Matemáticas
5 de dic de 2025
134
32 páginas
Cristian Gómez @ristianmez_rinl65sec
¿Te has preguntado cómo funcionan los mapas GPS o cómo los arquitectos diseñan edificios? Todo esto tiene que... Mostrar más
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ordenada La Recta Representacion
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abeba
oral o escrita.
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Y2-Ye
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[JC P. Pod)] +√ < x₁ = X + ]] + (Y₂ - Y₁)
d (P1](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fcontent-eu-central-1.knowunity.com%2FCONTENT%2FdoYTjyoJeKLRsJoirGKO_image_page_1.webp&w=2048&q=75)
La geometría analítica te permite ubicar cualquier punto en el plano usando coordenadas (x,y). Imagina que tienes dos amigos en diferentes partes de la ciudad y quieres saber qué tan lejos están uno del otro.
Para calcular la distancia entre dos puntos P₁(x₁,y₁) y P₂(x₂,y₂), usas la fórmula d = √. Es como usar el teorema de Pitágoras en el plano cartesiano.
El punto medio te dice exactamente dónde está el centro entre dos puntos. La fórmula es súper práctica PM = . ¡Es como encontrar el lugar perfecto para reunirse!
¡Tip! Estas fórmulas son fundamentales para todos los problemas de geometría analítica que verás en el examen.
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La pendiente (m) te dice qué tan inclinada está una recta. Es como medir qué tan empinada es una calle cuando caminas por ella. La fórmula es m = / = Δy/Δx.
Piensa en la pendiente como la tangente del ángulo de inclinación. Cuando subes escaleras, la pendiente te dice cuánto subes verticalmente por cada paso horizontal que das.
Un ejemplo práctico si tienes los puntos donde Δy = 20 y Δx = 5, entonces m = 20/5 = 4. Esto significa que por cada unidad que te mueves horizontalmente, subes 4 unidades verticalmente.
¡Recuerda! La pendiente es la clave para entender el comportamiento de cualquier recta.
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Las pendientes te cuentan la historia de cada recta. Si m > 0, la recta es creciente (sube de izquierda a derecha). Si m < 0, es decreciente (baja). Si m = 0, la recta es horizontal, y si no hay pendiente definida, es vertical.
La ecuación punto-pendiente es tu herramienta más poderosa y - y₁ = m. Con un punto y la pendiente, ya tienes toda la información de la recta.
Ejemplo práctico si tienes el punto (-1, 3) y pendiente m = 5, la ecuación queda y - 3 = 5. Cuando conoces dos puntos, primero calculas la pendiente y luego usas cualquier punto para formar la ecuación.
¡Dato curioso! Esta ecuación es como la "receta" para construir cualquier recta en el plano.
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La ecuación canónica y = mx + b es la forma más popular de escribir rectas. Aquí, m es la pendiente y b es donde la recta cruza el eje y (el intercepto).
Es súper fácil identificar el comportamiento de la recta en y = -2x + 1, la pendiente es -2 (decrece rápido) y cruza el eje y en el punto (0, 1). En y = ½x - 2, la pendiente es ½ (crece suavemente) y cruza en (0, -2).
Esta forma te permite graficar rápidamente cualquier recta. Solo necesitas marcar el punto de corte en y, y usar la pendiente para encontrar más puntos.
¡Pro tip! Memoriza esta forma porque la usarás en casi todos los ejercicios de rectas.
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La ecuación general Ax + By + C = 0 es la forma más completa de expresar una recta. Todos los términos van de un lado y del otro queda cero. Los coeficientes A, B y C son números reales.
Para convertir de general a canónica, despejas y. Por ejemplo 2x - 3y + 1 = 0 se convierte en y = (2/3)x + 1/3. Solo mueves términos y divides por el coeficiente de y.
El truco está en mantener el orden alfabético (primero x, luego y, después el término independiente) y recordar que siempre debe igualar a cero en la forma general.
¡Importante! Dominar las conversiones entre formas te ahorrará mucho tiempo en los exámenes.
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¿Cuándo dos rectas son paralelas? Cuando tienen la misma pendiente pero nunca se tocan. Es como dos calles que corren lado a lado sin cruzarse jamás.
Las rectas secantes tienen pendientes diferentes y se cruzan en exactamente un punto. Para encontrar ese punto de intersección, resuelves un sistema de ecuaciones 2x2.
Ejemplo y = -7x + 3 y y = -2x + 2 tienen pendientes diferentes , así que son secantes. Para encontrar dónde se cruzan, igualas las ecuaciones y resuelves para x, luego sustituyes para encontrar y.
¡Clave para exámenes! Siempre compara primero las pendientes para clasificar las rectas rápidamente.
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Las rectas perpendiculares se cruzan formando ángulos de 90°. Su secreto matemático m₁ × m₂ = -1. Si una recta tiene pendiente 2, la perpendicular tendrá pendiente -½.
