de Aplicación

Veamos cómo aplicar estas propiedades con ejemplos sencillos. Para constantes, el límite siempre es el mismo valor: lim⁡x→44=4\lim_{x \to 4} 4 = 4. Si tenemos una expresión con variables, simplemente sustituimos: lim⁡x→−12x=2⋅(−1)=−2\lim_{x \to -1} 2x = 2 \cdot (-1) = -2.

Para funciones más complejas, descomponemos paso a paso. Por ejemplo, lim⁡x→−3(−3x)=−3⋅lim⁡x→−3x=−3⋅(−3)=9\lim_{x \to -3} (-3x) = -3 \cdot \lim_{x \to -3} x = -3 \cdot (-3) = 9. Este proceso se puede aplicar a polinomios completos como lim⁡x→−3(x4+2x3+5x2−3x+4)\lim_{x \to -3} (x^4 + 2x^3 + 5x^2 - 3x + 4), donde reemplazamos cada xx por −3-3.

Dos propiedades adicionales importantes son: el límite de un cociente de funciones es el cociente de los límites siempre que el límite del denominador no sea cero: lim⁡x→af(x)g(x)=lim⁡x→af(x)lim⁡x→ag(x)\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)}. Y también, el límite de una función elevada a una potencia es igual al límite de la función elevado a esa potencia: lim⁡x→a(f(x))k=(lim⁡x→af(x))k\lim_{x \to a} (f(x))^k = (\lim_{x \to a} f(x))^k.

🔍 Atención: Cuando resuelvas límites de polinomios, no necesitas aplicar las propiedades por separado a cada término; puedes sustituir directamente el valor de xx en toda la expresión.

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Resolución de Ejemplos

Al calcular límites sencillos como lim⁡x→3−3x\lim_{x \to 3} -3x, simplemente multiplicamos: −3⋅3=9-3 \cdot 3 = 9. Para expresiones como lim⁡x→04x2\lim_{x \to 0} 4x^2, sustituimos directamente: 4⋅(0)2=04 \cdot (0)^2 = 0. ¡Es realmente directo!

Los polinomios más complejos siguen el mismo principio. Por ejemplo, para calcular lim⁡x→0(x4+3x3−4x2+x−6)\lim_{x \to 0} (x^4 + 3x^3 - 4x^2 + x - 6), solo sustituimos x=0x = 0 en toda la expresión: (0)4+3(0)3−4(0)2+0−6=−6(0)^4 + 3(0)^3 - 4(0)^2 + 0 - 6 = -6. De forma similar, lim⁡x→1(3x4−2x2+10)=3(1)4−2(1)2+10=3−2+10=11\lim_{x \to 1} (3x^4 - 2x^2 + 10) = 3(1)^4 - 2(1)^2 + 10 = 3 - 2 + 10 = 11.

Podemos aplicar este método a cualquier polinomio. Para lim⁡x→4(5x3−2x+6)\lim_{x \to 4} (5x^3 - 2x + 6), tenemos 5(4)3−2(4)+6=5(64)−8+6=320−8+6=3185(4)^3 - 2(4) + 6 = 5(64) - 8 + 6 = 320 - 8 + 6 = 318. Y para expresiones más largas como lim⁡x→−3(x4+2x3+5x2−3x+4)\lim_{x \to -3} (x^4 + 2x^3 + 5x^2 - 3x + 4), la sustitución nos da (−3)4+2(−3)3+5(−3)2−3(−3)+4=81−54+45+9+4=85(-3)^4 + 2(-3)^3 + 5(-3)^2 - 3(-3) + 4 = 81 - 54 + 45 + 9 + 4 = 85.

🎯 Recuerda: La clave para resolver límites de polinomios es que si xx tiende a un valor donde todas las operaciones están definidas, el límite será simplemente el valor de la función en ese punto.

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David K

usuario de iOS

¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!

Sara

usuaria de Android

En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

Roberto

usuario de Android

Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!

Julia S

usuaria de Android

Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.

Marco B

usuario de iOS

Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.

Sarah L

usuaria de Android

Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.

Paul T

usuario de iOS

La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

Pablo

usuario de iOS

Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.

Elena

usuaria de Android

Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

Ana

usuaria de iOS

Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.

Thomas R

usuario de iOS

Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.

Lisa M

usuaria de Android

A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.

David K

usuario de iOS

¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!

Sara

usuaria de Android

En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

Roberto

usuario de Android

Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!

Julia S

usuaria de Android

Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.

Marco B

usuario de iOS

Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.

Sarah L

usuaria de Android

Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.

Paul T

usuario de iOS