Derivadas y Pendiente de Recta

La derivada es esencialmente un límite que, geométricamente, corresponde a la pendiente de una recta tangente en un punto específico. Es una herramienta poderosa para analizar cómo cambia una función.

Para entender esto mejor, recordemos primero cómo calcular la pendiente de una recta. La ecuación de una recta que pasa por un punto $(x_0, y_0)$ es: $y - y_0 = m(x - x_0)$

Donde $m$ es la pendiente, que se calcula como: $m = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}$

💡 ¡Truco de memoria! Piensa en la pendiente como "lo que sube" dividido por "lo que avanza". Entre más pronunciada sea la subida, mayor será el valor de la pendiente.

Por ejemplo, para hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-3,1) y (2,-2), calculamos primero la pendiente: $m = \frac{-2-1}{2-(-3)} = \frac{-3}{5}$

Ecuaciones de Rectas

Continuando con nuestro ejemplo, podemos usar la fórmula $y - y_0 = m(x - x_0)$ para encontrar la ecuación de la recta. Tomando el punto (-3,1) como $(x_0, y_0)$:

$y - 1 = \frac{-3}{5}(x + 3)$

Al desarrollar esta ecuación: $y - 1 = \frac{-3}{5}x - \frac{9}{5}$ $y = \frac{-3}{5}x - \frac{9}{5} + 1$ $y = \frac{-3}{5}x - \frac{4}{5}$

O expresado de otra forma: $y = \frac{-3x-4}{5}$

Esta fórmula de la pendiente nos acerca al concepto de derivada. Si vemos a una función $y = f(x)$, la pendiente de la recta secante entre dos puntos $(a, f(a))$ y $(x, f(x))$ será:

$m = \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$

🔍 Importante: Cuando calculamos pendientes, siempre asegúrate de trabajar con coordenadas precisas y mantener el orden en tu numerador y denominador.

La Derivada como Límite

El concepto fundamental de la derivada surge cuando queremos calcular la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto específico $(a, f(a))$. Matemáticamente se expresa como:

$\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} =$ Pendiente de la recta tangente en $(a, f(a))$

Este límite se conoce como la derivada de $f$ en $x=a$. Existen diferentes notaciones para representarla:

Notación de Lagrange: $f'(a)$

Notación de Leibniz: $\frac{df}{dx}(a)$

La derivada nos permite analizar el comportamiento instantáneo de una función. En lugar de estudiar la pendiente entre dos puntos separados, la derivada nos muestra la pendiente exacta en un punto específico.

🌟 Comprensión clave: La derivada transforma el estudio del cambio "entre puntos" al cambio "en un punto" - esto es lo que hace tan poderoso el cálculo diferencial.

Desigualdades y Sistemas

Cuando resolvemos desigualdades como $\frac{(x-3)(x+5)}{(3x-8)(-2+x)}\leq 4$, primero identificamos dónde el denominador es cero:

• $3x-8 = 0$ → $x = \frac{8}{3}$
• $-2+x = 0$ → $x = 2$

Estos valores nos dan las asíntotas verticales y debemos excluirlos del dominio. Para resolver la desigualdad, la reescribimos como: $\frac{(x-3)(x+5) - 4(3x-8)(-2+x)}{(3x-8)(-2+x)} \leq 0$

Esto nos lleva a una fracción donde necesitamos determinar cuándo el numerador y denominador tienen signos opuestos o iguales.

El proceso algebraico implica simplificar el numerador: $(x^2+2x-15) - 4(-6x+3x^2+16-8x)$

Esta simplificación te llevará a una expresión cuadrática que puedes factorizar para encontrar los intervalos de solución.

⚠️ Cuidado: Al resolver desigualdades racionales, siempre recuerda dividir el análisis en intervalos separados por los valores donde el denominador es cero.

Desigualdades con Valor Absoluto

Para resolver problemas como $|7x|=4-x$, debemos considerar las dos posibilidades del valor absoluto:

Si $7x \geq 0$ es decir, $x \geq 0$: $7x = 4-x$ $8x = 4$ $x = \frac{1}{2}$

Si $7x < 0$ (es decir, $x < 0$): $-7x = 4-x$ $-7x+x = 4$ $-6x = 4$ $x = -\frac{2}{3}$

Verificamos que $\frac{1}{2} \geq 0$ (correcto) y $-\frac{2}{3} < 0$ (correcto), así que ambas soluciones son válidas: $x \in {-\frac{2}{3}, \frac{1}{2}}$

Para desigualdades como $|\frac{1}{x}| > \frac{x}{3}$, convertimos esto a: $\frac{1}{|x|} > \frac{x}{3}$

Esto nos lleva a analizar cuando $x$ es positivo o negativo y resolver cada caso, resultando en uniones o intersecciones de intervalos.

🧩 Estrategia: En desigualdades con valor absoluto, siempre separa tu análisis en casos (valor positivo y valor negativo) y luego combina las soluciones cuidadosamente.

Funciones y sus Inversas

Para analizar funciones como $xy+2x=1$, primero verificamos si es una función y hallamos su dominio:

Despejando $y$: $y = \frac{1-2x}{x} = \frac{1}{x}-2$

El dominio excluye $x=0$ donde la función no está definida. También hay una asíntota vertical en $x=-2$.

Para esta función:

• Dominio: $(-\infty, -2) \cup (-2,0) \cup (0,\infty)$
• Rango: $(-\infty,0) \cup (0,\infty)$

Para determinar si la función es par o impar, comprobamos:

• Para función par: $f(-x) = f(x)$
• Para función impar: $f(-x) = -f(x)$

En este caso, $f(-x) = \frac{1}{-x}-2 = \frac{-1}{x}-2$, que no es igual a $f(x)$ ni a $-f(x)$, por lo tanto es ni par ni impar.

