Asignaturas
Matemáticas
18 de dic de 2025
65
7 páginas
Nikki 💕 @icollejan
¿Sabías que los triángulos están en todas partes? Desde las escaleras que usas hasta los edificios que ves,... Mostrar más
Esta unidad te va a convertir en un experto resolviendo triángulos de todo tipo. Vas a aprender desde lo básico de los triángulos rectángulos hasta técnicas avanzadas para los triángulos oblicuángulos.
Los temas principales incluyen la resolución de triángulos rectángulos usando razones trigonométricas, ángulos de elevación y depresión para problemas del mundo real, y las famosas ley de senos y ley de cosenos para triángulos que no tienen ángulos de 90°.
También aprenderás a calcular áreas usando la ley de Herón, una fórmula súper útil cuando solo conoces los lados del triángulo.
¡Dato clave! Resolver un triángulo significa encontrar todos sus ángulos y lados usando la información que ya tienes.
Los triángulos rectángulos son tu punto de partida porque siempre tienen un ángulo de 90°. Esto los hace más fáciles de resolver usando el teorema de Pitágoras h² = c₁² + c₂².
Las razones trigonométricas son tus herramientas principales
Recuerda que la suma de los ángulos internos siempre es 180°, y la hipotenusa es siempre el lado más largo.
Truco importante En un triángulo rectángulo, si conoces dos datos (un lado y un ángulo, o dos lados), puedes encontrar todo lo demás.
Las seis funciones trigonométricas te dan herramientas completas para cualquier triángulo rectángulo. Además del seno, coseno y tangente, tienes sus inversas cosecante, secante y cotangente.
Por ejemplo, con un triángulo de lados 5, 12 y 13 cm, puedes calcular que sen = 5/13, cos = 12/13, y tan = 5/12. Las funciones inversas son simplemente los recíprocos.
Para resolver un triángulo completamente, necesitas encontrar todos sus ángulos y lados. Usa la suma de ángulos (180°) y las razones trigonométricas para completar la información faltante.
Consejo práctico Siempre verifica que tus respuestas tengan sentido. Los ángulos deben sumar 180° y la hipotenusa debe ser el lado más largo.
Los ángulos de elevación y depresión conectan la trigonometría con situaciones reales que ves todos los días. El ángulo de elevación es cuando miras hacia arriba desde la horizontal, y el de depresión es cuando miras hacia abajo.
Imagina a la señora Rodríguez con su escalera de 6 metros. Si el extremo superior está a 4 metros de altura en la pared, puedes usar Pitágoras para encontrar que la base está a 2√5 metros de la pared.
El problema del globo aerostático es perfecto para practicar. Si sube 70 metros por minuto y un observador está a 400 metros del punto de despegue, puedes calcular tanto la altura como los ángulos de elevación en diferentes momentos.
Aplicación real Estos conceptos se usan en arquitectura, navegación, y hasta en videojuegos para calcular trayectorias.
Los triángulos oblicuángulos no tienen ángulos de 90°, así que necesitas herramientas más poderosas. Aquí entran la ley de senos y la ley de cosenos, que funcionan para cualquier triángulo.
La ley de senos dice que a/sen A = b/sen B = c/sen C. Es perfecta cuando conoces un lado y su ángulo opuesto, más otro lado o ángulo.
La ley de cosenos es como Pitágoras pero mejorada a² = b² + c² - 2bc·cos A. La usas cuando conoces dos lados y el ángulo entre ellos, o cuando tienes los tres lados.
Estrategia clave Decide qué ley usar según los datos que tengas. La ley de senos para casos ASA o AAS, y la ley de cosenos para casos SAS o SSS.
Resolver un triángulo significa encontrar todos sus lados y ángulos usando los datos que tienes. El proceso siempre empieza identificando qué información conoces y cuál necesitas.
En el ejemplo mostrado, con A = 57°, B = 90°, a = 3 y b = 5, primero encuentras C = 33° (porque los ángulos suman 180°). Luego usas seno para hallar el lado faltante sen 33° = c/5, entonces c ≈ 2.72.
Para figuras como pentágonos regulares inscritos en circunferencias, divides 360° entre el número de lados para crear triángulos manejables. Con radio 5 cm, cada triángulo central tiene ángulo de 72°.
Método ganador Siempre dibuja el triángulo y marca toda la información conocida antes de empezar los cálculos.
Los problemas complejos combinan todas las técnicas que has aprendido. Cuando tienes un triángulo con a = 12, B = 45°, y C = 105°, primero encuentras A = 30° (suma de ángulos).
Luego aplicas la ley de senos sistemáticamente 12/sen 30° = b/sen 45° = c/sen 105°. Esto te da b ≈ 16.97 y c ≈ 23.18.
La clave está en trabajar paso a paso y verificar que tus resultados sean coherentes. Un ángulo mayor siempre está opuesto al lado mayor.
Consejo final Practica identificar rápidamente qué ley usar. Con experiencia, podrás resolver cualquier triángulo en pocos pasos.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
¡Sí lo es! Tienes acceso totalmente gratuito a todo el contenido de la app, puedes chatear con otros alumnos y recibir ayuda inmeditamente. Puedes ganar dinero utilizando la aplicación, que te permitirá acceder a determinadas funciones.
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Transforma estos apuntes en: ✓ 50+ Preguntas de Práctica ✓ Fichas Interactivas ✓ Examen Completo de Práctica ✓ Esquemas de Ensayo
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Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuaria de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuaria de Android
Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
usuaria de Android
Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
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Roberto
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Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
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¿Sabías que los triángulos están en todas partes? Desde las escaleras que usas hasta los edificios que ves, entender cómo funcionan los triángulos te ayudará a resolver problemas del mundo real. En estas notas vas a dominar tanto los triángulos... Mostrar más
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Los temas principales incluyen la resolución de triángulos rectángulos usando razones trigonométricas, ángulos de elevación y depresión para problemas del mundo real, y las famosas ley de senos y ley de cosenos para triángulos que no tienen ángulos de 90°.
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Recuerda que la suma de los ángulos internos siempre es 180°, y la hipotenusa es siempre el lado más largo.
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La ley de senos dice que a/sen A = b/sen B = c/sen C. Es perfecta cuando conoces un lado y su ángulo opuesto, más otro lado o ángulo.
La ley de cosenos es como Pitágoras pero mejorada: a² = b² + c² - 2bc·cos A. La usas cuando conoces dos lados y el ángulo entre ellos, o cuando tienes los tres lados.
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En el ejemplo mostrado, con A = 57°, B = 90°, a = 3 y b = 5, primero encuentras C = 33° (porque los ángulos suman 180°). Luego usas seno para hallar el lado faltante: sen 33° = c/5, entonces c ≈ 2.72.
Para figuras como pentágonos regulares inscritos en circunferencias, divides 360° entre el número de lados para crear triángulos manejables. Con radio 5 cm, cada triángulo central tiene ángulo de 72°.
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Luego aplicas la ley de senos sistemáticamente: 12/sen 30° = b/sen 45° = c/sen 105°. Esto te da b ≈ 16.97 y c ≈ 23.18.
La clave está en trabajar paso a paso y verificar que tus resultados sean coherentes. Un ángulo mayor siempre está opuesto al lado mayor.
Consejo final: Practica identificar rápidamente qué ley usar. Con experiencia, podrás resolver cualquier triángulo en pocos pasos.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
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Sara
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
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