Recta tangente a una curva

La recta tangente es aquella que "toca" la curva en un solo punto, y su pendiente representa la tasa de cambio instantáneo de la función en ese punto. Para encontrarla, necesitamos calcular la derivada de la función.

Cuando trabajamos con una función como $f(x) = -x^2 + 6x - 5$, la pendiente de la recta tangente en cualquier punto se puede calcular usando el límite:

$m = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

💡 Recuerda: La pendiente de una recta se expresa como $m$ en la ecuación $y = mx + b$, donde $m$ representa qué tan inclinada está la línea y $b$ es el punto donde corta el eje y.

Cálculo de la derivada con límites

La derivada de una función $f(x)$ se define como:

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

Para resolver problemas, sustituimos la función y simplificamos el límite. Por ejemplo, para $f(x) = -x^2 + 6x - 5$, realizamos la sustitución de $f(x+h)$ y simplificamos operaciones algebraicas hasta llegar a $f'(x) = -2x + 6$.

Cuando queremos la ecuación de la recta tangente en un punto específico (como $x = 2$), evaluamos la derivada en ese punto para obtener la pendiente. En este caso, $f'(2) = -2(2) + 6 = 2$, lo que nos lleva a la ecuación $y = 2x - 1$.

🔍 Consejo práctico: Cuando simplifiques el límite, agrupa términos semejantes y factoriza la $h$ para cancelarla en numerador y denominador.

Propiedades de las derivadas

Las reglas de derivación nos permiten calcular derivadas sin usar la definición del límite cada vez. Aquí están algunas propiedades fundamentales:

• Para funciones potenciales: si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = nx^{n-1}$
• Para constantes multiplicativas: si $f(x) = \alpha x^n$, entonces $f'(x) = n\alpha x^{n-1}$
• Para funciones constantes: si $f(x) = \alpha$, entonces $f'(x) = 0$

La regla de la suma también es muy útil: si $f(x) = g(x) + h(x)$, entonces $f'(x) = g'(x) + h'(x)$. Por ejemplo, para derivar $f(x) = -x^2 + 6x + 5$, aplicamos estas reglas y obtenemos $f'(x) = -2x + 6$.

⚡ Truco de estudio: Memoriza estas propiedades básicas y podrás derivar funciones complejas dividiéndolas en partes más simples.

Definición de derivada y ejemplos prácticos

La derivada en un punto específico $a$ se define como:

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

Veamos cómo aplicar esta definición con ejemplos concretos. Para calcular la derivada de $f(x) = 2x^2$ en $x = 3$, sustituimos en la definición y simplificamos hasta obtener $f'(x) = 4x$, lo que nos da $f'(3) = 12$.

De manera similar, para $f(x) = x^2 - 2x + 3$ en el punto $x = 1$, aplicamos la definición paso por paso:

1. Sustituimos $f(x+h)$ y $f(x)$
2. Desarrollamos los términos
3. Simplificamos la expresión
4. Obtenemos $f'(x) = 2x - 2$ y evaluamos en $x=1$, resultando en $f'(1) = 0$

🎯 Para recordar: Cuando la derivada en un punto es cero, significa que la función tiene una recta tangente horizontal en ese punto, lo cual puede indicar un máximo o mínimo local.