💪 Confía en tu habilidad: Recuerda que analizar funciones paso a paso (dominio, rango, simetrías) te permite comprender completamente su comportamiento y facilita mucho su graficación.

Composición de Funciones

La composición de funciones nos permite crear nuevas funciones combinando otras. Si tenemos $f(x)$ y $g(x)$, entonces:

• $f \circ g = f(g(x))$: aplicamos primero $g$ y luego $f$
• $g \circ f = g(f(x))$: aplicamos primero $f$ y luego $g$

El dominio de la composición se determina por:

• $D_{f \circ g} = {x \in D_g | g(x) \in D_f}$

Por ejemplo, si $f(x)= \frac{1}{x}$ con $D_f = \mathbb{R} \setminus {0}$ y $g(x) = x^2$ con $D_g = \mathbb{R}$:

1. $f \circ g = f(g(x)) = f(x^2) = \frac{1}{x^2}$ con dominio $\mathbb{R} \setminus {0}$

2. $g \circ f = g(f(x)) = g(\frac{1}{x}) = (\frac{1}{x})^2 = \frac{1}{x^2}$ con dominio $\mathbb{R} \setminus {0}$

También podemos componer una función consigo misma: 3. $f \circ f = f(f(x)) = f(\frac{1}{x}) = \frac{1}{\frac{1}{x}} = x$ con dominio $\mathbb{R} \setminus {0}$

🔄 Visualiza el proceso: Piensa en la composición de funciones como una máquina que procesa datos en serie - la salida de la primera máquina es la entrada de la segunda.

Funciones Logarítmicas

Las funciones logarítmicas son herramientas poderosas para resolver ecuaciones donde la incógnita aparece como exponente. Recuerda estas propiedades fundamentales:

• $\log_a(xy) = \log_a(x) + \log_a(y)$
• $\log_a(\frac{x}{y}) = \log_a(x) - \log_a(y)$
• $\log_a(x^n) = n\log_a(x)$
• $\log_a(a) = 1$
• $\log_a(1) = 0$

Para resolver ecuaciones logarítmicas como $\log(2x+8)=1+\log(x-4)$, seguimos estos pasos:

1. Agrupamos los logaritmos: $\log(2x+8)-\log(x-4)=1$
2. Aplicamos propiedades: $\log\frac{2x+8}{x-4}=1$
3. Aplicamos potencia: $\frac{2x+8}{x-4}=10^1=10$
4. Resolvemos algebraicamente: $2x+8=10(x-4)$ $2x+8=10x-40$ $2x-10x=-40-8$ $-8x=-48$ $x=6$

🎯 Siempre verifica: Al resolver ecuaciones logarítmicas, comprueba que tu solución no produce logaritmos de números negativos o cero, ya que estos no están definidos en los reales.

Ecuaciones Logarítmicas Complejas

Para ecuaciones más complejas como $\log_5(3x+7)-5=\log_5(x-5)$, seguimos un proceso similar:

1. Reorganizamos: $\log_5(3x+7)-\log_5(x-5)=5$
2. Aplicamos propiedades: $\log_5\frac{3x+7}{x-5}=5$
3. Aplicamos potencia: $\frac{3x+7}{x-5}=5^5=3125$
4. Resolvemos algebraicamente: $3x+7=3125(x-5)$ $3x+7=3125x-15625$ $3x-3125x=-15625-7$ $-3122x=-15632$ $x=\frac{15632}{3122}=\frac{7816}{1561}$

En problemas que combinan diferentes logaritmos, como $7(\log_y x + \log_x y)=50$, podemos usar relaciones como $\log_y x = \frac{1}{\log_x y}$ para simplificar:

$7\left[\frac{1+(\log_x y)(\log_y x)}{\log_x y}\right]=50$

Estas ecuaciones pueden llevar a soluciones como $xy=256$.

🧠 Enfoque estratégico: En ecuaciones logarítmicas complejas, identifica patrones como $\log_a b \cdot \log_b a = 1$ que te permitan simplificar antes de aplicar operaciones algebraicas.

Ecuaciones Exponenciales

Las ecuaciones exponenciales como $\frac{3^x - 3^{-x}}{5} = 2$ requieren técnicas específicas:

1. Simplificamos: $3^x - 3^{-x} = 10$

2. Multiplicamos por $3^x$: $3^{2x} - 1 = 10 \cdot 3^x$

3. Reorganizamos a forma cuadrática: $3^{2x} - 10 \cdot 3^x - 1 = 0$

4. Usando sustitución $z = 3^x$: $z^2 - 10z - 1 = 0$

5. Aplicamos la fórmula cuadrática: $z = \frac{10 \pm \sqrt{100+4}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{104}}{2} = 5 \pm \sqrt{26}$

6. Entonces $3^x = 5 + \sqrt{26}$ descartamos $5 - \sqrt{26}$ por ser negativo

7. Aplicamos logaritmo natural: $x\ln 3 = \ln(5 + \sqrt{26})$ $x = \frac{\ln(5 + \sqrt{26})}{\ln 3}$

Esta solución muestra cómo transformar una ecuación exponencial compleja en una más manejable usando sustitución algebraica.

🌠 Perseverancia: Las ecuaciones exponenciales pueden parecer intimidantes al principio, pero con práctica y aplicando sistemáticamente estas técnicas, lograrás dominarlas.