Asignaturas

SchoolGPT

Ofertas de empleo

Abrir la app

Asignaturas

Asignaturas

Matemáticas

Matemáticas

10 de dic de 2025

54

15 páginas

Vectores y Rectas en el Espacio

K

Keiner Ramirez @sebit_as006

¿Alguna vez has pensado en cómo los físicos e ingenieros calculan fuerzas, áreas y volúmenes en el espacio?... Mostrar más

Día Mes Año 28 21 Roy u = ( 22, 22 1 -2 ) 26 26 26 2) π = (2,-3,1) y = (4,2,5) Solución .11 = √45 11² = 45, u. V = (2,-3,1)/(4,2,5) =8-6+5=7

Proyección de Vectores

La proyección vectorial te permite encontrar qué tanto de un vector "apunta" en la dirección de otro. Es como ver la sombra que proyecta un vector sobre otro cuando les das luz.

La fórmula es bastante directa Proyv_v u⃗=u⃗.v⃗∣v⃗∣2v⃗\vec{u} = \frac{\vec{u}.\vec{v}}{|\vec{v}|^2}\vec{v}. Primero calculas el producto punto entre los vectores, luego lo divides por la magnitud al cuadrado del vector base.

Mirá el ejemplo con u⃗=(2,−3,1)\vec{u} = (2, -3, 1) y v⃗=(4,2,5)\vec{v} = (4, 2, 5), primero encontrás u⃗.v⃗=8−6+5=7\vec{u}.\vec{v} = 8 - 6 + 5 = 7. Después calculás ∣v⃗∣2=45|\vec{v}|^2 = 45 y finalmente obtenés la proyección (2845,1445,3545)\left(\frac{28}{45}, \frac{14}{45}, \frac{35}{45}\right).

Tip clave La proyección siempre va en la dirección del vector sobre el cual proyectás. Si el producto punto es negativo, la proyección apunta en sentido contrario.

Día Mes Año 28 21 Roy u = ( 22, 22 1 -2 ) 26 26 26 2) π = (2,-3,1) y = (4,2,5) Solución .11 = √45 11² = 45, u. V = (2,-3,1)/(4,2,5) =8-6+5=7

Producto Cruz La Base del Cálculo Vectorial

El producto cruz (o producto vectorial) crea un nuevo vector perpendicular a los dos vectores originales. Esta operación es clave en física para calcular torques y campos magnéticos.

La fórmula usando determinantes es u⃗×v⃗=∣i^j^k^ a1b1c1 a2b2c2∣\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ a_1 & b_1 & c_1 \ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix}. Expandís el determinante y obtenés las componentes i, j, k del vector resultante.

Algo súper importante el producto cruz NO es conmutativo. Si calculás u⃗×v⃗\vec{u} \times \vec{v} obtenés el resultado opuesto a v⃗×u⃗\vec{v} \times \vec{u}. En el ejemplo, u⃗×v⃗=(8,−11,2)\vec{u} \times \vec{v} = (8, -11, 2) mientras que v⃗×u⃗=(−8,11,−2)\vec{v} \times \vec{u} = (-8, 11, -2).

¡Cuidado! Siempre recordá que cambiar el orden cambia el signo del resultado. Esta propiedad es fundamental en aplicaciones físicas.

Día Mes Año 28 21 Roy u = ( 22, 22 1 -2 ) 26 26 26 2) π = (2,-3,1) y = (4,2,5) Solución .11 = √45 11² = 45, u. V = (2,-3,1)/(4,2,5) =8-6+5=7

Más Ejemplos de Producto Cruz

Practicando con diferentes vectores vas a dominar esta operación. Cada ejemplo refuerza el patrón calculás el determinante, expandís cuidadosamente y verificás que el orden importa.

Con A⃗=(2,−1,3)\vec{A} = (2, -1, 3) y B⃗=(1,4,0)\vec{B} = (1, 4, 0), el resultado es A⃗×B⃗=(−12,3,9)\vec{A} \times \vec{B} = (-12, 3, 9). Notá cómo cuando tenés un cero en alguna componente como la z de $\vec{B}$, los cálculos se simplifican bastante.

Las propiedades del producto cruz que necesitás memorizar son distributividad, anticonmutatividad $\vec{u} \times \vec{v} = -\vec{v} \times \vec{u}$, y que el producto de un vector consigo mismo es cero. La propiedad más útil es el triple producto escalar (u⃗×v⃗).w⃗=u⃗.(v⃗×w⃗)(\vec{u} \times \vec{v}).\vec{w} = \vec{u}.(\vec{v} \times \vec{w}).

Dato útil Si dos vectores son paralelos, su producto cruz es el vector cero. Esto te sirve para verificar paralelismo rápidamente.

Día Mes Año 28 21 Roy u = ( 22, 22 1 -2 ) 26 26 26 2) π = (2,-3,1) y = (4,2,5) Solución .11 = √45 11² = 45, u. V = (2,-3,1)/(4,2,5) =8-6+5=7

Propiedades Avanzadas y Triple Producto Escalar

Las propiedades del producto cruz son herramientas poderosas que te ahorran tiempo en cálculos complejos. La distributividad te permite "sacar factor común" y la anticonmutatividad te ayuda a reorganizar expresiones.

