Organización y Fundamentos de Funciones

El curso se divide en 3 cortes, con evaluaciones distribuidas así: 30% talleres/quices, 60% parcial y 10% autoevaluación. El libro guía es "Cálculo Trascendentes tempranas" de James Stewart.

Una función f:A→B es una relación que asigna a cada elemento x de A un único elemento f(x) en B. Los componentes clave son:

• Dominio: todos los valores x para los que la función está definida
• Rango: todos los valores y que se obtienen al evaluar la función

Para calcular el dominio, identifica los valores donde la función tiene sentido matemático. Por ejemplo, para f(x) = 1/$x²-x$, el dominio excluye valores donde el denominador es cero: x≠0, x≠1.

💡 Truco útil: Para verificar si una gráfica representa una función, usa la "prueba de la vertical" - si una línea vertical corta la curva más de una vez, no es una función.

Las funciones pueden visualizarse mediante gráficas (la forma más común), diagramas de flechas o expresiones algebraicas. Lo importante es que cada valor del dominio tenga exactamente una imagen.

Propiedades y Tipos de Funciones

Las funciones pueden clasificarse según sus propiedades de simetría:

• Función par: cumple f$-x$=f(x). Su gráfica es simétrica respecto al eje Y.
• Función impar: cumple f$-x$=-f(x). Su gráfica es simétrica respecto al origen.

Según su comportamiento, pueden ser:

• Función creciente: si f(x₁)<f(x₂) cuando x₁<x₂
• Función decreciente: si f(x₁)>f(x₂) cuando x₁<x₂

Entre los tipos más comunes están:

• Función lineal: f(x)=mx+b, donde m es la pendiente y b el punto de corte con el eje Y
• Función polinomial: f(x)=anx^n+an-1x^$n-1$+...+a₁x+a₀ (grado n si an≠0)
• Función cuadrática: polinomio de grado 2 $f(x)=a₂x²+a₁x+a₀$
• Función cúbica: polinomio de grado 3 $f(x)=a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀$

📌 Importante: Para determinar si una función es par o impar, sustituye -x en la fórmula y comprueba si obtienes f(x) o -f(x). ¡Si no cumple ninguna condición, no tiene simetría!

Funciones Especiales y sus Características

Funciones potencia $f(x) = xᵃ$:

• Si a = n (entero positivo): si n es par, f es una función par; si n es impar, f es impar
• Si a = 1/n: es una función raíz $f(x) = ⁿ√x$. Si n es par, su dominio es [0,∞); si n es impar, su dominio es ℝ
• Si a = -1: es la función recíproca $f(x) = 1/x$, una función racional cuya gráfica es una hipérbola

Funciones trigonométricas: Las funciones seno y coseno tienen dominio ℝ y rango $-1,1$. Son periódicas con periodo 2π:

• sen$x+2π$ = sen(x)
• cos$x+2π$ = cos(x)

Sus ceros (raíces) ocurren en:

• sen(x) = 0 cuando x = nπ, con n entero
• cos(x) = 0 cuando x = $2n+1$π/2, con n entero

💡 Recuerda: El valor absoluto |a| representa la distancia desde a hasta el origen. Se define por partes: |a| = a si a≥0, y |a| = -a si a<0.

Otras funciones importantes incluyen funciones exponenciales $f(x) = aˣ$, logarítmicas $f(x) = logₐx$ y funciones por partes que se definen mediante diferentes fórmulas según el valor de x.

