Sistemas de ecuaciones lineales no homogéneos

Un sistema de ecuaciones lineales no homogéneo contiene m ecuaciones con n incógnitas donde los términos independientes no son todos cero. Al resolver estos sistemas podemos encontrar tres posibles resultados: única solución, infinitas soluciones o ninguna solución.

Para determinar qué tipo de solución tendrá nuestro sistema, comparamos los pivotes (primer número no cero de cada fila) entre las matrices. Si el número de pivotes de la matriz de coeficientes es diferente al de la matriz ampliada, el sistema no tiene solución. Cuando son iguales, el sistema tiene solución y además:

• Si el número de incógnitas es igual al de ecuaciones, tendremos una única solución
• Si el número de incógnitas es mayor que el de ecuaciones, obtendremos infinitas soluciones

💡 El método de eliminación gaussiana (o método de pivotes) es la técnica que usaremos para resolver estos sistemas, transformando la matriz hasta una forma escalonada reducida.

Ejemplo de sistema con única solución

Veamos cómo resolver un sistema con única solución. Tomemos el siguiente sistema:

2x₁ + 4x₂ + 6 = 18
4x₁ + 5x₂ + 6 = 24
3x₁ + 1x₃ - 6 = 18

Aplicamos eliminación gaussiana, transformando la matriz por filas hasta obtener la forma escalonada reducida. Multiplicamos, dividimos y restamos filas estratégicamente para conseguir pivotes igual a 1 y ceros debajo de estos pivotes.

Tras varios pasos de reducción, llegamos a la matriz identidad y los valores de nuestras incógnitas:

x₁ = -6/5
x₂ = 9/5
x₃ = -11/5

Este sistema tiene única solución porque el número de incógnitas es igual al número de ecuaciones, y la matriz reducida tiene el mismo rango que la matriz ampliada.

Ejemplo de sistema con única solución (continuación)

Analicemos otro sistema:

x₁ + 2x₂ + 3x₃ = 9
4x₁ + 5x₂ + 6x₃ = 24
3x₁ - x₂ - 2x₃ = 4

Al aplicar eliminación gaussiana, transformamos la matriz por filas. Primero restamos múltiplos de la primera fila a las otras para obtener ceros en la primera columna debajo del pivote. Luego normalizamos la segunda fila y eliminamos los elementos por encima y debajo del pivote.

Continuamos este proceso hasta llegar a la matriz identidad, obteniendo:

x₁ = 4
x₂ = -2
x₃ = 3

🧩 ¡La clave para resolver estos sistemas está en trabajar ordenadamente! Identifica los pivotes en cada paso y mantén la coherencia en tus operaciones entre filas.

Nuevamente, tenemos una única solución porque nuestro sistema tiene el mismo número de ecuaciones que de incógnitas, y hemos podido reducir completamente la matriz.

Sistemas con infinitas soluciones y sin solución

Estudiemos ahora un sistema con infinitas soluciones:

2x₁ + 4y + 6z = 18
4x₁ + 5y + 6z = 24
2x₁ + 7y + 12z = 30

Al reducir la matriz, llegamos a:

[1 0 -1 | 1]
[0 1 2  | 4]
[0 0 0  | 0]

Esta matriz nos indica que tenemos infinitas soluciones, expresadas como:

x = 1 + z
y = 4 - 2z
z = valor arbitrario

Por otro lado, analicemos un sistema sin solución:

2x + 4y + 6z = 18
4x + 5y + 6z = 24
2x + 7y + 7z = 32

Al reducir, obtenemos:

[1 0 -1 | 1]
[0 1 2  | 4]
[0 0 0  | 2/3]

Este sistema no tiene solución porque llegamos a una contradicción $0 = 2/3$, lo que ocurre cuando el número de pivotes en la matriz de coeficientes difiere del número de pivotes en la matriz ampliada.

Sistemas homogéneos

Un sistema homogéneo tiene todos sus términos independientes iguales a cero:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = 0
...
aₘ₁x₁ + aₘ₂x₂ + ... + aₘₙxₙ = 0

Sistemas de ecuaciones homogéneos

Los sistemas homogéneos tienen dos tipos posibles de soluciones:

• Solución trivial: cuando todas las variables son iguales a cero
• Solución no trivial: cuando al menos una variable es distinta de cero

Para tener solución trivial, el número de incógnitas debe ser igual al número de ecuaciones. En cambio, para obtener soluciones no triviales, el número de incógnitas debe superar al de ecuaciones.

Veamos un ejemplo de sistema homogéneo:

2x₁ + 4x₂ + 6x₃ = 0
4x₁ + 3x₂ + 6x₃ = 0
3x₁ + x₂ - 2x₃ = 0

Aplicamos eliminación gaussiana como antes. Al reducir completamente la matriz, obtenemos:

[1 0 0 | 0]
[0 1 0 | 0]
[0 0 1 | 0]

Lo que nos da la solución:

x₁ = 0
x₂ = 0
x₃ = 0

🔍 Todo sistema homogéneo tiene siempre al menos la solución trivial (todas las variables iguales a cero). La clave está en determinar si existen también soluciones no triviales.

Este ejemplo tiene solo la solución trivial porque el número de ecuaciones es igual al de incógnitas y la matriz tiene rango completo. Si tuviéramos más incógnitas que ecuaciones, podríamos encontrar soluciones no triviales.