Definición y Notación de Sumatoria

La sumatoria es una notación compacta que representa la suma de términos en una secuencia. Se escribe como:

$$\sum_{i=1}^{n} a_i = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n$$

Donde i es el índice que indica el dominio de la suma. Este índice puede representarse con cualquier letra (i, k, j).

Por ejemplo, la expresión $\sum_{i=1}^{n} i^2$ representa la suma de los cuadrados de los primeros n números naturales: $1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2$.

Veamos algunos ejemplos de sumas expresadas con esta notación:

• $\sum_{i=1}^{n} i^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2$
• $\sum_{k=1}^{n} (6-k^2) = (6-1^2) + (6-2^2) + (6-3^2) + ... + (6-n^2)$
• $\sum_{j=1}^{7} \frac{1}{j} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{7}$

💡 Consejo: Cuando te enfrentes a una sumatoria, primero escríbela en forma expandida para entender mejor qué estás sumando.

Principio de Inducción Matemática

El principio de inducción matemática es una poderosa herramienta para demostrar fórmulas de sumatorias. Se basa en dos pasos:

1. Caso base: Verificar que la fórmula es válida para el primer valor $generalmente n=1$.
2. Paso inductivo: Suponiendo que la fórmula es válida para n=k (hipótesis inductiva), demostrar que también es válida para n=k+1.

Por ejemplo, para demostrar la fórmula $\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$:

Caso base: Para n=1, la fórmula da $\frac{1(2)(3)}{6} = 1$, que es igual a $1^2$. ✓

Paso inductivo: Suponemos que la fórmula es válida para n=k: $1^2 + 2^2 + ... + k^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$

Ahora debemos probar que es válida para n=k+1: $1^2 + 2^2 + ... + k^2 + (k+1)^2 = \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$

Esto se logra sustituyendo la hipótesis inductiva y manipulando algebraicamente la expresión para llegar al resultado deseado.

🔑 Recuerda: La inducción matemática es como un efecto dominó: si demuestras que la primera ficha cae (caso base) y que cada ficha hace caer a la siguiente (paso inductivo), entonces todas las fichas caerán.

Completando la Demostración por Inducción

Continuando con nuestra demostración de $\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$:

Partimos de la hipótesis inductiva para n=k: $1^2 + 2^2 + ... + k^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$

Para demostrar el caso n=k+1, añadimos $(k+1)^2$ a ambos lados: $1^2 + 2^2 + ... + k^2 + (k+1)^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2$

Desarrollando el lado derecho: $\frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2 = \frac{k(k+1)(2k+1) + 6(k+1)^2}{6}$

$= \frac{(k+1)[k(2k+1) + 6(k+1)]}{6}$

$= \frac{(k+1)[2k^2 + k + 6k + 6]}{6}$

$= \frac{(k+1)[2k^2 + 7k + 6]}{6}$

$= \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$

Este resultado coincide con la fórmula para n=k+1, lo que completa la demostración.

🧠 Importante: Al realizar demostraciones por inducción, es crucial llevar un registro claro de cada paso algebraico para evitar errores.

Más Demostraciones por Inducción

Ahora veamos la demostración de otra fórmula importante: $\sum_{k=1}^{n} (2k-1) = n^2$

Esta fórmula representa la suma de los primeros n números impares.

Caso base: Para n=1, tenemos $2(1)-1 = 1$, que es igual a $1^2 = 1$. ✓

Hipótesis inductiva: Suponemos que para n=K la fórmula es válida: $1 + 3 + 5 + ... + (2K-1) = K^2$

Paso inductivo: Debemos demostrar que para n=K+1: $1 + 3 + 5 + ... + (2K-1) + [2(K+1)-1] = (K+1)^2$

Desarrollando: $1 + 3 + 5 + ... + (2K-1) + (2K+1) = K^2 + (2K+1)$

Según la hipótesis inductiva, $1 + 3 + 5 + ... + (2K-1) = K^2$, por lo tanto: $K^2 + (2K+1) = K^2 + 2K + 1 = (K+1)^2$

Esto demuestra que la fórmula también es válida para n=K+1, completando la demostración.

💡 Aplicación práctica: Esta fórmula demuestra que el cuadrado de cualquier número natural n puede obtenerse sumando los primeros n números impares, algo útil para cálculos mentales rápidos.