Transformaciones de Funciones

Puedes crear nuevas funciones mediante transformaciones de una función base f(x):

Desplazamientos:

• Vertical:
  • y = f(x) + c: desplaza c unidades hacia arriba
  • y = f(x) - c: desplaza c unidades hacia abajo
• Horizontal:
  • y = f$x - c$: desplaza c unidades a la derecha
  • y = f$x + c$: desplaza c unidades a la izquierda

Alargamientos y Reflexiones (con c > 1):

• y = c·f(x): alarga verticalmente por un factor c
• y = $1/c$·f(x): comprime verticalmente por un factor c
• y = f(c·x): comprime horizontalmente por un factor c
• y = f$x/c$: alarga horizontalmente por un factor c
• y = -f(x): refleja la gráfica respecto al eje X
• y = f$-x$: refleja la gráfica respecto al eje Y

💡 Consejo práctico: Visualiza las transformaciones una a una. Para recordar el efecto de los desplazamientos horizontales, piensa que un signo negativo dentro del paréntesis mueve en dirección opuesta a ese signo.

Estas transformaciones son herramientas poderosas que permiten graficar funciones complejas a partir de funciones básicas que ya conoces.

Combinación y Composición de Funciones

Dadas dos funciones f y g, podemos combinarlas de varias maneras:

Suma y Resta:

• $f + g$(x) = f(x) + g(x)
• $f - g$(x) = f(x) - g(x)
• Dominio: intersección de los dominios de f y g

Multiplicación y División:

• (f·g)(x) = f(x)·g(x)
• $f/g$(x) = f(x)/g(x), donde g(x)≠0
• Dominio de f·g: intersección de los dominios
• Dominio de f/g: intersección de los dominios excluyendo puntos donde g(x)=0

Composición: La función compuesta (f∘g) se define como:

• (f∘g)(x) = f(g(x))
• Dominio: x ∈ Dom g tales que g(x) ∈ Dom f

📌 Clave para entender la composición: Primero aplicamos g a x, y luego aplicamos f al resultado. Es como una cadena de operaciones.

Ejemplo: Si f(x) = x² y g(x) = x - 3, entonces:

• (f∘g)(x) = f(g(x)) = f$x-3$ = $x-3$² = x² - 6x + 9
• El dominio es ℝ porque tanto f como g están definidas para cualquier número real.

Al componer funciones, es fundamental analizar cuidadosamente los dominios para determinar dónde está definida la nueva función.

Funciones Exponenciales e Inyectividad

La función exponencial tiene la forma f(x) = a^x, donde a > 0. Su comportamiento depende del valor de a:

• Si 0 < a < 1: función decreciente
• Si a = 1: función constante f(x) = 1
• Si a > 1: función creciente

Las leyes de los exponentes son fundamentales:

• b^$x+y$ = b^x · b^y
• $b^x$^y = b^xy
• (ab)^x = a^x · b^x

La función exponencial natural es f(x) = e^x, donde e ≈ 2.71828, un número irracional especialmente importante en matemáticas.

Una función es inyectiva si nunca toma el mismo valor dos veces: si x₁ ≠ x₂ entonces f(x₁) ≠ f(x₂). Gráficamente, una función es inyectiva si cualquier recta horizontal corta su gráfica a lo sumo una vez.

💡 Ejemplo práctico: La función f(x) = x² no es inyectiva porque f(1) = f(-1) = 1, pero f(x) = x³ sí es inyectiva.

Las funciones inyectivas tienen funciones inversas. Si f es inyectiva con dominio A y rango B, entonces su inversa f⁻¹ tiene dominio B y rango A, y cumple:

• f⁻¹(f(x)) = x para todo x en A
• f(f⁻¹(y)) = y para todo y en B

Para hallar una función inversa, despeja x en términos de y en la ecuación y = f(x), y luego reemplaza y por x.

Funciones Inversas y su Construcción

Para obtener la función inversa de una función inyectiva f, sigue estos pasos:

1. Escribe y = f(x)
2. Despeja x en términos de y
3. Intercambia x e y para obtener f⁻¹(x)

Propiedades clave:

• Si f(a) = b, entonces f⁻¹(b) = a
• (f⁻¹ ∘ f)(x) = x para todo x en el dominio de f
• (f ∘ f⁻¹)(x) = x para todo x en el rango de f

Ejemplo: Para hallar la inversa de f(x) = x³

• y = x³
• x = y^(1/3)
• f⁻¹(x) = x^(1/3)

💡 Visualización geométrica: La gráfica de f⁻¹ se obtiene reflejando la gráfica de f respecto a la recta y = x.

