Asignaturas
0
0
Cristal
18/12/2025
Matemáticas
Funciones
62
•
18 de dic de 2025
•
Cristal
@maria_rmz
Las funciones matemáticas son relaciones especiales que asignan a cada... Mostrar más
Una función es una relación donde cada elemento de A se relaciona con un único elemento de B. Puedes representarlas mediante expresiones algebraicas, gráficas o tablas de valores.
Las funciones pueden clasificarse según sus propiedades. Una función es inyectiva cuando no existen dos elementos diferentes del dominio que tengan la misma imagen. Es sobreyectiva cuando el rango de la función coincide con el codominio.
Cuando una función es tanto inyectiva como sobreyectiva, decimos que es biyectiva. Esta propiedad es especialmente útil porque permite establecer correspondencias exactas entre conjuntos.
💡 Consejo práctico: Imagina la inyectividad como una regla de "no repetir valores de llegada" y la sobreyectividad como "usar todos los valores posibles de llegada".
Las funciones pueden ser pares cuando f = f(x), o impares si f = -f(x). También pueden ser crecientes cuando x₁<x₂→f(x₁)<f(x₂) o decrecientes si x₁<x₂→f(x₁)>f(x₂).
Existen diversas familias de funciones. Las polinómicas incluyen funciones lineales y cuadráticas. Las racionales tienen forma f(x) = P(x)/Q(x), donde P y Q son polinomios. Las radicales contienen raíces con variables.
Las funciones trascendentes son aquellas que no son algebraicas, como las exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. También tenemos funciones especiales como valor absoluto, parte entera y funciones a trozos.
🔍 Recuerda: Cada tipo de función tiene características gráficas distintivas que te ayudarán a identificarlas rápidamente en exámenes.
El dominio (Dom f) es el conjunto de valores de x para los cuales existe la función, es decir, para los que podemos calcular f(x). Representa todos los valores de entrada válidos.
El codominio es el conjunto completo de valores posibles que podría tomar la función, mientras que el rango es el conjunto de valores que realmente toma f(x) cuando x recorre todo el dominio.
Por ejemplo, si F(x) = 2x con dominio F = {1,2,3,4,5}, entonces el rango F = {2,4,6,8,10}. El codominio podría ser más amplio, como {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}.
🌟 Nota importante: Piensa en el dominio como "lo que entra" y el rango como "lo que realmente sale". El codominio es "todo lo que podría salir".
Una función es creciente en un intervalo cuando al aumentar los valores de x, también aumentan los valores de f(x). Matemáticamente, esto significa que f(x₁) < f(x₂) siempre que x₁ < x₂.
Por otro lado, una función es decreciente en un intervalo cuando al aumentar los valores de x, disminuyen los valores de f(x). Es decir, f(x₁) > f(x₂) siempre que x₁ < x₂.
Estas propiedades son fundamentales para entender el comportamiento de las funciones y nos ayudan a analizar cómo cambian las magnitudes que representan.
📈 Visualízalo así: En una función creciente, la gráfica "sube" de izquierda a derecha; en una decreciente, "baja".
Una función es continua si su gráfica no tiene interrupciones, saltos ni oscilaciones indefinidas. Esto significa que puedes dibujar su gráfica sin levantar el lápiz del papel.
Las funciones discontinuas presentan puntos donde la continuidad se rompe. Estos puntos de discontinuidad pueden ser de dos tipos: puntos donde la función no está definida (no pertenecen al dominio) o puntos donde la gráfica presenta un salto.
Las discontinuidades son importantes porque representan situaciones donde el comportamiento de la función cambia drásticamente o deja de existir.
⚠️ Atención: Al resolver problemas, siempre verifica la continuidad de tus funciones, ya que las discontinuidades pueden afectar significativamente los resultados.
Una función es par si para cada x en su dominio, se cumple f = f(x). Geométricamente, las funciones pares presentan simetría respecto al eje y, creando un efecto de "espejo vertical".
Una función es impar si satisface la relación f = -f(x) para todo x en su dominio. Desde un punto de vista geométrico, una función impar posee simetría rotacional respecto al origen de coordenadas. Su gráfica no cambia si la rotamos 180 grados alrededor del origen.
Determinar si una función es par o impar es útil porque nos permite conocer su comportamiento en todo su dominio conociendo solo una parte de él.
🔄 Truco para recordar: En las funciones pares, los puntos (x,y) y están ambos en la gráfica. En las impares, si (x,y) está en la gráfica, entonces también lo está.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
¡Sí lo es! Tienes acceso totalmente gratuito a todo el contenido de la app, puedes chatear con otros alumnos y recibir ayuda inmeditamente. Puedes ganar dinero utilizando la aplicación, que te permitirá acceder a determinadas funciones.
App Store
Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuaria de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuaria de Android
Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
usuaria de Android
Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuaria de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuaria de Android
Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
usuaria de Android
Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
Cristal
@maria_rmz
Las funciones matemáticas son relaciones especiales que asignan a cada elemento del dominio exactamente un elemento del codominio. Estas herramientas nos permiten modelar situaciones del mundo real y resolver problemas complejos de manera sistemática.
Acceso a todos los documentos
Mejora tus notas
Únete a millones de estudiantes
Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.