El triple producto escalar (u⃗×v⃗).w⃗(\vec{u} \times \vec{v}).\vec{w} es especialmente importante porque su valor absoluto representa el volumen del paralelepípedo formado por los tres vectores. En el ejemplo con A⃗(1,1,0)\vec{A}(1,1,0), B⃗(1,1,2)\vec{B}(1,1,2) y C⃗(−1,2,3)\vec{C}(-1,2,3), ambos métodos de cálculo dan 4.

Una propiedad clave es que u⃗.(u⃗×v⃗)=0\vec{u}.(\vec{u} \times \vec{v}) = 0 siempre. Esto confirma que el producto cruz es perpendicular a ambos vectores originales, lo cual es fundamental en muchas aplicaciones físicas.

Verificación rápida Usá la propiedad del triple producto escalar para verificar tus cálculos. Si obtenés resultados diferentes con (A⃗×B⃗).C⃗(\vec{A} \times \vec{B}).\vec{C} y A⃗.(B⃗×C⃗)\vec{A}.(\vec{B} \times \vec{C}), revisá tus operaciones.

Día Mes Año 28 21 Roy u = ( 22, 22 1 -2 ) 26 26 26 2) π = (2,-3,1) y = (4,2,5) Solución .11 = √45 11² = 45, u. V = (2,-3,1)/(4,2,5) =8-6+5=7

Cálculo de Ángulos con Producto Cruz

El teorema fundamental para ángulos dice que sin⁡φ=∣u⃗×v⃗∣∣u⃗∣⋅∣v⃗∣\sin \varphi = \frac{|\vec{u} \times \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}. Esta fórmula complementa la del coseno que ya conocés del producto punto.

Para encontrar el ángulo, calculás primero el producto cruz, después las magnitudes de ambos vectores, y finalmente aplicás la función arcoseno. Con los vectores u⃗=(4,2,−5)\vec{u} = (4, 2, -5) y v⃗=(3,2,−1)\vec{v} = (3, 2, -1), obtenés un ángulo de 33,21°.

La ventaja de usar el seno es que te da información clara sobre qué tan "perpendiculares" son los vectores. Si el resultado está cerca de 90°, los vectores son casi perpendiculares; si está cerca de 0°, son casi paralelos.

Pro tip Combinando las fórmulas del seno y coseno podés obtener el ángulo completo sin ambigüedad. Esto es especialmente útil cuando trabajás con vectores en aplicaciones reales.

Día Mes Año 28 21 Roy u = ( 22, 22 1 -2 ) 26 26 26 2) π = (2,-3,1) y = (4,2,5) Solución .11 = √45 11² = 45, u. V = (2,-3,1)/(4,2,5) =8-6+5=7

Aplicaciones Geométricas Áreas y Volúmenes

Acá es donde el producto cruz se vuelve súper práctico. El área del paralelogramo formado por dos vectores es simplemente ∣u⃗×v⃗∣|\vec{u} \times \vec{v}|, y el área del triángulo es la mitad de eso.

Para calcular volúmenes, usás el triple producto escalar V=∣(u⃗×v⃗).w⃗∣V = |(\vec{u} \times \vec{v}).\vec{w}|. Este número te da el volumen del paralelepípedo formado por los tres vectores.

Las identidades avanzadas como A⃗×(B⃗×C⃗)=(C⃗.A⃗)B⃗−(B⃗.A⃗)C⃗\vec{A} \times (\vec{B} \times \vec{C}) = (\vec{C}.\vec{A})\vec{B} - (\vec{B}.\vec{A})\vec{C} son útiles para simplificar expresiones complejas. También recordá que el producto cruz siempre produce vectores perpendiculares a los originales.

Aplicación real Estas fórmulas son las que usan los ingenieros para calcular áreas de superficies irregulares y volúmenes de objetos complejos en 3D.

Día Mes Año 28 21 Roy u = ( 22, 22 1 -2 ) 26 26 26 2) π = (2,-3,1) y = (4,2,5) Solución .11 = √45 11² = 45, u. V = (2,-3,1)/(4,2,5) =8-6+5=7

Ejemplos Prácticos de Áreas

Cuando tenés tres puntos en el espacio, podés formar vectores entre ellos y calcular áreas fácilmente. La clave es elegir bien qué vectores usar generalmente tomás dos que salgan del mismo punto.

Con los puntos P(1,3,-2), Q(2,1,4) y R(-3,1,6), formás u⃗=QP⃗=(−1,2,−6)\vec{u} = \vec{QP} = (-1, 2, -6) y v⃗=QR⃗=(−5,0,2)\vec{v} = \vec{QR} = (-5, 0, 2). El producto cruz te da la magnitud 1140\sqrt{1140}, que es el área del paralelogramo.

Para el área del triángulo simplemente dividís por 2. Este método funciona sin importar cómo estén orientados los puntos en el espacio, lo cual lo hace súper versátil para problemas de geometría.

Estrategia útil Siempre verificá que estés usando vectores que realmente formen los lados de la figura. Un error común es usar vectores que no están conectados correctamente.