Demostraciones Más Complejas

Veamos una demostración más compleja: $\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i(i+2)} = \frac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)}$

Caso base: Para n=1, tenemos: $\frac{1}{1(1+2)} = \frac{1}{3} = \frac{1(3(1)+5)}{4(1+1)(1+2)} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$ ✓

Para n=2: $\frac{1}{3} + \frac{1}{8} = \frac{8+3}{24} = \frac{11}{24} = \frac{2(3(2)+5)}{4(2+1)(2+2)} = \frac{22}{48} = \frac{11}{24}$ ✓

Hipótesis inductiva: Suponemos válida la fórmula para n=k: $\frac{1}{3} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{k(k+2)} = \frac{k(3k+5)}{4(k+1)(k+2)}$

Paso inductivo: Para n=k+1, necesitamos demostrar: $\frac{1}{3} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{k(k+2)} + \frac{1}{(k+1)(k+3)} = \frac{(k+1)(3k+8)}{4(k+2)(k+3)}$

La demostración completa requiere manipulaciones algebraicas cuidadosas para convertir la expresión de la izquierda en la de la derecha, utilizando la hipótesis inductiva y operando con fracciones.

🔍 Observación: Las demostraciones de fórmulas complejas como esta requieren paciencia y atención al detalle. Practica regularmente para mejorar tus habilidades algebraicas.

Completando Demostraciones Complejas

Continuando con la demostración anterior, partimos de la hipótesis inductiva: $\frac{1}{3} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{k(k+2)} = \frac{k(3k+5)}{4(k+1)(k+2)}$

Añadimos el término para n=k+1 a ambos lados: $\frac{1}{3} + ... + \frac{1}{k(k+2)} + \frac{1}{(k+1)(k+3)} = \frac{k(3k+5)}{4(k+1)(k+2)} + \frac{1}{(k+1)(k+3)}$

Para simplificar, necesitamos encontrar un común denominador en el lado derecho: $\frac{k(3k+5)(k+3) + 4(k+2)}{4(k+1)(k+2)(k+3)}$

Desarrollando el numerador: $\frac{k(3k+5)(k+3) + 4k+8}{4(k+1)(k+2)(k+3)}$

$= \frac{3k^3 + 9k^2 + 5k^2 + 15k + 4k + 8}{4(k+1)(k+2)(k+3)}$

$= \frac{3k^3 + 14k^2 + 19k + 8}{4(k+1)(k+2)(k+3)}$

A través de manipulaciones algebraicas adicionales, podemos factorizar el numerador: $\frac{(k+1)(3k^2 + 11k + 8)}{4(k+1)(k+2)(k+3)}$

$= \frac{(k+1)(3k+8)(k+1)}{4(k+1)(k+2)(k+3)}$

$= \frac{(k+1)^2(3k+8)}{4(k+1)(k+2)(k+3)}$

$= \frac{(k+1)(3k+8)}{4(k+2)(k+3)}$

Lo que completa nuestra demostración.

📝 Consejo para exámenes: Cuando factorices expresiones complejas en demostraciones por inducción, busca factores que coincidan con los términos que aparecen en el denominador de la fórmula objetivo.

Cálculo de Sumatorias y Propiedades Básicas

Veamos ahora cómo calcular sumatorias específicas:

$\sum_{n=1}^{4} (n+2) = (1+2) + (2+2) + (3+2) + (4+2) = 3 + 4 + 5 + 6 = 18$

$\sum_{i=0}^{5} (i+3^i) = (0+3^0) + (1+3^1) + (2+3^2) + ... + (5+3^5) = 379$

La sumatoria tiene propiedades importantes que facilitan los cálculos:

Propiedad Aditiva: Para cualquier n entero positivo: $\sum_{i=1}^{n} (a_i \pm b_i) = \sum_{i=1}^{n} a_i \pm \sum_{i=1}^{n} b_i$

Esta propiedad nos permite separar una sumatoria en la suma o resta de otras sumatorias más simples.

Ejemplos:

• $\sum_{k=1}^{n} (k+k^2) = \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} k^2$
• $\sum_{i=0}^{5} (i+3^i) = \sum_{i=0}^{5} i + \sum_{i=0}^{5} 3^i$
• $\sum_{j=1}^{n} (6-j) = \sum_{j=1}^{n} 6 - \sum_{j=1}^{n} j$

💡 Estrategia de resolución: Cuando enfrentes una sumatoria compleja, intenta descomponerla en sumatorias más sencillas utilizando las propiedades aditivas.

