Asignaturas
Matemáticas
17 de dic de 2025
102
6 páginas
Saray :D @ara2911
El cálculo integral es la operación inversa a la derivación, permitiéndonos encontrar funciones originales a partir de sus... Mostrar más
El cálculo integral desarrolla un proceso opuesto al cálculo diferencial. Mientras que en la derivación encontramos la tasa de cambio de una función, en la integración buscamos la función original (o antiderivada) conociendo su derivada.
En contextos prácticos, si conocemos la función de costo marginal, ingreso marginal o utilidad marginal de una producción, podemos obtener las funciones totales correspondientes. Por ejemplo, si C'(x) = 5 + 2x es el costo marginal, buscamos la función de costo total C(x).
La antiderivada de una función no es única, sino que genera una familia de antiderivadas que solo se diferencian por una constante. Por eso, si integramos C'(x) = 5 + 2x, obtenemos C(x) = 5x + x² + C, donde C es la constante de integración.
💡 Dato clave En economía, la constante de integración en las funciones de costo suele representar los costos fijos del proceso productivo.
La integral indefinida de una función f(x) se representa como ∫f(x)dx, y su resultado es una función F(x) + C, donde F'(x) = f(x) y C es la constante de integración.
La regla más importante para integrar es la de potencias ∫x^n dx = x^/ + C, siempre que n ≠ -1. Esta regla funciona sumando 1 al exponente y dividiendo por este nuevo valor. Por ejemplo
Es crucial tener cuidado con los exponentes negativos y fraccionarios. Cuando integramos una función con x^(-1/2), estamos integrando 1/√x, y el resultado será 2√x + C.
💡 Recuerda Puedes verificar tus integrales derivando el resultado. Si al derivar obtienes la función original, ¡has integrado correctamente!
La integración tiene propiedades que facilitan su cálculo. Las tres más importantes son
Integral de una constante ∫k dx = kx + C. Por ejemplo, ∫5 dx = 5x + C.
Integral de una constante por una función ∫kf(x)dx = k∫f(x)dx. Esto significa que puedes sacar la constante. Por ejemplo, ∫5x^5 dx = 5∫x^5 dx = 5 + C = 5x^6/6 + C.
Integral de suma o resta ∫dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx. Puedes integrar término por término. Por ejemplo, ∫dx = ∫x^(2/3)dx + 3∫x^5dx - 10∫dx.
Cuando integras expresiones como √³x² (raíz cúbica de x²), debes expresarlas como potencias x^(2/3). Similarmente, una integral de 1 es simplemente x ∫dx = ∫1·dx = x + C.
💡 Consejo práctico Al enfrentar raíces, siempre conviértelas a notación de potencias fraccionarias. Por ejemplo, √x = x^(1/2) y ∛x = x^(1/3).
Aquí tienes algunos ejemplos resueltos que muestran cómo aplicar las reglas de integración
∫x³ dx = x⁴/4 + C Aplicamos la regla de potencias sumando 1 al exponente y dividiendo por el resultado.
∫21/x³ dx = 21∫x⁻³ dx = 21 + C = -21/2x² + C Primero sacamos la constante, luego integramos la potencia negativa.
∫ dx = 4∫x³ dx - ∫x² dx + ∫x dx - 10∫dx = 4 - x³/3 + x²/2 - 10x + C = x⁴ - x³/3 + x²/2 - 10x + C
∫∛x⁴ dx = ∫x^(4/3) dx = x^(7/3)/(7/3) + C = 3x^(7/3)/7 + C Convertimos la raíz cúbica a notación de potencia antes de integrar.
💡 Tip de estudio Cuando integres expresiones complejas, divídelas en términos simples. Integra cada término por separado y luego suma los resultados.
Algunas integrales aparecen tan frecuentemente que es útil memorizarlas
Un problema de valor inicial consiste en encontrar una función específica dentro de la familia de antiderivadas que satisface una condición concreta. Por ejemplo, si f'(x) = 3x² - 5x + 2e^x y f(0) = -3
💡 Recuerda En los problemas de valor inicial, la constante C no es arbitraria. Siempre debes calcularla usando la condición dada.
Veamos cómo resolver problemas más complejos usando la integración
Ejemplo 1 Encontrar f(x) si f(x) = ∫dx y f(3) = 30.
