Funciones Continuas

Una función f es continua en un punto x = a si cumple tres condiciones fundamentales: f(a) está definida (a pertenece al dominio), existe el límite cuando x tiende a a, y el valor de este límite coincide con f(a). En términos simples, puedes dibujar la gráfica sin levantar el lápiz del papel.

Cuando analizas continuidad, pueden aparecer discontinuidades. Si f(a) está definida y existe el límite, pero estos valores no coinciden (límite ≠ f(a)), tienes una discontinuidad removible - como un pequeño agujero en la gráfica que podría "rellenarse". Por otro lado, si f(a) está definida pero el límite no existe, se presenta una discontinuidad de salto, donde hay un brinco en la gráfica.

💡 Para recordar fácilmente: en una discontinuidad removible, la gráfica tiene un "punto faltante" que podría corregirse; en una de salto, hay un brinco que no se puede arreglar con un solo punto.

Propiedades de las Funciones Continuas

Las operaciones básicas entre funciones continuas mantienen la continuidad. Si f y g son continuas en x = a, también lo serán su suma, resta, producto y multiplicación por constantes. La división f/g será continua siempre que g(a) ≠ 0, lo que tiene sentido pues no podemos dividir entre cero.

Existen funciones que son continuas por naturaleza. Las funciones polinomiales son continuas en todo ℝ, mientras que las funciones racionales (cociente de polinomios) son continuas en todo su dominio. Lo mismo ocurre con las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas - todas son continuas donde están definidas.

La composición de funciones también preserva la continuidad. Si g es continua en a y f es continua en g(a), entonces la función compuesta f∘g será continua en a. Este resultado nos permite construir funciones continuas más complejas a partir de otras más simples.

💡 Piensa en la continuidad como una característica que se "hereda" cuando combinas funciones. Si trabajas con funciones conocidas (polinomios, trigonométricas, etc.), generalmente obtendrás funciones continuas en sus dominios.

Análisis de Discontinuidades

Al analizar gráficas, identificar el tipo de discontinuidad es crucial. Cuando ves un "salto" en la gráfica, como en x = a en nuestro ejemplo, estás ante una discontinuidad de salto donde los límites laterales no coinciden. El valor f(a) existe, pero no coincide con el límite.

Para las discontinuidades removibles, como en x = b del ejemplo, el límite existe pero no coincide con el valor de la función en ese punto. Gráficamente, aparece como un punto "hueco" con otro punto ubicado en una posición diferente.

Analicemos un caso práctico: f(x) = $3x - 1$/$x³ - 1$. Vemos que x = 1 no está en el dominio (denominador igual a cero). Al evaluar f(1) según una definición alternativa y compararlo con el límite cuando x tiende a 1, obtenemos valores distintos $-1/2 vs -5/3$, confirmando una discontinuidad.

🔑 Cuando analices funciones definidas por partes, verifica siempre qué sucede en los "puntos de empalme" entre las diferentes expresiones. Son los candidatos naturales para presentar discontinuidades.

Funciones Definidas por Partes

Al trabajar con funciones definidas por partes, los puntos de "empalme" entre diferentes expresiones son cruciales para analizar la continuidad. Por ejemplo, en una función donde x = c separa dos expresiones diferentes, la función será continua en ese punto si ambas expresiones dan el mismo valor.

Para resolver problemas donde necesitas encontrar constantes que garanticen continuidad, como en f(x) = sen x (si x ≤ c) y f(x) = ax + b (si x > c), debes igualar ambas expresiones en el punto c. Estableciendo sen c = ac + b, puedes encontrar relaciones entre las constantes que aseguran la continuidad.

En ejemplos más complejos con múltiples intervalos, como f(x) = -x+1 $si x < -1$, f(x) = x/2 $si -1 ≤ x ≤ 2$, y f(x) = x (si x > 2), debes verificar la continuidad en cada punto de transición $-1 y 2$. La función será continua si los valores coinciden en estos puntos críticos.

💡 La clave para resolver problemas de continuidad en funciones por partes está en los puntos de transición. Analiza qué ocurre exactamente en estos puntos evaluando los límites laterales y el valor de la función.

Límites al Infinito

Los límites cuando x tiende a infinito nos permiten entender el comportamiento de las funciones para valores extremadamente grandes. Una propiedad importante es que cualquier constante K dividida por x tiende a cero cuando x tiende a infinito: lim$x→∞$ K/x = 0.

Para calcular límites de funciones racionales cuando x tiende a infinito, la estrategia es dividir numerador y denominador por la potencia más alta de x. Por ejemplo, en lim$x→∞$ $-3x³ + x² - x + 7$/x³, dividimos todo por x³, obteniendo lim$x→∞$ $-3 + 1/x - 1/x² + 7/x³$ = -3.

En expresiones más complejas, debes identificar los términos dominantes. Para lim$x→∞$ $-2x⁴ + x - 1$/$5x² - x + 4$, después de dividir por x², obtenemos que el límite es -∞, pues el término -2x² en el numerador crece más rápido que el 5 en el denominador.

💡 Recuerda que al calcular límites al infinito, los términos con el mayor exponente "dominan" el comportamiento de la función. Puedes ignorar los términos de menor grado cuando x se hace muy grande.

Técnicas para Calcular Límites al Infinito

Al enfrentarte a límites con expresiones complejas como arctan$x/√(x²+1)$, puedes aplicar el teorema de sustitución de límites. Primero calcula el límite dentro de la función arctan, que en este caso es 1, y luego sustituye ese valor: arctan(1) = π/4.

Con raíces, recuerda identificar el término con mayor exponente después de aplicar la raíz. Por ejemplo, en una raíz cúbica de un polinomio como x⁴-5x²+1, el término dominante será x^(4/3) tras aplicar la raíz cúbica.

Para fracciones con potencias, como lim$x→∞$ $(3x-1)⁴(5x-2)⁶$/$(7x-1)¹⁰$, factoriza x en cada término. Esto te permite simplificar la expresión a $3-1/x$⁴$5-2/x$⁶/$7-1/x$¹⁰, que tiende a 3⁴·5⁶/7¹⁰ cuando x tiende a infinito.

🔍 Una técnica efectiva es factorizar la mayor potencia de x tanto en numerador como en denominador. Esto convierte expresiones complicadas en límites más manejables donde los términos con 1/x tienden a cero.

Simplificación de Límites Complejos

Para resolver límites de expresiones fraccionarias con potencias cuando x tiende a infinito, la factorización es clave. En expresiones como lim$x→∞$ $(3x-1)⁴(5x-2)⁶$/$(7x-1)¹⁰$, podemos extraer x del numerador y denominador.

Al reescribir cada término como $3-1/x$⁴$5-2/x$⁶/$7-1/x$¹⁰, vemos que cuando x tiende a infinito, los términos 1/x se aproximan a cero. Esto nos deja con la fracción de constantes 3⁴·5⁶/7¹⁰ como resultado final.

Esta técnica funciona para cualquier límite al infinito de expresiones racionales con potencias. Identifica primero la variable que tiende a infinito, factorízala apropiadamente, y simplifica la expresión hasta obtener términos donde puedas sustituir directamente el límite.

🧠 Visualiza lo que ocurre: cuando x se hace extremadamente grande, los términos como 1/x se vuelven insignificantes, dejando solo las constantes principales que definen el comportamiento de la función en el infinito.