Dominios y rangos:

• El dominio de f⁻¹ es igual al rango de f
• El rango de f⁻¹ es igual al dominio de f

Ejemplo práctico: Si f(x) = x² + 2 (con dominio restringido a los reales no negativos para garantizar inyectividad):

• y = x² + 2
• x² = y - 2
• x = √$y - 2$
• f⁻¹(x) = √$x - 2$

Recuerda que si no estamos trabajando con una función inyectiva, debemos restringir su dominio adecuadamente antes de buscar su inversa.

Funciones Logarítmicas

Las funciones logarítmicas son las inversas de las funciones exponenciales. Si b > 0 y b ≠ 1, entonces log_b(x) es la función inversa de b^x.

Por definición:

• log_b(x) = y ⟺ b^y = x

Esto implica las siguientes propiedades:

• log_b$b^x$ = x para todo x ∈ ℝ
• b^$log_b(x)$ = x para todo x > 0

El logaritmo natural (base e) se denota como ln x:

• ln x = y ⟺ e^y = x
• ln$e^x$ = x para todo x ∈ ℝ
• e^(ln x) = x para todo x > 0

💡 Consejo para resolver ecuaciones: Para resolver ecuaciones con exponenciales y logaritmos, aplica ln a ambos lados de una ecuación exponencial, o convierte una ecuación logarítmica a forma exponencial.

Cambio de base: Cualquier logaritmo puede expresarse en términos de logaritmos en otra base:

• log_b(x) = ln(x)/ln(b)

Propiedades fundamentales de los logaritmos:

1. log_b(x·y) = log_b(x) + log_b(y)
2. log_b$x/y$ = log_b(x) - log_b(y)
3. log_b$x^r$ = r·log_b(x)

El dominio de log_b(x) es (0,∞) y su rango es ℝ, lo que refleja que puedes obtener cualquier número real como resultado de un logaritmo con la entrada adecuada.

Funciones Trigonométricas Inversas

Las funciones seno y coseno no son inyectivas en todo su dominio, por lo que necesitamos restringir sus dominios para definir sus inversas:

Función arcoseno (sen⁻¹):

• Se define restringiendo sen(x) al intervalo $-π/2, π/2$
• sen⁻¹(x) = y ⟺ sen(y) = x con -π/2 ≤ y ≤ π/2
• Dominio: $-1, 1$
• Rango: $-π/2, π/2$

Función arcocoseno (cos⁻¹):

• Se define restringiendo cos(x) al intervalo $0, π$
• cos⁻¹(x) = y ⟺ cos(y) = x con 0 ≤ y ≤ π
• Dominio: $-1, 1$
• Rango: $0, π$

Identidades importantes:

• sen(sen⁻¹(x)) = x para -1 ≤ x ≤ 1
• sen⁻¹(sen(x)) = x para -π/2 ≤ x ≤ π/2
• cos(cos⁻¹(x)) = x para -1 ≤ x ≤ 1
• cos⁻¹(cos(x)) = x para 0 ≤ x ≤ π

🔍 Para resolver problemas: Al trabajar con funciones trigonométricas inversas, dibuja un triángulo rectángulo para visualizar las relaciones entre las distintas funciones trigonométricas.

Identidades trigonométricas básicas:

• Cociente: tan(x) = sen(x)/cos(x), cot(x) = cos(x)/sen(x)
• Reciprocas: sec(x) = 1/cos(x), csc(x) = 1/sen(x)
• Pitagóricas: sen²(x) + cos²(x) = 1, sec²(x) = tan²(x) + 1, csc²(x) = 1 + cot²(x)