Día Mes Año 28 21 Roy u = ( 22, 22 1 -2 ) 26 26 26 2) π = (2,-3,1) y = (4,2,5) Solución .11 = √45 11² = 45, u. V = (2,-3,1)/(4,2,5) =8-6+5=7

Cálculo de Volúmenes en 3D

El volumen del paralelepípedo se calcula con el valor absoluto del triple producto escalar. Es una herramienta fundamental para entender espacios tridimensionales y relaciones entre vectores.

En el ejemplo con u⃗=(1,−1,0)\vec{u} = (1, -1, 0), v⃗=(3,0,2)\vec{v} = (3, 0, 2), y w⃗=(0,7,3)\vec{w} = (0, 7, 3), calculás primero u⃗×v⃗\vec{u} \times \vec{v} para obtener (−2,−3,3)(-2, -3, 3). Después hacés el producto punto con w⃗\vec{w} y obtenés -5, así que el volumen es ∣−5∣=5|-5| = 5 unidades cúbicas.

La ventaja de este método es que funciona independientemente de cómo estén orientados los vectores. El signo te indica la orientación, pero para volumen solo necesitás el valor absoluto.

Truco de verificación Si obtenés cero, significa que los tres vectores son coplanarios (están en el mismo plano), así que no forman un volumen real.

Día Mes Año 28 21 Roy u = ( 22, 22 1 -2 ) 26 26 26 2) π = (2,-3,1) y = (4,2,5) Solución .11 = √45 11² = 45, u. V = (2,-3,1)/(4,2,5) =8-6+5=7

Más Ejemplos de Volumen y Introducción a Rectas

Practicando con diferentes conjuntos de vectores consolidás tu comprensión del triple producto escalar. En el segundo ejemplo, con vectores u⃗=(2,3,−1)\vec{u} = (2,3,-1), v⃗=(3,−7,5)\vec{v} = (3,-7,5) y w⃗=(1,−5,2)\vec{w} = (1,-5,2), el resultado es 27 unidades cúbicas.

Ahora pasamos a un tema nuevo rectas en el espacio. Una recta se define completamente con un punto sobre ella y un vector que indica su dirección. Si tenés dos puntos P y Q sobre la recta, el vector PQ⃗\vec{PQ} te da la dirección.

La idea fundamental es que cualquier punto R sobre la recta se puede expresar como OR⃗=OP⃗+tv⃗\vec{OR} = \vec{OP} + t\vec{v}, donde tt es un parámetro que varía y v⃗\vec{v} es el vector direccional.

Concepto clave El parámetro tt te permite "caminar" a lo largo de la recta. Cuando t=0t = 0, estás en el punto inicial; valores positivos y negativos te llevan en direcciones opuestas.

Día Mes Año 28 21 Roy u = ( 22, 22 1 -2 ) 26 26 26 2) π = (2,-3,1) y = (4,2,5) Solución .11 = √45 11² = 45, u. V = (2,-3,1)/(4,2,5) =8-6+5=7

Ecuaciones de la Recta en el Espacio

Las tres formas de escribir una recta son igualmente válidas y útiles según el contexto. La ecuación vectorial (x,y,z)=(x1,y1,z1)+(a,b,c)t(x, y, z) = (x_1, y_1, z_1) + (a, b, c)t es la más intuitiva porque muestra claramente el punto inicial y la dirección.

La ecuación paramétrica separa las componentes x=x1+atx = x_1 + at, y=y1+bty = y_1 + bt, z=z1+ctz = z_1 + ct. Esta forma es práctica para hacer cálculos específicos o programar en computadora.

La ecuación simétrica x−x1a=y−y1b=z−z1c=t\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c} = t elimina el parámetro y muestra la relación directa entre las coordenadas. Es útil para encontrar intersecciones y analizar propiedades geométricas.

Aplicación práctica En física e ingeniería, estas ecuaciones describen trayectorias de partículas, rayos de luz, y cualquier movimiento rectilíneo en el espacio.

Pensamos que nunca lo preguntarías...

¿Qué es Knowunity AI companion?

Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.

¿Dónde puedo descargar la app Knowunity?

Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.

¿Knowunity es totalmente gratuito?

¡Sí lo es! Tienes acceso totalmente gratuito a todo el contenido de la app, puedes chatear con otros alumnos y recibir ayuda inmeditamente. Puedes ganar dinero utilizando la aplicación, que te permitirá acceder a determinadas funciones.

0

Herramientas Inteligentes NUEVO

Transforma estos apuntes en: ✓ 50+ Preguntas de Práctica ✓ Fichas Interactivas ✓ Examen Completo de Práctica ✓ Esquemas de Ensayo

Examen de Práctica
Quiz
Fichas
Ensayo

Contenidos más populares: Cross Product

Clase 3 - Algebra lineal

Temas: Propiedades del Producto escalar, Desigualdad del triangulo , ángulo entra vectores , producto cruz, determinante, producto mixto escalar

MatemáticasMatemáticas
11

Clase 4 - Algebra Lineal

Temas: Ejercicio producto vectorial o cruz, ecuaciones vectorial y parámetros, posicion de dos rectas en el espacio , distancia de un punto a una recta, planos en R^3

