Introducción a los Intervalos

Un intervalo representa todas las soluciones posibles de una inecuación. Por ejemplo, x > 5 tiene infinitas soluciones (como 6, 7, 8, 5.1...), incluyendo números decimales.

Los intervalos pueden expresarse de tres maneras diferentes: como la solución de una inecuación, mediante una gráfica en la recta numérica, o con notación de intervalos. Esta versatilidad nos permite elegir la representación más conveniente según el problema.

El primer tipo importante es el intervalo abierto, que se representa con paréntesis (a,b). En este caso, los números límites (a y b) no se incluyen en la solución. Por ejemplo, (1,3) incluye todos los números entre 1 y 3, pero no incluye al 1 ni al 3.

💡 Truco para recordar: En los intervalos abiertos (a,b), piensa que los paréntesis "abren" el intervalo, dejando fuera los valores extremos. En la recta numérica, estos puntos se representan con círculos vacíos.

Tipos de Intervalos

El intervalo cerrado se escribe con corchetes [a,b] e incluye los valores límite. Por ejemplo, [1,3] contiene todos los números entre 1 y 3, incluyendo el 1 y el 3. En la recta numérica, marcamos estos puntos con círculos rellenos.

Los intervalos semiabiertos combinan características de abiertos y cerrados:

• Semiabierto [a,b): incluye el límite inferior pero no el superior. Ejemplo: [-2,5) incluye al -2 pero no al 5.
• Semicerrado (a,b]: incluye el límite superior pero no el inferior. Ejemplo: (2,5] incluye al 5 pero no al 2.

Los intervalos infinitos representan soluciones sin límite en uno o ambos extremos. Utilizan el símbolo de infinito (∞), pero este nunca va con corchete cerrado, pues el infinito nunca se alcanza. Por ejemplo, (a,∞) representa todos los números mayores que a.

⚠️ Recuerda: El símbolo de infinito (∞) siempre va con paréntesis, nunca con corchete, porque no es un número que podamos alcanzar.

Intervalos Infinitos y Ejemplos

Los intervalos infinitos se utilizan cuando la solución se extiende indefinidamente en una dirección. Existen cuatro tipos principales:

• (a,∞): números mayores que a. Por ejemplo, x > 3 se escribe como (3,∞).
• [a,∞): números mayores o iguales que a. Por ejemplo, x ≥ -1 se escribe como [-1,∞).
• $-∞,b$: números menores que b. Por ejemplo, x < -1/3 se escribe como $-∞,-1/3$.
• (-∞,b]: números menores o iguales que b. Por ejemplo, x ≤ 5 se escribe como (-∞,5].

Veamos otros ejemplos prácticos: x ≤ 1 corresponde a (-∞,1], x ≥ 3/5 corresponde a [3/5,∞), y -2 < x < 5/2 corresponde a $-2,5/2$.

🔍 Consejo: Para traducir una inecuación a notación de intervalo, identifica primero los límites y luego decide si deben incluirse (corchetes) o no (paréntesis) según los símbolos < o ≤.