Más Propiedades de Sumatorias

Propiedad Homogénea: Para cualquier número real C y entero positivo n: $\sum_{i=1}^{n} C \cdot a_i = C \cdot \sum_{i=1}^{n} a_i$

Esta propiedad nos permite extraer factores constantes de una sumatoria.

Ejemplos:

• $\sum_{i=2}^{8} 5\lambda^2 = 5 \sum_{i=2}^{8} \lambda^2$
• $\sum_{k=1}^{n} 1 \cdot k = \sum_{k=1}^{n} k$
• $\sum_{j=2}^{n} (3j^2 - 2j + 5) = 3 \sum_{j=2}^{n} j^2 - 2 \sum_{j=2}^{n} j + 5 \sum_{j=2}^{n} 1$

Propiedad de Cambio de Índice: Para cualquier entero p y entero positivo n: $\sum_{i=1}^{n} a_i = \sum_{i=1+p}^{n+p} a_{i-p} = \sum_{i=1-p}^{n-p} a_{i+p}$

Esta propiedad nos permite modificar los límites de la sumatoria al cambiar el índice, lo que a veces facilita el cálculo.

Por ejemplo, si tenemos $\sum_{i=2}^{5} i^2$, podemos reescribirla como:

• $\sum_{i=1}^{4} (i+1)^2$ $cambiando i por i+1$
• $\sum_{i=5}^{8} (i-3)^2$ $cambiando i por i-3$

🧮 Aplicación práctica: El cambio de índice es especialmente útil cuando quieres alinear los límites de varias sumatorias para poder aplicar otras propiedades.

Cambio de Índice en Sumatorias

La propiedad de cambio de índice es una técnica poderosa que puede simplificar muchos problemas. Veamos más ejemplos:

Para $\sum_{i=2}^{5} i^2$ podemos hacer estos cambios:

a) Haciendo i = j+1: $\sum_{i=2}^{5} i^2 = \sum_{j=1}^{4} (j+1)^2$

b) Haciendo i = k-3: $\sum_{i=2}^{5} i^2 = \sum_{k=5}^{8} (k-3)^2$

Para $\sum_{i=-2}^{2} 3i$ podemos hacer:

a) Iniciando en i=2: $\sum_{i=-2}^{2} 3i = \sum_{i=2}^{6} 3(i-4)$

b) Iniciando en i=-4: $\sum_{i=-2}^{2} 3i = \sum_{i=-4}^{0} 3(i+2)$

La fórmula general para el cambio de índice es: $\sum_{i=a}^{b} f(i) = \sum_{i=a+k}^{b+k} f(i-k)$

donde k es cualquier entero.

Esta propiedad es especialmente útil cuando queremos manipular los límites de la sumatoria para hacerlos coincidir con fórmulas conocidas o para simplificar la expresión dentro de la sumatoria.

🔄 Consejo práctico: Cuando trabajes con sumatorias que tienen límites o índices inusuales, considera usar un cambio de índice para transformarlas en sumatorias más estándar que comienzan en 1 o 0.

Propiedad Telescópica de Sumatorias

La propiedad telescópica es una técnica muy elegante para calcular ciertas sumatorias. Se aplica cuando los términos se cancelan entre sí, dejando solo los términos extremos.

Para cualquier n entero positivo: $\sum_{i=1}^{n} (a_i - a_{i-1}) = a_n - a_0$

$\sum_{i=1}^{n} (a_i - a_{i+1}) = a_1 - a_{n+1}$

Veamos algunos ejemplos:

1. $\sum_{k=1}^{n} (3^k - 3^{k-1}) = 3^n - 3^0 = 3^n - 1$

2. $\sum_{i=1}^{n} [(i+1)^3 - i^3] = (n+1)^3 - 1^3 = (n+1)^3 - 1$

3. $\sum_{j=1}^{n} [\sqrt{j+1} - \sqrt{j}] = \sqrt{n+1} - 1$

Al expandir estas sumatorias, verás que todos los términos intermedios se cancelan (como un telescopio que se pliega), dejando solo el primer y último término.

Esta propiedad es extremadamente útil para simplificar sumatorias que parecen complejas pero tienen una estructura telescópica.

🌟 Truco de examen: Busca siempre patrones donde cada término contiene una parte que se cancela con el término anterior o siguiente. Esto podría indicar que la sumatoria tiene propiedades telescópicas.