MatemáticasMatemáticas
11

Contenidos más populares de Matemáticas

Ecuación cuadrática

Definición, procedimiento

MatemáticasMatemáticas
2°M

Propiedades de los exponentes

Diapositivas donde se explica el tema propiedades de los exponentes abarcado explicacion de Producto de potencias,Cociente de potencias,Potencia de una potencia,Potencia de un producto,Potencia de un cociente junto con ejemplos y actividad de la temática

MatemáticasMatemáticas
9

Racionalización

Definición caso uno caso dos ejemplos y ejercicios

MatemáticasMatemáticas
9

Operaciones básicas decimales

Suma resta multiplicación y división breves explicadas

MatemáticasMatemáticas
6

Plano cartesiano

Resuelto

MatemáticasMatemáticas
7

Leyes de exponentes y radicales- Matemáticas básicas

Documento ideal para repasar leyes de exponentes y radicales, con reglas claras, ejemplos resueltos y ejercicios prácticos. Perfecto para secundaria, preuniversitario o quienes preparan exámenes

MatemáticasMatemáticas
Universidad

Teorema de pitágoras

Qué es el teorema de pitágoras, cuando se usa y su clasificación.

MatemáticasMatemáticas
8

Función Exponencial

Función Exponencial

MatemáticasMatemáticas
9

Funciones Exponeneciales

apuntes con excelente explicacion y ejemplos acerca de las funciones exponenciales

MatemáticasMatemáticas
9

Contenidos más populares

English notebook

Cuaderno de ingles con diversos temas gramaticales

InglésInglés
8

English

Tiempos verbales en ingles

InglésInglés
9

Ciclo celular

Se explico las epatas del clico células: interfase, mitosis y meiosis

BiologiaBiologia
11

SIMPLE PAST

Tema: Icfes

ICFES: InglésICFES: Inglés
11

PRESENT PERFECT

Tema: Icfes

ICFES: InglésICFES: Inglés
11

Nomenclatura orgánica

Nomenclatura de todos los tipos de compuestos en orgánica con ejemplos

QuímicaQuímica
11

Verb to be

Este documento explica el verbo to be, que significa ser o estar en inglés. Incluye su definición, una tabla en presente simple y ejemplos fáciles.

InglésInglés
6

Estequiometria

Parcial #2 Química

QuímicaQuímica
Universidad

Gramatica completa ingles

Contiene la gramatica necesaria para el desarrollo del inglés

InglésInglés
10

¿No encuentras lo que buscas? Explora otros temas.

Opiniones de nuestros usuarios. Ellos obtuvieron cosas geniales — y tú también podrías.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

Pablo

usuario de iOS

Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.

Elena

usuaria de Android

Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

Ana

usuaria de iOS

Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.

Thomas R

usuario de iOS

Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.

Lisa M

usuaria de Android

A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.

David K

usuario de iOS

¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!

Sara

usuaria de Android

En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

Roberto

usuario de Android

Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!

Julia S

usuaria de Android

Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.

Marco B

usuario de iOS

Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.

Sarah L

usuaria de Android

Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.

Paul T

usuario de iOS

La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

Pablo

usuario de iOS

Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.

Elena

usuaria de Android

Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

Ana

usuaria de iOS

Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.

Thomas R

usuario de iOS

Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.

Lisa M

usuaria de Android

A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.

David K

usuario de iOS

¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!

Sara

usuaria de Android

En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

Roberto

usuario de Android

Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!

Julia S

usuaria de Android

Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.

Marco B

usuario de iOS

Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.

Sarah L

usuaria de Android

Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.

Paul T

usuario de iOS

Asignaturas

Matemáticas

 

Matemáticas

•

54

•

10 de dic de 2025

•

15 páginas

Vectores y Rectas en el Espacio

K

Keiner Ramirez

@sebit_as006

¿Alguna vez has pensado en cómo los físicos e ingenieros calculan fuerzas, áreas y volúmenes en el espacio? Todo empieza con las operaciones de vectores que vas a dominar aquí. Estas herramientas matemáticas son fundamentales para entender desde la mecánica... Mostrar más

Día Mes Año 28 21 Roy u = ( 22, 22 1 -2 ) 26 26 26 2) π = (2,-3,1) y = (4,2,5) Solución .11 = √45 11² = 45, u. V = (2,-3,1)/(4,2,5) =8-6+5=7

Inscríbete para ver los apuntes¡Es gratis!

Acceso a todos los documentos

Mejora tus notas

Únete a millones de estudiantes

Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.

Proyección de Vectores

La proyección vectorial te permite encontrar qué tanto de un vector "apunta" en la dirección de otro. Es como ver la sombra que proyecta un vector sobre otro cuando les das luz.

La fórmula es bastante directa: Proyv_v u⃗=u⃗.v⃗∣v⃗∣2v⃗\vec{u} = \frac{\vec{u}.\vec{v}}{|\vec{v}|^2}\vec{v}. Primero calculas el producto punto entre los vectores, luego lo divides por la magnitud al cuadrado del vector base.

Mirá el ejemplo: con u⃗=(2,−3,1)\vec{u} = (2, -3, 1) y v⃗=(4,2,5)\vec{v} = (4, 2, 5), primero encontrás u⃗.v⃗=8−6+5=7\vec{u}.\vec{v} = 8 - 6 + 5 = 7. Después calculás ∣v⃗∣2=45|\vec{v}|^2 = 45 y finalmente obtenés la proyección: (2845,1445,3545)\left(\frac{28}{45}, \frac{14}{45}, \frac{35}{45}\right).

