Desigualdades

¿Alguna vez has comparado números para saber cuál es mayor? Eso es exactamente lo que hacen las desigualdades. Una desigualdad es una relación de orden entre dos cantidades diferentes.

Existen cuatro símbolos principales que usamos:

• $a < b$ significa "$a$ menor que $b$" (ejemplo: $3 < 18$)
• $a > b$ significa "$a$ mayor que $b$" ejemplo: $0 > -6$
• $a ≤ b$ significa "$a$ menor o igual que $b$" (ejemplo: $95 ≤ 98$)
• $a ≥ b$ significa "$a$ mayor o igual que $b$" ejemplo: $-72 ≥ -72$

Las desigualdades tienen propiedades importantes que te ayudarán a resolverlas:

1. Transitividad: si $a < b$ y $b < c$, entonces $a < c$.
2. Adición/sustracción: puedes sumar o restar el mismo número a ambos lados.
3. Multiplicación/división: cuidado, al multiplicar o dividir por un número negativo, ¡la desigualdad se invierte!

💡 Consejo útil: Cuando multiplicas o divides una desigualdad por un número negativo, recuerda siempre cambiar el sentido de la desigualdad (de < a > o de > a <).

Propiedades del opuesto

Cuando trabajas con el opuesto de una desigualdad, el sentido del símbolo se invierte. Esta es una extensión importante de la propiedad de multiplicación por números negativos.

Por ejemplo, si $a < b$, entonces $-a > -b$. Esto significa que si $5 < 10$, entonces $-5 > -10$.

Esta propiedad es fundamental para resolver ecuaciones donde necesitas despejar variables con signos negativos. Recuerda siempre cambiar el sentido de la desigualdad cuando trabajas con el opuesto.

💡 Recuerda: El opuesto de un número es el mismo número con el signo cambiado. Al pasar una desigualdad al otro lado con signo opuesto, la desigualdad cambia de dirección.

Intervalos: Notación y representación gráfica

Los intervalos son una forma elegante de representar conjuntos de números reales entre dos valores. Existen cuatro tipos principales:

Intervalo abierto: $(a,b)$ incluye todos los números reales $x$ tales que $a < x < b$. Gráficamente, se representa con círculos vacíos en los extremos.

Intervalo cerrado: $[a,b]$ incluye todos los números reales $x$ tales que $a \leq x \leq b$. Se representa con puntos rellenos en los extremos.

Intervalos semiabiertos:

• $(a,b]$ donde $a < x \leq b$
• $[a,b)$ donde $a \leq x < b$

También tenemos intervalos que se extienden al infinito:

• $(a,+\infty)$ representa todos los $x > a$
• $[a,+\infty)$ representa todos los $x \geq a$
• $(-\infty,a)$ representa todos los $x < a$
• $(-\infty,a]$ representa todos los $x \leq a$

💡 Visualízalo así: En un intervalo abierto, los extremos están "excluidos" (círculos vacíos); en un intervalo cerrado, los extremos están "incluidos" (puntos rellenos).

Intervalos como subconjuntos de números reales

Los intervalos son subconjuntos no vacíos de números reales que nos permiten expresar desigualdades de forma visual y matemáticamente precisa.

La notación de intervalos es muy práctica para representar soluciones de desigualdades:

1. Intervalo abierto: $(a,b) = {x \in \mathbb{R} \mid a < x < b}$

   • Excluye los extremos $a$ y $b$

2. Intervalo cerrado: $[a,b] = {x \in \mathbb{R} \mid a \leq x \leq b}$

   • Incluye ambos extremos $a$ y $b$

3. Intervalos semiabiertos:

   • $(a,b] = {x \in \mathbb{R} \mid a < x \leq b}$ (excluye $a$, incluye $b$)
   • $[a,b) = {x \in \mathbb{R} \mid a \leq x < b}$ (incluye $a$, excluye $b$)

4. Intervalos infinitos:

   • $(a,\infty) = {x \in \mathbb{R} \mid x > a}$
   • $[a,\infty) = {x \in \mathbb{R} \mid x \geq a}$
   • $(-\infty,b) = {x \in \mathbb{R} \mid x < b}$
   • $(-\infty,b] = {x \in \mathbb{R} \mid x \leq b}$

💡 Para recordar fácilmente: El paréntesis "(" o ")" indica que el extremo NO está incluido, mientras que el corchete "$" o "$" indica que el extremo SÍ está incluido.

Notación formal de intervalos

La notación de intervalos es una forma elegante de escribir desigualdades. Un intervalo describe todos los números reales que cumplen con ciertas condiciones.

