Reglas Básicas: Constantes e Identidad

La derivada de cualquier constante siempre es cero. No importa si es 5, 100 o -3, el resultado siempre será 0. Esto tiene sentido porque una constante no cambia, entonces su tasa de cambio es nula.

Para la función identidad f$x$ = x, la derivada es simplemente 1. Mirá estos ejemplos rápidos: si y = x - 3, entonces y' = 1 - 0 = 1, y si y = 5 - x, entonces y' = 0 - 1 = -1.

Recordá: Las constantes "desaparecen" al derivar, y x solo se convierte en 1.

Regla de la Potencia

La regla de la potencia es tu mejor amiga: si f$x$ = x^n, entonces f'$x$ = nx^$n-1$. Básicamente bajás el exponente multiplicando y le restás 1 al exponente.

Funciona con exponentes positivos, negativos y fraccionarios. Por ejemplo: x³ se convierte en 3x², y x⁻⁴ se convierte en -4x⁻⁵. Para raíces, convertís a exponente fraccionario primero: √(x³) = x^$3/2$, entonces su derivada es $3/2$x^$1/2$.

Con práctica, vas a poder aplicar esta regla automáticamente. Es la base para derivar funciones más complejas.

Truco: Siempre convertí raíces y fracciones a exponentes antes de derivar.

Derivada de Múltiplos y Sumas

Cuando tenés una constante multiplicando una función, simplemente derivás la función y mantenés la constante. Si f$x$ = 5x², entonces f'$x$ = 5 · 2x = 10x.

Para sumas y restas de funciones, derivás cada término por separado. La derivada de y = 5x³ + 8x² - x + 8 es y' = 15x² + 16x - 1 + 0.

Esta regla te permite manejar polinomios gigantes sin complicarte. Solo aplicás las reglas anteriores término por término.

Consejo: Organizá tu trabajo derivando cada término en orden, así no te perdés ninguno.

Regla del Producto

Para multiplicar dos funciones, usás la regla del producto: si f$x$ = g$x$ · h$x$, entonces f'$x$ = g'$x$ · h$x$ + g$x$ · h'$x$. Es como "primera derivada por segunda función + primera función por segunda derivada".

Miremos un ejemplo: y = x² + 1$$x³ - 1. Derivando: y' = (2x)$x³ - 1$ + $x² + 1$(3x²) = 2x⁴ - 2x + 3x⁴ + 3x² = 5x⁴ + 3x² - 2x.

No te olvides de simplificar al final combinando términos semejantes. La regla del producto es clave para funciones que no podés expandir fácilmente.

Importante: Siempre identificá claramente cuál es tu primera función y cuál es tu segunda antes de empezar.

Regla del Cociente

La regla del cociente es para dividir funciones: si f$x$ = g$x$/h$x$, entonces f'$x$ = $g'(x)·h(x) - g(x)·h'(x)$ / [h$x$]².

Recordá la fórmula como "derivada de arriba por abajo menos arriba por derivada de abajo, todo sobre abajo al cuadrado". Veamos f$x$ = $x² - 8x$/$x + 2$.

Aplicando: f'$x$ = $(2x - 8)(x + 2) - (x² - 8x)(1)$ / $x + 2$². Desarrollando y simplificando: f'$x$ = $x² + 4x - 16$ / $x + 2$².

Cuidado: El denominador siempre va al cuadrado, y el orden en el numerador importa.