Tip clave: La proyección siempre va en la dirección del vector sobre el cual proyectás. Si el producto punto es negativo, la proyección apunta en sentido contrario.

Día Mes Año 28 21 Roy u = ( 22, 22 1 -2 ) 26 26 26 2) π = (2,-3,1) y = (4,2,5) Solución .11 = √45 11² = 45, u. V = (2,-3,1)/(4,2,5) =8-6+5=7

Inscríbete para ver los apuntes¡Es gratis!

Acceso a todos los documentos

Mejora tus notas

Únete a millones de estudiantes

Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.

Producto Cruz: La Base del Cálculo Vectorial

El producto cruz (o producto vectorial) crea un nuevo vector perpendicular a los dos vectores originales. Esta operación es clave en física para calcular torques y campos magnéticos.

La fórmula usando determinantes es: u⃗×v⃗=∣i^j^k^ a1b1c1 a2b2c2∣\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ a_1 & b_1 & c_1 \ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix}. Expandís el determinante y obtenés las componentes i, j, k del vector resultante.

Algo súper importante: el producto cruz NO es conmutativo. Si calculás u⃗×v⃗\vec{u} \times \vec{v} obtenés el resultado opuesto a v⃗×u⃗\vec{v} \times \vec{u}. En el ejemplo, u⃗×v⃗=(8,−11,2)\vec{u} \times \vec{v} = (8, -11, 2) mientras que v⃗×u⃗=(−8,11,−2)\vec{v} \times \vec{u} = (-8, 11, -2).

¡Cuidado!: Siempre recordá que cambiar el orden cambia el signo del resultado. Esta propiedad es fundamental en aplicaciones físicas.

Día Mes Año 28 21 Roy u = ( 22, 22 1 -2 ) 26 26 26 2) π = (2,-3,1) y = (4,2,5) Solución .11 = √45 11² = 45, u. V = (2,-3,1)/(4,2,5) =8-6+5=7

Inscríbete para ver los apuntes¡Es gratis!

Acceso a todos los documentos

Mejora tus notas

Únete a millones de estudiantes

Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.

Más Ejemplos de Producto Cruz

Practicando con diferentes vectores vas a dominar esta operación. Cada ejemplo refuerza el patrón: calculás el determinante, expandís cuidadosamente y verificás que el orden importa.

Con A⃗=(2,−1,3)\vec{A} = (2, -1, 3) y B⃗=(1,4,0)\vec{B} = (1, 4, 0), el resultado es A⃗×B⃗=(−12,3,9)\vec{A} \times \vec{B} = (-12, 3, 9). Notá cómo cuando tenés un cero en alguna componente como la z de $\vec{B}$, los cálculos se simplifican bastante.

Las propiedades del producto cruz que necesitás memorizar son: distributividad, anticonmutatividad $\vec{u} \times \vec{v} = -\vec{v} \times \vec{u}$, y que el producto de un vector consigo mismo es cero. La propiedad más útil es el triple producto escalar: (u⃗×v⃗).w⃗=u⃗.(v⃗×w⃗)(\vec{u} \times \vec{v}).\vec{w} = \vec{u}.(\vec{v} \times \vec{w}).

Dato útil: Si dos vectores son paralelos, su producto cruz es el vector cero. Esto te sirve para verificar paralelismo rápidamente.

Día Mes Año 28 21 Roy u = ( 22, 22 1 -2 ) 26 26 26 2) π = (2,-3,1) y = (4,2,5) Solución .11 = √45 11² = 45, u. V = (2,-3,1)/(4,2,5) =8-6+5=7

Inscríbete para ver los apuntes¡Es gratis!

Acceso a todos los documentos

Mejora tus notas

Únete a millones de estudiantes

Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.

Propiedades Avanzadas y Triple Producto Escalar

Las propiedades del producto cruz son herramientas poderosas que te ahorran tiempo en cálculos complejos. La distributividad te permite "sacar factor común" y la anticonmutatividad te ayuda a reorganizar expresiones.

El triple producto escalar (u⃗×v⃗).w⃗(\vec{u} \times \vec{v}).\vec{w} es especialmente importante porque su valor absoluto representa el volumen del paralelepípedo formado por los tres vectores. En el ejemplo con A⃗(1,1,0)\vec{A}(1,1,0), B⃗(1,1,2)\vec{B}(1,1,2) y C⃗(−1,2,3)\vec{C}(-1,2,3), ambos métodos de cálculo dan 4.

Una propiedad clave es que u⃗.(u⃗×v⃗)=0\vec{u}.(\vec{u} \times \vec{v}) = 0 siempre. Esto confirma que el producto cruz es perpendicular a ambos vectores originales, lo cual es fundamental en muchas aplicaciones físicas.

Verificación rápida: Usá la propiedad del triple producto escalar para verificar tus cálculos. Si obtenés resultados diferentes con (A⃗×B⃗).C⃗(\vec{A} \times \vec{B}).\vec{C} y A⃗.(B⃗×C⃗)\vec{A}.(\vec{B} \times \vec{C}), revisá tus operaciones.