Cada tipo de intervalo tiene una forma precisa de escribirse:

1. Intervalo abierto: $(a,b) = {x \in \mathbb{R} \mid a < x < b}$

   • Aquí, ni $a$ ni $b$ pertenecen al intervalo

2. Intervalo cerrado: $[a,b] = {x \in \mathbb{R} \mid a \leq x \leq b}$

   • Tanto $a$ como $b$ están incluidos

3. Intervalos semiabiertos:

   • $(a,b] = {x \in \mathbb{R} \mid a < x \leq b}$
   • $[a,b) = {x \in \mathbb{R} \mid a \leq x < b}$

4. Intervalos infinitos:

   • $(a,\infty) = {x \in \mathbb{R} \mid x > a}$
   • $[a,\infty) = {x \in \mathbb{R} \mid x \geq a}$
   • $(-\infty,b) = {x \in \mathbb{R} \mid x < b}$
   • $(-\infty,b] = {x \in \mathbb{R} \mid x \leq b}$

💡 Truco para no confundirse: Cuando veas un paréntesis, piensa "no incluido"; cuando veas un corchete, piensa "incluido". Esto te ayudará a recordar si el extremo forma parte del intervalo o no.

Ejemplos de intervalos

Veamos cómo convertir conjuntos a notación de intervalos y representarlos gráficamente:

• ${X \in \mathbb{R} \mid 1 < X \leq 3}$ se escribe como $(1,3]$

  • Esto incluye todos los números entre 1 y 3, sin incluir el 1 pero sí el 3

• ${X \in \mathbb{R} \mid X < -2}$ se escribe como $(-\infty, -2)$

  • Todos los números menores que -2

• ${X \in \mathbb{R} \mid 0 \leq X \leq 4}$ se escribe como $[0, 4]$

  • Todos los números desde 0 hasta 4, incluyendo ambos

• ${X \in \mathbb{R} \mid X \geq 7}$ se escribe como $[7, \infty)$

  • Todos los números desde 7 hacia arriba, incluyendo el 7

• ${X \in \mathbb{R} \mid -3 < X < 2}$ se escribe como $(-3, 2)$

  • Todos los números entre -3 y 2, sin incluir ninguno de estos extremos

💡 Nota importante: Al representar intervalos gráficamente, usa círculos rellenos (•) para extremos incluidos (corchetes) y círculos vacíos (○) para extremos no incluidos (paréntesis).

Representación gráfica de intervalos

Cuando representamos intervalos en la recta numérica, usamos símbolos específicos para mostrar exactamente qué números pertenecen al conjunto:

• Para un intervalo cerrado $[a,b]$: usamos puntos rellenos (•) en ambos extremos
• Para un intervalo abierto $(a,b)$: usamos círculos vacíos (○) en ambos extremos
• Para un intervalo semicerrado $[a,b)$: punto relleno en $a$ y círculo vacío en $b$
• Para un intervalo semiabierto $(a,b]$: círculo vacío en $a$ y punto relleno en $b$

Ejemplos de intervalos representados:

• ${x \in \mathbb{R} \mid 1 \leq x \leq 3}$ es $[1,3]$
• ${x \in \mathbb{R} \mid x < -2}$ es $(-\infty, -2)$
• ${x \in \mathbb{R} \mid 0 \leq x \leq 4}$ es $[0,4]$
• ${x \in \mathbb{R} \mid x \geq 7}$ es $[7, \infty)$
• ${x \in \mathbb{R} \mid -3 < x < 2}$ es $(-3,2)$

💡 Consejo práctico: Cuando trabajes con intervalos que incluyen infinito, recuerda que siempre usamos paréntesis con $\infty$ y $-\infty$, nunca corchetes, porque el infinito no es un número que podamos "incluir" en nuestro intervalo.

Operaciones con intervalos

Las operaciones con conjuntos (unión, intersección, diferencia) también se aplican a intervalos. Esto es crucial para resolver problemas más complejos.

En un problema donde tienes conjuntos como A y B representados en la recta numérica, puedes identificar operaciones como:

• Unión $A \cup B$: todos los elementos que están en A o en B o en ambos
• Intersección $A \cap B$: solo los elementos que están tanto en A como en B
• Diferencia $A - B$: elementos que están en A pero no en B
• Diferencia $B - A$: elementos que están en B pero no en A

Por ejemplo, si tienes intervalos representados en una recta y se te pide identificar una operación que da como resultado un intervalo específico, debes analizar qué puntos están incluidos o excluidos en cada conjunto.

💡 Para resolver problemas de ICFES: Siempre dibuja los intervalos en la recta numérica y sombrea las regiones correspondientes a cada operación. Esto hace mucho más visual identificar la respuesta correcta.