Matemáticas
8 de dic de 2025
380
11 páginas
vivianrivera317 @vivianrivera317_ccex
¿Sabías que las matemáticas están llenas de patrones y reglas que hacen que todo tenga sentido? Desde las... Mostrar más
Las propiedades de los números reales son como las reglas del juego en matemáticas. Sin importar qué números uses, estas reglas siempre van a funcionar igual.
La propiedad clausurativa significa que cuando sumas o multiplicas dos números reales, el resultado siempre va a ser otro número real. Por ejemplo 3 + 9/3 = 6, que sigue siendo un número real.
La propiedad conmutativa te dice que no importa el orden 5 + 3 = 3 + 5. Con la propiedad asociativa, puedes agrupar los números como quieras (3 + 4) + 5 = 3 + (4 + 5).
💡 Dato clave La propiedad modulativa te da elementos súper útiles el 0 para la suma y el 1 para la multiplicación .
Las funciones lineales siguen la fórmula y = mx + b, donde m es la pendiente y b es donde la recta cruza el eje y. Para calcular la pendiente entre dos puntos, usas m = /.
Cuando necesites encontrar qué tan lejos están dos puntos, la fórmula de distancia es tu mejor amiga d = √. Es como usar el teorema de Pitágoras en el plano.
Para hallar la ecuación de una recta que pasa por dos puntos específicos, primero calculas la pendiente y después usas y - y₁ = m. Con un poco de álgebra, llegas a la forma y = mx + b.
💡 Consejo Siempre verifica tus cálculos sustituyendo los puntos originales en tu ecuación final.
¿Quieres que dos rectas nunca se toquen? Hazlas paralelas dándoles la misma pendiente. Es así de simple si una recta tiene pendiente m = 3, cualquier recta paralela también tendrá m = 3.
Para las rectas perpendiculares, la cosa cambia completamente. Sus pendientes se multiplican y dan -1. Si una recta tiene pendiente m = 3, la perpendicular tendrá m' = -1/3.
Cuando te dan una recta y un punto, y necesitas encontrar la paralela o perpendicular, primero identificas la pendiente original. Luego aplicas la regla correspondiente y usas la fórmula punto-pendiente y - y₁ = m.
💡 Truco Para recordar perpendiculares, piensa "voltear y cambiar signo" - si es a/b, se vuelve -b/a.
Las funciones cuadráticas son las que tienen una variable elevada al cuadrado como máximo exponente. Su gráfica siempre forma una parábola, esa curva que parece una sonrisa o una mueca.
Una parábola tiene partes súper importantes el vértice (el punto más alto o más bajo), el foco (un punto especial dentro de la curva), el eje de simetría (la línea que divide la parábola por la mitad) y la directriz (una línea recta relacionada con el foco).
Existen cuatro tipos principales de parábolas, dependiendo de qué variable esté al cuadrado y si el coeficiente es positivo o negativo. La ecuación canónica ² = 4p te da toda la info el vértice está en (h, k) y p es la distancia focal.
💡 Dato clave El lado recto de una parábola siempre mide 4p, donde p es la distancia focal.
Con la ecuación ² = -12, puedes identificar rápidamente que el vértice está en (-3, 4). La distancia focal se calcula dividiendo el coeficiente entre 4 p = -12/4 = -3.
Para ² = 16, el vértice cambia a (2, 6) y la distancia focal es p = 16/4 = 4. El lado recto siempre es 4p, así que en este caso mide 16 unidades.
Estos ejemplos te muestran cómo la forma canónica te da toda la información geométrica de la parábola de manera directa. Solo necesitas identificar h, k y p para entender completamente la curva.
💡 Tip El signo del coeficiente te dice hacia dónde "abre" la parábola - positivo hacia arriba/derecha, negativo hacia abajo/izquierda.
Las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente) son herramientas súper poderosas para resolver triángulos. Con ellas puedes encontrar cualquier lado o ángulo que te falte.