Las rectas coincidentes son en realidad la misma recta escrita de diferentes maneras. Para identificarlas, verificas que A/A' = B/B' = C/C' en sus ecuaciones generales.
Por ejemplo x - 2y + 3 = 0 y 2x - 4y + 6 = 0 son coincidentes porque 1/2 = -2/(-4) = 3/6 = ½. Es como tener dos nombres para la misma persona.
¡Técnica ninja! Las rectas perpendiculares siempre tienen pendientes que son recíprocas negativas entre sí.
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Convertir gráficas en ecuaciones es como traducir un idioma visual a lenguaje matemático. Primero identificas dos puntos claros en la gráfica, calculas la pendiente, y luego usas la ecuación punto-pendiente.
Para rectas que pasan por puntos como (0, -1) y (1, 2), la pendiente es m = (2-(-1))/(1-0) = 3. La ecuación punto-pendiente queda y - 2 = 3, que simplificada es 3x + y - 5 = 0.
Cuando la recta es horizontal (pendiente 0), la ecuación es simplemente y = constante. Si es vertical (pendiente indefinida), es x = constante.
¡Estrategia ganadora! Siempre verifica tu respuesta sustituyendo los puntos originales en tu ecuación final.
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Determinar la posición relativa entre rectas es como ser detective matemático. Primero conviertes ambas ecuaciones a la forma canónica para comparar pendientes fácilmente.
Para el par x + y = 3 y 2x - 6 = 2y, reescribes como y = -x + 3 y y = x - 3. Las pendientes son -1 y 1 (diferentes), así que son secantes.
Cuando las pendientes son iguales pero los interceptos diferentes, son paralelas. Si las pendientes son iguales y los interceptos también, son coincidentes. Si el producto de las pendientes es -1, son perpendiculares.
¡Método infalible! Siempre convierte a la forma y = mx + b primero, luego compara las pendientes.
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[JC P. Pod)] +√ < x₁ = X + ]] + (Y₂ - Y₁)
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Resolver sistemas de ecuaciones te permite encontrar exactamente dónde se cruzan las rectas secantes. Es como encontrar el punto de encuentro perfecto entre dos caminos.
Para x + y = 3 y 2x - 2y = 6, multiplicas la primera por -2 y sumas -2x - 2y = -6 y 2x - 2y = 6. Al sumar obtienes -4y = 0, entonces y = 0 y x = 3.
En casos de rectas paralelas, el sistema no tiene solución. En rectas coincidentes, hay infinitas soluciones. Solo las rectas secantes tienen una solución única.
¡Verificación obligatoria! Siempre sustituye tus valores en ambas ecuaciones originales para confirmar que son correctos.
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuaria de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuaria de Android
Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
usuaria de Android
Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
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Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
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Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
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Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
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¿Te has preguntado cómo funcionan los mapas GPS o cómo los arquitectos diseñan edificios? Todo esto tiene que ver con geometría analítica y las ecuaciones de rectas. Vamos a explorar cómo representar líneas matemáticamente y descubrir sus secretos.
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La geometría analítica te permite ubicar cualquier punto en el plano usando coordenadas (x,y). Imagina que tienes dos amigos en diferentes partes de la ciudad y quieres saber qué tan lejos están uno del otro.
Para calcular la distancia entre dos puntos P₁(x₁,y₁) y P₂(x₂,y₂), usas la fórmula: d = √. Es como usar el teorema de Pitágoras en el plano cartesiano.
El punto medio te dice exactamente dónde está el centro entre dos puntos. La fórmula es súper práctica: PM = . ¡Es como encontrar el lugar perfecto para reunirse!
¡Tip! Estas fórmulas son fundamentales para todos los problemas de geometría analítica que verás en el examen.
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La pendiente (m) te dice qué tan inclinada está una recta. Es como medir qué tan empinada es una calle cuando caminas por ella. La fórmula es m = / = Δy/Δx.
Piensa en la pendiente como la tangente del ángulo de inclinación. Cuando subes escaleras, la pendiente te dice cuánto subes verticalmente por cada paso horizontal que das.
Un ejemplo práctico: si tienes los puntos donde Δy = 20 y Δx = 5, entonces m = 20/5 = 4. Esto significa que por cada unidad que te mueves horizontalmente, subes 4 unidades verticalmente.
¡Recuerda! La pendiente es la clave para entender el comportamiento de cualquier recta.
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Las pendientes te cuentan la historia de cada recta. Si m > 0, la recta es creciente (sube de izquierda a derecha). Si m < 0, es decreciente (baja). Si m = 0, la recta es horizontal, y si no hay pendiente definida, es vertical.
La ecuación punto-pendiente es tu herramienta más poderosa: y - y₁ = m. Con un punto y la pendiente, ya tienes toda la información de la recta.