Una función es una relación donde cada elemento de A se relaciona con un único elemento de B. Puedes representarlas mediante expresiones algebraicas, gráficas o tablas de valores.
Las funciones pueden clasificarse según sus propiedades. Una función es inyectiva cuando no existen dos elementos diferentes del dominio que tengan la misma imagen. Es sobreyectiva cuando el rango de la función coincide con el codominio.
Cuando una función es tanto inyectiva como sobreyectiva, decimos que es biyectiva. Esta propiedad es especialmente útil porque permite establecer correspondencias exactas entre conjuntos.
💡 Consejo práctico: Imagina la inyectividad como una regla de "no repetir valores de llegada" y la sobreyectividad como "usar todos los valores posibles de llegada".
Acceso a todos los documentos
Mejora tus notas
Únete a millones de estudiantes
Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.
Las funciones pueden ser pares cuando f = f(x), o impares si f = -f(x). También pueden ser crecientes cuando x₁<x₂→f(x₁)<f(x₂) o decrecientes si x₁<x₂→f(x₁)>f(x₂).
Existen diversas familias de funciones. Las polinómicas incluyen funciones lineales y cuadráticas. Las racionales tienen forma f(x) = P(x)/Q(x), donde P y Q son polinomios. Las radicales contienen raíces con variables.
Las funciones trascendentes son aquellas que no son algebraicas, como las exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. También tenemos funciones especiales como valor absoluto, parte entera y funciones a trozos.
🔍 Recuerda: Cada tipo de función tiene características gráficas distintivas que te ayudarán a identificarlas rápidamente en exámenes.
Acceso a todos los documentos
Mejora tus notas
Únete a millones de estudiantes
Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.
El dominio (Dom f) es el conjunto de valores de x para los cuales existe la función, es decir, para los que podemos calcular f(x). Representa todos los valores de entrada válidos.
El codominio es el conjunto completo de valores posibles que podría tomar la función, mientras que el rango es el conjunto de valores que realmente toma f(x) cuando x recorre todo el dominio.
Por ejemplo, si F(x) = 2x con dominio F = {1,2,3,4,5}, entonces el rango F = {2,4,6,8,10}. El codominio podría ser más amplio, como {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}.
🌟 Nota importante: Piensa en el dominio como "lo que entra" y el rango como "lo que realmente sale". El codominio es "todo lo que podría salir".
Acceso a todos los documentos
Mejora tus notas
Únete a millones de estudiantes
Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.
Una función es creciente en un intervalo cuando al aumentar los valores de x, también aumentan los valores de f(x). Matemáticamente, esto significa que f(x₁) < f(x₂) siempre que x₁ < x₂.
Por otro lado, una función es decreciente en un intervalo cuando al aumentar los valores de x, disminuyen los valores de f(x). Es decir, f(x₁) > f(x₂) siempre que x₁ < x₂.
Estas propiedades son fundamentales para entender el comportamiento de las funciones y nos ayudan a analizar cómo cambian las magnitudes que representan.
📈 Visualízalo así: En una función creciente, la gráfica "sube" de izquierda a derecha; en una decreciente, "baja".
Acceso a todos los documentos
Mejora tus notas
Únete a millones de estudiantes
Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.
Una función es continua si su gráfica no tiene interrupciones, saltos ni oscilaciones indefinidas. Esto significa que puedes dibujar su gráfica sin levantar el lápiz del papel.
Las funciones discontinuas presentan puntos donde la continuidad se rompe. Estos puntos de discontinuidad pueden ser de dos tipos: puntos donde la función no está definida (no pertenecen al dominio) o puntos donde la gráfica presenta un salto.
Las discontinuidades son importantes porque representan situaciones donde el comportamiento de la función cambia drásticamente o deja de existir.
⚠️ Atención: Al resolver problemas, siempre verifica la continuidad de tus funciones, ya que las discontinuidades pueden afectar significativamente los resultados.
Acceso a todos los documentos
Mejora tus notas
Únete a millones de estudiantes
Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.
Una función es par si para cada x en su dominio, se cumple f = f(x). Geométricamente, las funciones pares presentan simetría respecto al eje y, creando un efecto de "espejo vertical".
Una función es impar si satisface la relación f = -f(x) para todo x en su dominio. Desde un punto de vista geométrico, una función impar posee simetría rotacional respecto al origen de coordenadas. Su gráfica no cambia si la rotamos 180 grados alrededor del origen.
Determinar si una función es par o impar es útil porque nos permite conocer su comportamiento en todo su dominio conociendo solo una parte de él.
🔄 Truco para recordar: En las funciones pares, los puntos (x,y) y están ambos en la gráfica. En las impares, si (x,y) está en la gráfica, entonces también lo está.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
¡Sí lo es! Tienes acceso totalmente gratuito a todo el contenido de la app, puedes chatear con otros alumnos y recibir ayuda inmeditamente. Puedes ganar dinero utilizando la aplicación, que te permitirá acceder a determinadas funciones.
0
Herramientas Inteligentes NUEVO
Transforma estos apuntes en: ✓ 50+ Preguntas de Práctica ✓ Fichas Interactivas ✓ Examen Completo de Práctica ✓ Esquemas de Ensayo
App Store
Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuaria de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuaria de Android
Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
usuaria de Android
Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuaria de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuaria de Android
Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
usuaria de Android
Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
Matemáticas
Inglés
Biologia
Química