Día Mes Año 28 21 Roy u = ( 22, 22 1 -2 ) 26 26 26 2) π = (2,-3,1) y = (4,2,5) Solución .11 = √45 11² = 45, u. V = (2,-3,1)/(4,2,5) =8-6+5=7

Inscríbete para ver los apuntes¡Es gratis!

Acceso a todos los documentos

Mejora tus notas

Únete a millones de estudiantes

Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.

Cálculo de Ángulos con Producto Cruz

El teorema fundamental para ángulos dice que sin⁡φ=∣u⃗×v⃗∣∣u⃗∣⋅∣v⃗∣\sin \varphi = \frac{|\vec{u} \times \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}. Esta fórmula complementa la del coseno que ya conocés del producto punto.

Para encontrar el ángulo, calculás primero el producto cruz, después las magnitudes de ambos vectores, y finalmente aplicás la función arcoseno. Con los vectores u⃗=(4,2,−5)\vec{u} = (4, 2, -5) y v⃗=(3,2,−1)\vec{v} = (3, 2, -1), obtenés un ángulo de 33,21°.

La ventaja de usar el seno es que te da información clara sobre qué tan "perpendiculares" son los vectores. Si el resultado está cerca de 90°, los vectores son casi perpendiculares; si está cerca de 0°, son casi paralelos.

Pro tip: Combinando las fórmulas del seno y coseno podés obtener el ángulo completo sin ambigüedad. Esto es especialmente útil cuando trabajás con vectores en aplicaciones reales.

Día Mes Año 28 21 Roy u = ( 22, 22 1 -2 ) 26 26 26 2) π = (2,-3,1) y = (4,2,5) Solución .11 = √45 11² = 45, u. V = (2,-3,1)/(4,2,5) =8-6+5=7

Inscríbete para ver los apuntes¡Es gratis!

Acceso a todos los documentos

Mejora tus notas

Únete a millones de estudiantes

Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.

Aplicaciones Geométricas: Áreas y Volúmenes

Acá es donde el producto cruz se vuelve súper práctico. El área del paralelogramo formado por dos vectores es simplemente ∣u⃗×v⃗∣|\vec{u} \times \vec{v}|, y el área del triángulo es la mitad de eso.

Para calcular volúmenes, usás el triple producto escalar: V=∣(u⃗×v⃗).w⃗∣V = |(\vec{u} \times \vec{v}).\vec{w}|. Este número te da el volumen del paralelepípedo formado por los tres vectores.

Las identidades avanzadas como A⃗×(B⃗×C⃗)=(C⃗.A⃗)B⃗−(B⃗.A⃗)C⃗\vec{A} \times (\vec{B} \times \vec{C}) = (\vec{C}.\vec{A})\vec{B} - (\vec{B}.\vec{A})\vec{C} son útiles para simplificar expresiones complejas. También recordá que el producto cruz siempre produce vectores perpendiculares a los originales.

Aplicación real: Estas fórmulas son las que usan los ingenieros para calcular áreas de superficies irregulares y volúmenes de objetos complejos en 3D.

Día Mes Año 28 21 Roy u = ( 22, 22 1 -2 ) 26 26 26 2) π = (2,-3,1) y = (4,2,5) Solución .11 = √45 11² = 45, u. V = (2,-3,1)/(4,2,5) =8-6+5=7

Inscríbete para ver los apuntes¡Es gratis!

Acceso a todos los documentos

Mejora tus notas

Únete a millones de estudiantes

Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.

Ejemplos Prácticos de Áreas

Cuando tenés tres puntos en el espacio, podés formar vectores entre ellos y calcular áreas fácilmente. La clave es elegir bien qué vectores usar: generalmente tomás dos que salgan del mismo punto.

Con los puntos P(1,3,-2), Q(2,1,4) y R(-3,1,6), formás u⃗=QP⃗=(−1,2,−6)\vec{u} = \vec{QP} = (-1, 2, -6) y v⃗=QR⃗=(−5,0,2)\vec{v} = \vec{QR} = (-5, 0, 2). El producto cruz te da la magnitud 1140\sqrt{1140}, que es el área del paralelogramo.

Para el área del triángulo simplemente dividís por 2. Este método funciona sin importar cómo estén orientados los puntos en el espacio, lo cual lo hace súper versátil para problemas de geometría.

Estrategia útil: Siempre verificá que estés usando vectores que realmente formen los lados de la figura. Un error común es usar vectores que no están conectados correctamente.

Día Mes Año 28 21 Roy u = ( 22, 22 1 -2 ) 26 26 26 2) π = (2,-3,1) y = (4,2,5) Solución .11 = √45 11² = 45, u. V = (2,-3,1)/(4,2,5) =8-6+5=7

Inscríbete para ver los apuntes¡Es gratis!

Acceso a todos los documentos

Mejora tus notas

Únete a millones de estudiantes

Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.

Cálculo de Volúmenes en 3D

El volumen del paralelepípedo se calcula con el valor absoluto del triple producto escalar. Es una herramienta fundamental para entender espacios tridimensionales y relaciones entre vectores.

