Asignaturas
36
•
3 de dic de 2025
•
Keiner Ramirez
@sebit_as006
Los sistemas de ecuaciones lineales son fundamentales para resolver problemas... Mostrar más
Un sistema de ecuaciones lineales no homogéneo contiene m ecuaciones con n incógnitas donde los términos independientes no son todos cero. Al resolver estos sistemas podemos encontrar tres posibles resultados: única solución, infinitas soluciones o ninguna solución.
Para determinar qué tipo de solución tendrá nuestro sistema, comparamos los pivotes (primer número no cero de cada fila) entre las matrices. Si el número de pivotes de la matriz de coeficientes es diferente al de la matriz ampliada, el sistema no tiene solución. Cuando son iguales, el sistema tiene solución y además:
💡 El método de eliminación gaussiana (o método de pivotes) es la técnica que usaremos para resolver estos sistemas, transformando la matriz hasta una forma escalonada reducida.
Veamos cómo resolver un sistema con única solución. Tomemos el siguiente sistema:
2x₁ + 4x₂ + 6 = 18
4x₁ + 5x₂ + 6 = 24
3x₁ + 1x₃ - 6 = 18
Aplicamos eliminación gaussiana, transformando la matriz por filas hasta obtener la forma escalonada reducida. Multiplicamos, dividimos y restamos filas estratégicamente para conseguir pivotes igual a 1 y ceros debajo de estos pivotes.
Tras varios pasos de reducción, llegamos a la matriz identidad y los valores de nuestras incógnitas:
x₁ = -6/5
x₂ = 9/5
x₃ = -11/5
Este sistema tiene única solución porque el número de incógnitas es igual al número de ecuaciones, y la matriz reducida tiene el mismo rango que la matriz ampliada.
Analicemos otro sistema:
x₁ + 2x₂ + 3x₃ = 9
4x₁ + 5x₂ + 6x₃ = 24
3x₁ - x₂ - 2x₃ = 4
Al aplicar eliminación gaussiana, transformamos la matriz por filas. Primero restamos múltiplos de la primera fila a las otras para obtener ceros en la primera columna debajo del pivote. Luego normalizamos la segunda fila y eliminamos los elementos por encima y debajo del pivote.
Continuamos este proceso hasta llegar a la matriz identidad, obteniendo:
x₁ = 4
x₂ = -2
x₃ = 3
🧩 ¡La clave para resolver estos sistemas está en trabajar ordenadamente! Identifica los pivotes en cada paso y mantén la coherencia en tus operaciones entre filas.
Nuevamente, tenemos una única solución porque nuestro sistema tiene el mismo número de ecuaciones que de incógnitas, y hemos podido reducir completamente la matriz.
Estudiemos ahora un sistema con infinitas soluciones:
2x₁ + 4y + 6z = 18
4x₁ + 5y + 6z = 24
2x₁ + 7y + 12z = 30
Al reducir la matriz, llegamos a:
[1 0 -1 | 1]
[0 1 2 | 4]
[0 0 0 | 0]
Esta matriz nos indica que tenemos infinitas soluciones, expresadas como:
x = 1 + z
y = 4 - 2z
z = valor arbitrario
Por otro lado, analicemos un sistema sin solución:
2x + 4y + 6z = 18
4x + 5y + 6z = 24
2x + 7y + 7z = 32
Al reducir, obtenemos:
[1 0 -1 | 1]
[0 1 2 | 4]
[0 0 0 | 2/3]
Este sistema no tiene solución porque llegamos a una contradicción (0 = 2/3), lo que ocurre cuando el número de pivotes en la matriz de coeficientes difiere del número de pivotes en la matriz ampliada.
Un sistema homogéneo tiene todos sus términos independientes iguales a cero:
a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = 0
...
aₘ₁x₁ + aₘ₂x₂ + ... + aₘₙxₙ = 0
Los sistemas homogéneos tienen dos tipos posibles de soluciones:
Para tener solución trivial, el número de incógnitas debe ser igual al número de ecuaciones. En cambio, para obtener soluciones no triviales, el número de incógnitas debe superar al de ecuaciones.
Veamos un ejemplo de sistema homogéneo:
2x₁ + 4x₂ + 6x₃ = 0
4x₁ + 3x₂ + 6x₃ = 0
3x₁ + x₂ - 2x₃ = 0
Aplicamos eliminación gaussiana como antes. Al reducir completamente la matriz, obtenemos:
[1 0 0 | 0]
[0 1 0 | 0]
[0 0 1 | 0]
Lo que nos da la solución:
x₁ = 0
x₂ = 0
x₃ = 0
🔍 Todo sistema homogéneo tiene siempre al menos la solución trivial (todas las variables iguales a cero). La clave está en determinar si existen también soluciones no triviales.
Este ejemplo tiene solo la solución trivial porque el número de ecuaciones es igual al de incógnitas y la matriz tiene rango completo. Si tuviéramos más incógnitas que ecuaciones, podríamos encontrar soluciones no triviales.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
¡Sí lo es! Tienes acceso totalmente gratuito a todo el contenido de la app, puedes chatear con otros alumnos y recibir ayuda inmeditamente. Puedes ganar dinero utilizando la aplicación, que te permitirá acceder a determinadas funciones.
