Matemáticas49Actualizado 8 de oct de 20262 páginas

Cómo Resolver Ejercicios de Ecuación Canónica Fácilmente

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Daniela García@danigarcia1905

Vamos a explorar las elipses y sus propiedades. Aprenderemos a calcular sus elementos característicos como focos, vértices y ejes, además de resolver algunos problemas prácticos como la órbita terrestre.

Ejercicio sobre ecuación canónica – página 1

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Elementos de una elipse

¿Alguna vez has intentado calcular todos los elementos de una elipse? Empecemos con un ejercicio práctico. Para la ecuación $4x^2 + 25y^2 - 8x + 200y + 304 = 0$ , necesitamos completar cuadrados para transformarla a su forma canónica.

Luego de completar cuadrados obtenemos $\frac{(x - 1)^2}{25} + \frac{(y + 4)^2}{4} = 1$ , que nos permite identificar que $a = 5$ y $b = 2$ . Con estos valores podemos determinar los elementos clave: el centro en $(1, -4)$ , la distancia focal $c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{21} = 4.58$ unidades. Los vértices se ubican en $(-4, -4)$ y $(6, -4)$ .

También calculamos la longitud del eje mayor $2a = 10$ unidades y la del eje menor $2b = 4$ unidades. Los focos están en $(-3.58, -4)$ y $(5.58, -4)$ . El lado recto es $LR = \frac{2b^2}{a} = 1.6$ unidades y la excentricidad $e = \frac{c}{a} = 0.916$ , lo que indica que es una elipse alargada en posición horizontal.

💡 Recordatorio: La forma de la ecuación nos indica la orientación de la elipse. Cuando el denominador mayor está con $x^2$ , la elipse es horizontal, y cuando está con $y^2$ , es vertical.

Ejercicio sobre ecuación canónica – página 2

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Aplicación: La órbita terrestre

La órbita de la Tierra alrededor del Sol es un ejemplo perfecto de una elipse en la vida real. En este problema, tenemos que el eje mayor de la órbita mide $3 \times 10^5$ km (300,000 km) y la excentricidad es aproximadamente 0.017.

Con estos datos podemos calcular la distancia máxima y mínima de la Tierra al Sol. Primero, determinamos que $a = 150,000$ km (la mitad del eje mayor). Usando la excentricidad, calculamos la distancia focal $c = e \times a = 0.017 \times 150,000 = 2,550$ km.

La distancia máxima de la Tierra al Sol será $a + c = 150,000 + 2,550 = 152,550$ km, mientras que la distancia mínima será $a - c = 150,000 - 2,550 = 147,450$ km. Esta pequeña diferencia confirma que la órbita terrestre es casi circular, pues su excentricidad es muy cercana a cero.

🌞 Dato interesante: Cuando la Tierra está más cerca del Sol (perihelio) es invierno en el hemisferio norte, lo que demuestra que las estaciones no dependen de la distancia al Sol sino de la inclinación del eje terrestre.

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Elementos de una elipse

Aplicación: La órbita terrestre

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