En el ejemplo con u⃗=(1,−1,0)\vec{u} = (1, -1, 0), v⃗=(3,0,2)\vec{v} = (3, 0, 2), y w⃗=(0,7,3)\vec{w} = (0, 7, 3), calculás primero u⃗×v⃗\vec{u} \times \vec{v} para obtener (−2,−3,3)(-2, -3, 3). Después hacés el producto punto con w⃗\vec{w} y obtenés -5, así que el volumen es ∣−5∣=5|-5| = 5 unidades cúbicas.

La ventaja de este método es que funciona independientemente de cómo estén orientados los vectores. El signo te indica la orientación, pero para volumen solo necesitás el valor absoluto.

Truco de verificación: Si obtenés cero, significa que los tres vectores son coplanarios (están en el mismo plano), así que no forman un volumen real.

Día Mes Año 28 21 Roy u = ( 22, 22 1 -2 ) 26 26 26 2) π = (2,-3,1) y = (4,2,5) Solución .11 = √45 11² = 45, u. V = (2,-3,1)/(4,2,5) =8-6+5=7

Inscríbete para ver los apuntes¡Es gratis!

Acceso a todos los documentos

Mejora tus notas

Únete a millones de estudiantes

Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.

Más Ejemplos de Volumen y Introducción a Rectas

Practicando con diferentes conjuntos de vectores consolidás tu comprensión del triple producto escalar. En el segundo ejemplo, con vectores u⃗=(2,3,−1)\vec{u} = (2,3,-1), v⃗=(3,−7,5)\vec{v} = (3,-7,5) y w⃗=(1,−5,2)\vec{w} = (1,-5,2), el resultado es 27 unidades cúbicas.

Ahora pasamos a un tema nuevo: rectas en el espacio. Una recta se define completamente con un punto sobre ella y un vector que indica su dirección. Si tenés dos puntos P y Q sobre la recta, el vector PQ⃗\vec{PQ} te da la dirección.

La idea fundamental es que cualquier punto R sobre la recta se puede expresar como: OR⃗=OP⃗+tv⃗\vec{OR} = \vec{OP} + t\vec{v}, donde tt es un parámetro que varía y v⃗\vec{v} es el vector direccional.

Concepto clave: El parámetro tt te permite "caminar" a lo largo de la recta. Cuando t=0t = 0, estás en el punto inicial; valores positivos y negativos te llevan en direcciones opuestas.

Día Mes Año 28 21 Roy u = ( 22, 22 1 -2 ) 26 26 26 2) π = (2,-3,1) y = (4,2,5) Solución .11 = √45 11² = 45, u. V = (2,-3,1)/(4,2,5) =8-6+5=7

Inscríbete para ver los apuntes¡Es gratis!

Acceso a todos los documentos

Mejora tus notas

Únete a millones de estudiantes

Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.

Ecuaciones de la Recta en el Espacio

Las tres formas de escribir una recta son igualmente válidas y útiles según el contexto. La ecuación vectorial (x,y,z)=(x1,y1,z1)+(a,b,c)t(x, y, z) = (x_1, y_1, z_1) + (a, b, c)t es la más intuitiva porque muestra claramente el punto inicial y la dirección.

La ecuación paramétrica separa las componentes: x=x1+atx = x_1 + at, y=y1+bty = y_1 + bt, z=z1+ctz = z_1 + ct. Esta forma es práctica para hacer cálculos específicos o programar en computadora.

La ecuación simétrica x−x1a=y−y1b=z−z1c=t\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c} = t elimina el parámetro y muestra la relación directa entre las coordenadas. Es útil para encontrar intersecciones y analizar propiedades geométricas.

Aplicación práctica: En física e ingeniería, estas ecuaciones describen trayectorias de partículas, rayos de luz, y cualquier movimiento rectilíneo en el espacio.

Día Mes Año 28 21 Roy u = ( 22, 22 1 -2 ) 26 26 26 2) π = (2,-3,1) y = (4,2,5) Solución .11 = √45 11² = 45, u. V = (2,-3,1)/(4,2,5) =8-6+5=7

Inscríbete para ver los apuntes¡Es gratis!

Acceso a todos los documentos

Mejora tus notas

Únete a millones de estudiantes

Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.

Día Mes Año 28 21 Roy u = ( 22, 22 1 -2 ) 26 26 26 2) π = (2,-3,1) y = (4,2,5) Solución .11 = √45 11² = 45, u. V = (2,-3,1)/(4,2,5) =8-6+5=7

Inscríbete para ver los apuntes¡Es gratis!

Acceso a todos los documentos

Mejora tus notas

Únete a millones de estudiantes

Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.

Día Mes Año 28 21 Roy u = ( 22, 22 1 -2 ) 26 26 26 2) π = (2,-3,1) y = (4,2,5) Solución .11 = √45 11² = 45, u. V = (2,-3,1)/(4,2,5) =8-6+5=7

Inscríbete para ver los apuntes¡Es gratis!

Acceso a todos los documentos

Mejora tus notas

Únete a millones de estudiantes

Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.

Día Mes Año 28 21 Roy u = ( 22, 22 1 -2 ) 26 26 26 2) π = (2,-3,1) y = (4,2,5) Solución .11 = √45 11² = 45, u. V = (2,-3,1)/(4,2,5) =8-6+5=7

Inscríbete para ver los apuntes¡Es gratis!

Acceso a todos los documentos

Mejora tus notas

Únete a millones de estudiantes

Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.