App Store
Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuaria de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuaria de Android
Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
usuaria de Android
Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuaria de Android
Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
usuaria de Android
Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
Keiner Ramirez
@sebit_as006
Los sistemas de ecuaciones lineales son fundamentales para resolver problemas matemáticos con múltiples variables. En estas notas aprenderás a clasificar estos sistemas según sus soluciones y a resolverlos mediante el método de eliminación gaussiana, una herramienta poderosa que te ayudará... Mostrar más
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Un sistema de ecuaciones lineales no homogéneo contiene m ecuaciones con n incógnitas donde los términos independientes no son todos cero. Al resolver estos sistemas podemos encontrar tres posibles resultados: única solución, infinitas soluciones o ninguna solución.
Para determinar qué tipo de solución tendrá nuestro sistema, comparamos los pivotes (primer número no cero de cada fila) entre las matrices. Si el número de pivotes de la matriz de coeficientes es diferente al de la matriz ampliada, el sistema no tiene solución. Cuando son iguales, el sistema tiene solución y además:
💡 El método de eliminación gaussiana (o método de pivotes) es la técnica que usaremos para resolver estos sistemas, transformando la matriz hasta una forma escalonada reducida.
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Veamos cómo resolver un sistema con única solución. Tomemos el siguiente sistema:
Matemáticas
Inglés
Biologia
Química2x₁ + 4x₂ + 6 = 18
4x₁ + 5x₂ + 6 = 24
3x₁ + 1x₃ - 6 = 18
Aplicamos eliminación gaussiana, transformando la matriz por filas hasta obtener la forma escalonada reducida. Multiplicamos, dividimos y restamos filas estratégicamente para conseguir pivotes igual a 1 y ceros debajo de estos pivotes.
Tras varios pasos de reducción, llegamos a la matriz identidad y los valores de nuestras incógnitas:
x₁ = -6/5
x₂ = 9/5
x₃ = -11/5
Este sistema tiene única solución porque el número de incógnitas es igual al número de ecuaciones, y la matriz reducida tiene el mismo rango que la matriz ampliada.
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Analicemos otro sistema:
x₁ + 2x₂ + 3x₃ = 9
4x₁ + 5x₂ + 6x₃ = 24
3x₁ - x₂ - 2x₃ = 4
Al aplicar eliminación gaussiana, transformamos la matriz por filas. Primero restamos múltiplos de la primera fila a las otras para obtener ceros en la primera columna debajo del pivote. Luego normalizamos la segunda fila y eliminamos los elementos por encima y debajo del pivote.
Continuamos este proceso hasta llegar a la matriz identidad, obteniendo:
x₁ = 4
x₂ = -2
x₃ = 3
🧩 ¡La clave para resolver estos sistemas está en trabajar ordenadamente! Identifica los pivotes en cada paso y mantén la coherencia en tus operaciones entre filas.
Nuevamente, tenemos una única solución porque nuestro sistema tiene el mismo número de ecuaciones que de incógnitas, y hemos podido reducir completamente la matriz.
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Estudiemos ahora un sistema con infinitas soluciones:
2x₁ + 4y + 6z = 18
4x₁ + 5y + 6z = 24
2x₁ + 7y + 12z = 30
Al reducir la matriz, llegamos a:
[1 0 -1 | 1]
[0 1 2 | 4]
[0 0 0 | 0]
Esta matriz nos indica que tenemos infinitas soluciones, expresadas como:
x = 1 + z
y = 4 - 2z
z = valor arbitrario
Por otro lado, analicemos un sistema sin solución:
2x + 4y + 6z = 18
4x + 5y + 6z = 24
2x + 7y + 7z = 32
Al reducir, obtenemos:
[1 0 -1 | 1]
[0 1 2 | 4]
[0 0 0 | 2/3]
Este sistema no tiene solución porque llegamos a una contradicción (0 = 2/3), lo que ocurre cuando el número de pivotes en la matriz de coeficientes difiere del número de pivotes en la matriz ampliada.
Un sistema homogéneo tiene todos sus términos independientes iguales a cero:
a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = 0
...
aₘ₁x₁ + aₘ₂x₂ + ... + aₘₙxₙ = 0
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Los sistemas homogéneos tienen dos tipos posibles de soluciones:
Para tener solución trivial, el número de incógnitas debe ser igual al número de ecuaciones. En cambio, para obtener soluciones no triviales, el número de incógnitas debe superar al de ecuaciones.
Veamos un ejemplo de sistema homogéneo:
2x₁ + 4x₂ + 6x₃ = 0
4x₁ + 3x₂ + 6x₃ = 0
3x₁ + x₂ - 2x₃ = 0
Aplicamos eliminación gaussiana como antes. Al reducir completamente la matriz, obtenemos:
[1 0 0 | 0]
[0 1 0 | 0]
[0 0 1 | 0]
Lo que nos da la solución:
x₁ = 0
x₂ = 0
x₃ = 0
🔍 Todo sistema homogéneo tiene siempre al menos la solución trivial (todas las variables iguales a cero). La clave está en determinar si existen también soluciones no triviales.
Este ejemplo tiene solo la solución trivial porque el número de ecuaciones es igual al de incógnitas y la matriz tiene rango completo. Si tuviéramos más incógnitas que ecuaciones, podríamos encontrar soluciones no triviales.
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
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Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
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Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
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Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
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Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
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