Seno = cateto opuesto/hipotenusa, coseno = cateto adyacente/hipotenusa, y tangente = cateto opuesto/cateto adyacente. Estas definiciones nunca cambian, sin importar el tamaño del triángulo.
Cuando resuelves un triángulo, identificas qué datos tienes y cuál necesitas. Después eliges la razón trigonométrica que conecte esos elementos. Por ejemplo, si conoces un ángulo y un cateto, y necesitas el otro cateto, usas tangente.
💡 Estrategia Siempre dibuja el triángulo y marca los datos conocidos - esto te ayuda a visualizar qué razón usar.
La trigonometría no es solo teoría - la usas para resolver problemas reales súper interesantes. Desde calcular la altura de un edificio hasta determinar cuánto cable necesitas para sostener un poste.
En el ejemplo del poste de 20 m con un cable que forma 30° con el suelo, usas sen 30° = 20/h para encontrar que necesitas 40 m de cable. Si cada metro cuesta 480,000.
Para medir la altura de un árbol desde 8 m de distancia con un ángulo de 36°, usas tan 36° = h/8. La altura del árbol sería 5.7 m, pero si estás parado a 1.7 m del suelo, la altura total es 7.4 m.
💡 Consejo práctico Siempre suma tu altura de observación al resultado final cuando midas objetos altos.
La traslación de funciones te permite mover gráficas por todo el plano coordenado. Para la traslación horizontal, los cambios van dentro del paréntesis y funcionan al revés de lo que esperas.
Para mover una función hacia la derecha (positivo), restas dentro del paréntesis f(x) = sen mueve la función 2 unidades a la derecha. Para mover hacia la izquierda (negativo), sumas f(x) = sen la mueve 2 unidades a la izquierda.
Este comportamiento "al revés" puede confundir al principio, pero tiene lógica matemática. Cuando x debe ser mayor para obtener el mismo valor de y, la gráfica se mueve hacia la derecha.
💡 Regla de oro En traslación horizontal, hacer lo opuesto a lo que quieres conseguir te da el resultado correcto.
Con f(x) = sen(x), la función original no tiene traslación. Pero f(x) = sen mueve toda la gráfica 2 unidades hacia la izquierda, mientras que f(x) = sen la mueve 2 unidades hacia la derecha.
Para funciones cuadráticas funciona igual f(x) = ² mueve la parábola 1 unidad a la derecha, y f(x) = ² la mueve 4 unidades a la izquierda.
La clave está en entender que el valor dentro del paréntesis afecta cuándo la función alcanza sus valores característicos. Por eso el efecto parece invertido.
💡 Verificación Prueba con x = 0 en ambas funciones para ver claramente el desplazamiento.
La traslación vertical es mucho más intuitiva que la horizontal. Los cambios van fuera del paréntesis y funcionan exactamente como esperas.
Para subir la función, sumas f(x) = sen x + 3 mueve toda la gráfica 3 unidades hacia arriba. Para bajarla, restas f(x) = sen x - 4 la baja 4 unidades.
Este tipo de traslación es súper fácil de visualizar porque cada punto de la gráfica original se mueve la misma cantidad verticalmente. No cambia la forma, solo la posición en el eje y.
💡 Diferencia clave A diferencia de la traslación horizontal, en la vertical sumas/restas exactamente lo que quieres mover.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
¡Sí lo es! Tienes acceso totalmente gratuito a todo el contenido de la app, puedes chatear con otros alumnos y recibir ayuda inmeditamente. Puedes ganar dinero utilizando la aplicación, que te permitirá acceder a determinadas funciones.
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuaria de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuaria de Android
Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
usuaria de Android
Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
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vivianrivera317
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¿Sabías que las matemáticas están llenas de patrones y reglas que hacen que todo tenga sentido? Desde las propiedades básicas de los números hasta las funciones trigonométricas que usamos para medir edificios, estos conceptos te van a ayudar a resolver... Mostrar más
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Las propiedades de los números reales son como las reglas del juego en matemáticas. Sin importar qué números uses, estas reglas siempre van a funcionar igual.
