Cónicas y la Circunferencia

Las cónicas son curvas que se forman al intersectar un cono con un plano. Existen cuatro tipos principales: circunferencia, elipse, parábola e hipérbola. También hay cónicas degeneradas que ocurren cuando el plano pasa por el vértice del cono, resultando en un punto, una recta o un par de rectas.

La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que se encuentran a una distancia constante (radio) de un punto fijo llamado centro. Su ecuación canónica se expresa como:

$(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$

Donde $(h,k)$ es el centro y $r$ es el radio. Esta ecuación puede desarrollarse y escribirse en forma general como:

$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$

Donde $D=-2h$, $E=-2k$ y $F=h^2+k^2-r^2$

💡 ¡Consejo útil! Para pasar de la forma general a la canónica, completa cuadrados perfectos agrupando los términos con $x$ y los términos con $y$.

Ejemplos de Circunferencias

Ejemplo 1: A partir de la ecuación general $x^2 + y^2 + 8x - 4y + 7 = 0$, podemos encontrar el centro y radio completando cuadrados:

$x^2 + 8x + y^2 - 4y = -7$ $(x^2 + 8x + 16) + (y^2 - 4y + 4) = -7 + 16 + 4$ $(x+4)^2 + (y-2)^2 = 13$

Por lo tanto, el centro es $(-4, 2)$ y el radio es $\sqrt{13}$.

Ejemplo 2: Para determinar la ecuación de una circunferencia con centro $(-4,2)$ y radio $4$:

$(x-(-4))^2 + (y-2)^2 = 4^2$ $(x+4)^2 + (y-2)^2 = 16$

Desarrollando: $x^2 + 8x + 16 + y^2 - 4y + 4 - 16 = 0$, quedando $x^2 + y^2 + 8x - 4y + 4 = 0$

Ejemplo 3: La circunferencia $(x-3)^2 + (y+1)^2 = 49$ tiene centro en $(3,-1)$ y radio $7$(porque$\sqrt{49}=7$).

💡 Recuerda: Cuando encuentras una circunferencia en forma $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$, el centro es $(h,k)$ y el radio es $r$.

Circunferencia a partir de Puntos

Para hallar la ecuación de una circunferencia cuando conoces su diámetro, puedes usar el punto medio como centro y la mitad de la distancia entre los puntos como radio.

Ejemplo 4: Encontrar la circunferencia cuyo diámetro tiene extremos en $A(3,7)$ y $B(-3,-1)$.

Primero calculamos el punto medio: $Pm = (\frac{3+(-3)}{2}, \frac{7+(-1)}{2}) = (0,3)$

La distancia entre $A$ y $B$ (que será el diámetro) es: $|AB| = \sqrt{(-3-3)^2 + (-1-7)^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10$

Entonces el radio será la mitad: $r = 5$

La ecuación canónica es: $(x-0)^2 + (y-3)^2 = 5^2$ $x^2 + (y-3)^2 = 25$

En forma general: $x^2 + y^2 - 6y + 9 - 25 = 0$ $x^2 + y^2 - 6y - 16 = 0$

🔍 Importante: Cuando trabajas con el diámetro, recuerda que el radio es siempre la mitad de éste. ¡El centro de la circunferencia siempre estará en el punto medio del diámetro!