Retomando nuestro problema inicial, si f(x) = ∫dx y f(1) = 50
💡 Consejo práctico Cuando te pidan encontrar una función específica, asegúrate de incluir la constante de integración y calcularla usando las condiciones del problema.
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuaria de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuaria de Android
Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
usuaria de Android
Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
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Roberto
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Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
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El cálculo integral es la operación inversa a la derivación, permitiéndonos encontrar funciones originales a partir de sus derivadas. Este concepto es fundamental en economía, física y otras ciencias donde necesitamos reconstruir funciones totales conociendo sus tasas de cambio.
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El cálculo integral desarrolla un proceso opuesto al cálculo diferencial. Mientras que en la derivación encontramos la tasa de cambio de una función, en la integración buscamos la función original (o antiderivada) conociendo su derivada.
En contextos prácticos, si conocemos la función de costo marginal, ingreso marginal o utilidad marginal de una producción, podemos obtener las funciones totales correspondientes. Por ejemplo, si C'(x) = 5 + 2x es el costo marginal, buscamos la función de costo total C(x).
La antiderivada de una función no es única, sino que genera una familia de antiderivadas que solo se diferencian por una constante. Por eso, si integramos C'(x) = 5 + 2x, obtenemos C(x) = 5x + x² + C, donde C es la constante de integración.
💡 Dato clave: En economía, la constante de integración en las funciones de costo suele representar los costos fijos del proceso productivo.
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La integral indefinida de una función f(x) se representa como ∫f(x)dx, y su resultado es una función F(x) + C, donde F'(x) = f(x) y C es la constante de integración.
La regla más importante para integrar es la de potencias: ∫x^n dx = x^/ + C, siempre que n ≠ -1. Esta regla funciona sumando 1 al exponente y dividiendo por este nuevo valor. Por ejemplo:
Es crucial tener cuidado con los exponentes negativos y fraccionarios. Cuando integramos una función con x^(-1/2), estamos integrando 1/√x, y el resultado será 2√x + C.
💡 Recuerda: Puedes verificar tus integrales derivando el resultado. Si al derivar obtienes la función original, ¡has integrado correctamente!
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La integración tiene propiedades que facilitan su cálculo. Las tres más importantes son:
Integral de una constante: ∫k dx = kx + C. Por ejemplo, ∫5 dx = 5x + C.
Integral de una constante por una función: ∫kf(x)dx = k∫f(x)dx. Esto significa que puedes sacar la constante. Por ejemplo, ∫5x^5 dx = 5∫x^5 dx = 5 + C = 5x^6/6 + C.
Integral de suma o resta: ∫dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx. Puedes integrar término por término. Por ejemplo, ∫dx = ∫x^(2/3)dx + 3∫x^5dx - 10∫dx.
Cuando integras expresiones como √³x² (raíz cúbica de x²), debes expresarlas como potencias: x^(2/3). Similarmente, una integral de 1 es simplemente x: ∫dx = ∫1·dx = x + C.
💡 Consejo práctico: Al enfrentar raíces, siempre conviértelas a notación de potencias fraccionarias. Por ejemplo, √x = x^(1/2) y ∛x = x^(1/3).
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Aquí tienes algunos ejemplos resueltos que muestran cómo aplicar las reglas de integración:
∫x³ dx = x⁴/4 + C Aplicamos la regla de potencias sumando 1 al exponente y dividiendo por el resultado.
∫21/x³ dx = 21∫x⁻³ dx = 21 + C = -21/2x² + C Primero sacamos la constante, luego integramos la potencia negativa.
∫ dx = 4∫x³ dx - ∫x² dx + ∫x dx - 10∫dx = 4 - x³/3 + x²/2 - 10x + C = x⁴ - x³/3 + x²/2 - 10x + C
∫∛x⁴ dx = ∫x^(4/3) dx = x^(7/3)/(7/3) + C = 3x^(7/3)/7 + C Convertimos la raíz cúbica a notación de potencia antes de integrar.
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💡 Recuerda: En los problemas de valor inicial, la constante C no es arbitraria. Siempre debes calcularla usando la condición dada.
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Ejemplo 1: Encontrar f(x) si f(x) = ∫dx y f(3) = 30.
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💡 Consejo práctico: Cuando te pidan encontrar una función específica, asegúrate de incluir la constante de integración y calcularla usando las condiciones del problema.
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Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
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Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
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Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
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