Día Mes Año 28 21 Roy u = ( 22, 22 1 -2 ) 26 26 26 2) π = (2,-3,1) y = (4,2,5) Solución .11 = √45 11² = 45, u. V = (2,-3,1)/(4,2,5) =8-6+5=7

Inscríbete para ver los apuntes¡Es gratis!

Acceso a todos los documentos

Mejora tus notas

Únete a millones de estudiantes

Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.

Pensamos que nunca lo preguntarías...

¿Qué es Knowunity AI companion?

Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.

¿Dónde puedo descargar la app Knowunity?

Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.

¿Knowunity es totalmente gratuito?

¡Sí lo es! Tienes acceso totalmente gratuito a todo el contenido de la app, puedes chatear con otros alumnos y recibir ayuda inmeditamente. Puedes ganar dinero utilizando la aplicación, que te permitirá acceder a determinadas funciones.

0

Herramientas Inteligentes NUEVO

Transforma estos apuntes en: ✓ 50+ Preguntas de Práctica ✓ Fichas Interactivas ✓ Examen Completo de Práctica ✓ Esquemas de Ensayo

Examen de Práctica
Quiz
Fichas
Ensayo

Contenidos más populares: Cross Product

Clase 3 - Algebra lineal

Temas: Propiedades del Producto escalar, Desigualdad del triangulo , ángulo entra vectores , producto cruz, determinante, producto mixto escalar

MatemáticasMatemáticas
11

Clase 4 - Algebra Lineal

Temas: Ejercicio producto vectorial o cruz, ecuaciones vectorial y parámetros, posicion de dos rectas en el espacio , distancia de un punto a una recta, planos en R^3

MatemáticasMatemáticas
11

Contenidos más populares de Matemáticas

Ecuación cuadrática

Definición, procedimiento

MatemáticasMatemáticas
2°M

Propiedades de los exponentes

Diapositivas donde se explica el tema propiedades de los exponentes abarcado explicacion de Producto de potencias,Cociente de potencias,Potencia de una potencia,Potencia de un producto,Potencia de un cociente junto con ejemplos y actividad de la temática

MatemáticasMatemáticas
9

Racionalización

Definición caso uno caso dos ejemplos y ejercicios

MatemáticasMatemáticas
9

Operaciones básicas decimales

Suma resta multiplicación y división breves explicadas

MatemáticasMatemáticas
6

Plano cartesiano

Resuelto

MatemáticasMatemáticas
7

Leyes de exponentes y radicales- Matemáticas básicas

Documento ideal para repasar leyes de exponentes y radicales, con reglas claras, ejemplos resueltos y ejercicios prácticos. Perfecto para secundaria, preuniversitario o quienes preparan exámenes

MatemáticasMatemáticas
Universidad

Teorema de pitágoras

Qué es el teorema de pitágoras, cuando se usa y su clasificación.

MatemáticasMatemáticas
8

Función Exponencial

Función Exponencial

MatemáticasMatemáticas
9

Funciones Exponeneciales

apuntes con excelente explicacion y ejemplos acerca de las funciones exponenciales

MatemáticasMatemáticas
9

Contenidos más populares

English notebook

Cuaderno de ingles con diversos temas gramaticales

InglésInglés
8

English

Tiempos verbales en ingles

InglésInglés
9

Ciclo celular

Se explico las epatas del clico células: interfase, mitosis y meiosis

BiologiaBiologia
11

SIMPLE PAST

Tema: Icfes

ICFES: InglésICFES: Inglés
11

PRESENT PERFECT

Tema: Icfes

ICFES: InglésICFES: Inglés
11

Nomenclatura orgánica

Nomenclatura de todos los tipos de compuestos en orgánica con ejemplos

QuímicaQuímica
11

Verb to be

Este documento explica el verbo to be, que significa ser o estar en inglés. Incluye su definición, una tabla en presente simple y ejemplos fáciles.

InglésInglés
6

Estequiometria

Parcial #2 Química

QuímicaQuímica
Universidad

Gramatica completa ingles

Contiene la gramatica necesaria para el desarrollo del inglés

InglésInglés
10

¿No encuentras lo que buscas? Explora otros temas.

Opiniones de nuestros usuarios. Ellos obtuvieron cosas geniales — y tú también podrías.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

Pablo

usuario de iOS

Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.

Elena

usuaria de Android

Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

Ana

usuaria de iOS

Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.

Thomas R

usuario de iOS

Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.

Lisa M

usuaria de Android

A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.

David K

usuario de iOS

¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!

Sara

usuaria de Android

En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

Roberto

usuario de Android

Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!

Julia S

usuaria de Android

Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.

Marco B

usuario de iOS

Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.

Sarah L

usuaria de Android

Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.

Paul T

usuario de iOS

La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

Pablo

usuario de iOS

Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.

Elena

usuaria de Android

Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

Ana

usuaria de iOS

Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.

Thomas R

usuario de iOS

Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.

Lisa M

usuaria de Android

A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.

David K

usuario de iOS

¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!

Sara

usuaria de Android

En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

Roberto

usuario de Android

Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!

Julia S

usuaria de Android

Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.

Marco B

usuario de iOS

Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.

Sarah L

usuaria de Android

Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.

Paul T

usuario de iOS