Ejemplo práctico: si tienes el punto (-1, 3) y pendiente m = 5, la ecuación queda y - 3 = 5. Cuando conoces dos puntos, primero calculas la pendiente y luego usas cualquier punto para formar la ecuación.
¡Dato curioso! Esta ecuación es como la "receta" para construir cualquier recta en el plano.
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La ecuación canónica y = mx + b es la forma más popular de escribir rectas. Aquí, m es la pendiente y b es donde la recta cruza el eje y (el intercepto).
Es súper fácil identificar el comportamiento de la recta: en y = -2x + 1, la pendiente es -2 (decrece rápido) y cruza el eje y en el punto (0, 1). En y = ½x - 2, la pendiente es ½ (crece suavemente) y cruza en (0, -2).
Esta forma te permite graficar rápidamente cualquier recta. Solo necesitas marcar el punto de corte en y, y usar la pendiente para encontrar más puntos.
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La ecuación general Ax + By + C = 0 es la forma más completa de expresar una recta. Todos los términos van de un lado y del otro queda cero. Los coeficientes A, B y C son números reales.
Para convertir de general a canónica, despejas y. Por ejemplo: 2x - 3y + 1 = 0 se convierte en y = (2/3)x + 1/3. Solo mueves términos y divides por el coeficiente de y.
El truco está en mantener el orden alfabético (primero x, luego y, después el término independiente) y recordar que siempre debe igualar a cero en la forma general.
¡Importante! Dominar las conversiones entre formas te ahorrará mucho tiempo en los exámenes.
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¿Cuándo dos rectas son paralelas? Cuando tienen la misma pendiente pero nunca se tocan. Es como dos calles que corren lado a lado sin cruzarse jamás.
Las rectas secantes tienen pendientes diferentes y se cruzan en exactamente un punto. Para encontrar ese punto de intersección, resuelves un sistema de ecuaciones 2x2.
Ejemplo: y = -7x + 3 y y = -2x + 2 tienen pendientes diferentes , así que son secantes. Para encontrar dónde se cruzan, igualas las ecuaciones y resuelves para x, luego sustituyes para encontrar y.
¡Clave para exámenes! Siempre compara primero las pendientes para clasificar las rectas rápidamente.
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Las rectas perpendiculares se cruzan formando ángulos de 90°. Su secreto matemático: m₁ × m₂ = -1. Si una recta tiene pendiente 2, la perpendicular tendrá pendiente -½.
Las rectas coincidentes son en realidad la misma recta escrita de diferentes maneras. Para identificarlas, verificas que A/A' = B/B' = C/C' en sus ecuaciones generales.
Por ejemplo: x - 2y + 3 = 0 y 2x - 4y + 6 = 0 son coincidentes porque 1/2 = -2/(-4) = 3/6 = ½. Es como tener dos nombres para la misma persona.
¡Técnica ninja! Las rectas perpendiculares siempre tienen pendientes que son recíprocas negativas entre sí.
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Convertir gráficas en ecuaciones es como traducir un idioma visual a lenguaje matemático. Primero identificas dos puntos claros en la gráfica, calculas la pendiente, y luego usas la ecuación punto-pendiente.
Para rectas que pasan por puntos como (0, -1) y (1, 2), la pendiente es m = (2-(-1))/(1-0) = 3. La ecuación punto-pendiente queda y - 2 = 3, que simplificada es 3x + y - 5 = 0.
Cuando la recta es horizontal (pendiente 0), la ecuación es simplemente y = constante. Si es vertical (pendiente indefinida), es x = constante.
¡Estrategia ganadora! Siempre verifica tu respuesta sustituyendo los puntos originales en tu ecuación final.
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Determinar la posición relativa entre rectas es como ser detective matemático. Primero conviertes ambas ecuaciones a la forma canónica para comparar pendientes fácilmente.
Para el par x + y = 3 y 2x - 6 = 2y, reescribes como y = -x + 3 y y = x - 3. Las pendientes son -1 y 1 (diferentes), así que son secantes.
Cuando las pendientes son iguales pero los interceptos diferentes, son paralelas. Si las pendientes son iguales y los interceptos también, son coincidentes. Si el producto de las pendientes es -1, son perpendiculares.
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Resolver sistemas de ecuaciones te permite encontrar exactamente dónde se cruzan las rectas secantes. Es como encontrar el punto de encuentro perfecto entre dos caminos.
Para x + y = 3 y 2x - 2y = 6, multiplicas la primera por -2 y sumas: -2x - 2y = -6 y 2x - 2y = 6. Al sumar obtienes -4y = 0, entonces y = 0 y x = 3.
En casos de rectas paralelas, el sistema no tiene solución. En rectas coincidentes, hay infinitas soluciones. Solo las rectas secantes tienen una solución única.
¡Verificación obligatoria! Siempre sustituye tus valores en ambas ecuaciones originales para confirmar que son correctos.
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuaria de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuaria de Android
Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
usuaria de Android
Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
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Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
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