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La propiedad conmutativa te dice que no importa el orden: 5 + 3 = 3 + 5. Con la propiedad asociativa, puedes agrupar los números como quieras: (3 + 4) + 5 = 3 + (4 + 5).
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Para hallar la ecuación de una recta que pasa por dos puntos específicos, primero calculas la pendiente y después usas y - y₁ = m. Con un poco de álgebra, llegas a la forma y = mx + b.
💡 Consejo: Siempre verifica tus cálculos sustituyendo los puntos originales en tu ecuación final.
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Para las rectas perpendiculares, la cosa cambia completamente. Sus pendientes se multiplican y dan -1. Si una recta tiene pendiente m = 3, la perpendicular tendrá m' = -1/3.
Cuando te dan una recta y un punto, y necesitas encontrar la paralela o perpendicular, primero identificas la pendiente original. Luego aplicas la regla correspondiente y usas la fórmula punto-pendiente: y - y₁ = m.
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Existen cuatro tipos principales de parábolas, dependiendo de qué variable esté al cuadrado y si el coeficiente es positivo o negativo. La ecuación canónica ² = 4p te da toda la info: el vértice está en (h, k) y p es la distancia focal.
💡 Dato clave: El lado recto de una parábola siempre mide 4p, donde p es la distancia focal.
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Con la ecuación ² = -12, puedes identificar rápidamente que el vértice está en (-3, 4). La distancia focal se calcula dividiendo el coeficiente entre 4: p = -12/4 = -3.
Para ² = 16, el vértice cambia a (2, 6) y la distancia focal es p = 16/4 = 4. El lado recto siempre es 4p, así que en este caso mide 16 unidades.
Estos ejemplos te muestran cómo la forma canónica te da toda la información geométrica de la parábola de manera directa. Solo necesitas identificar h, k y p para entender completamente la curva.
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Cuando resuelves un triángulo, identificas qué datos tienes y cuál necesitas. Después eliges la razón trigonométrica que conecte esos elementos. Por ejemplo, si conoces un ángulo y un cateto, y necesitas el otro cateto, usas tangente.
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En el ejemplo del poste de 20 m con un cable que forma 30° con el suelo, usas sen 30° = 20/h para encontrar que necesitas 40 m de cable. Si cada metro cuesta 480,000.
Para medir la altura de un árbol desde 8 m de distancia con un ángulo de 36°, usas tan 36° = h/8. La altura del árbol sería 5.7 m, pero si estás parado a 1.7 m del suelo, la altura total es 7.4 m.
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Para mover una función hacia la derecha (positivo), restas dentro del paréntesis: f(x) = sen mueve la función 2 unidades a la derecha. Para mover hacia la izquierda (negativo), sumas: f(x) = sen la mueve 2 unidades a la izquierda.
Este comportamiento "al revés" puede confundir al principio, pero tiene lógica matemática. Cuando x debe ser mayor para obtener el mismo valor de y, la gráfica se mueve hacia la derecha.
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Con f(x) = sen(x), la función original no tiene traslación. Pero f(x) = sen mueve toda la gráfica 2 unidades hacia la izquierda, mientras que f(x) = sen la mueve 2 unidades hacia la derecha.
Para funciones cuadráticas funciona igual: f(x) = ² mueve la parábola 1 unidad a la derecha, y f(x) = ² la mueve 4 unidades a la izquierda.
La clave está en entender que el valor dentro del paréntesis afecta cuándo la función alcanza sus valores característicos. Por eso el efecto parece invertido.
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Este tipo de traslación es súper fácil de visualizar porque cada punto de la gráfica original se mueve la misma cantidad verticalmente. No cambia la forma, solo la posición en el eje y.
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Pablo
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