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Cómo Usar la Regla de L'Hopital: Explicación y Ejercicios

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silvisvirguezvv

19/12/2025

Matemáticas

Regla de L'Hopital

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Matemáticas

77

•

19 de dic de 2025

•

3 páginas

Cómo Usar la Regla de L'Hopital: Explicación y Ejercicios

S

silvisvirguezvv

@silvisvirguezvv_ml5g

La Regla de L'Hôpital es una poderosa herramienta matemática para... Mostrar más

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24/05/21 Regla de Hopital jelim x-1 Lim x+1 73-1 2x X+1 3x 1 2 3 0 8 8 lim x' X48 e lim 888 372 ет Lim 62 = Lim 6 =0 D x+ ex Lim 7+0 (im х+о

Regla de L'Hôpital: Fundamentos

Cuando nos enfrentamos a límites con formas indeterminadas como 00\frac{0}{0} o ∞∞\frac{\infty}{\infty}, la Regla de L'Hôpital nos permite derivar tanto el numerador como el denominador para calcular el límite. Por ejemplo, en lim⁡x→1x2−1x3−1\lim_{x\to 1} \frac{x^2 - 1}{x^3 - 1}, tenemos una indeterminación 00\frac{0}{0}.

Al aplicar la regla, derivamos ambas partes: lim⁡x→12x3x2=23\lim_{x\to 1} \frac{2x}{3x^2} = \frac{2}{3}. En casos más complejos, podemos aplicar la regla varias veces, como en lim⁡x→∞x3ex\lim_{x\to \infty} \frac{x^3}{e^x}, donde necesitamos derivar tres veces hasta obtener 6ex=0\frac{6}{e^x} = 0.

Para límites trigonométricos como lim⁡x→01−cos⁡xx2\lim_{x\to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}, también podemos aplicar esta técnica. Derivando, obtenemos \senx2x\frac{\sen x}{2x}, y con una segunda aplicación, llegamos a cos⁡x2=12\frac{\cos x}{2} = \frac{1}{2}.

💡 Consejo práctico: Cuando veas fracciones donde al sustituir el valor del límite obtienes 00\frac{0}{0} o ∞∞\frac{\infty}{\infty}, piensa inmediatamente en la Regla de L'Hôpital como tu primera estrategia.

24/05/21 Regla de Hopital jelim x-1 Lim x+1 73-1 2x X+1 3x 1 2 3 0 8 8 lim x' X48 e lim 888 372 ет Lim 62 = Lim 6 =0 D x+ ex Lim 7+0 (im х+о

Casos Especiales y Formas Indeterminadas

La Regla de L'Hôpital también resuelve límites trigonométricos complejos como lim⁡x→0cos⁡x−cos⁡3xx2\lim_{x\to 0} \frac{\cos x - \cos 3x}{x^2}. Al aplicar derivadas sucesivas, transformamos la expresión hasta llegar a −cos⁡x+9cos⁡3x2=82=4\frac{-\cos x + 9 \cos 3x}{2} = \frac{8}{2} = 4.

Además de las formas 00\frac{0}{0} y ∞∞\frac{\infty}{\infty}, existen otras indeterminaciones como los productos indeterminados $0 \cdot \infty$. Para estos casos, podemos reescribir el producto como una fracción: fg=f1gf g = \frac{f}{\frac{1}{g}} o fg=g1ff g = \frac{g}{\frac{1}{f}}, y luego aplicar L'Hôpital.

Un ejemplo clásico es lim⁡x→0+xln⁡x\lim_{x\to 0^+} x \ln x. Reescribiendo como lim⁡x→0+ln⁡x1x\lim_{x\to 0^+} \frac{\ln x}{\frac{1}{x}} y aplicando la regla, llegamos a lim⁡x→0+−x2x=0\lim_{x\to 0^+} \frac{-x^2}{x} = 0.

🔍 Atención: Las potencias indeterminadas $0^0$, $\infty^0$, $1^\infty$ son especialmente engañosas. Para resolverlas, casi siempre necesitarás transformarlas usando logaritmos naturales.

24/05/21 Regla de Hopital jelim x-1 Lim x+1 73-1 2x X+1 3x 1 2 3 0 8 8 lim x' X48 e lim 888 372 ет Lim 62 = Lim 6 =0 D x+ ex Lim 7+0 (im х+о

Potencias Indeterminadas y Ejercicios Prácticos

Para resolver potencias indeterminadas como lim⁡x→∞(x−2)xx−1=1∞\lim_{x\to \infty} (x - 2)^\frac{x}{x - 1} = 1^\infty, aplicamos logaritmos: ln⁡y=xx−1ln⁡(x−2)\ln y = \frac{x}{x-1} \ln(x-2). Usando propiedades logarítmicas y la Regla de L'Hôpital, llegamos a que lim⁡x→∞ln⁡y=−1\lim_{x\to \infty} \ln y = -1, por lo tanto lim⁡x→∞y=e−1\lim_{x\to \infty} y = e^{-1}.

Para practicar este concepto, puedes intentar resolver límites como:

  1. lim⁡x→∞(x−3x−4)x+1\lim_{x \to \infty} (\frac{x-3}{x-4})^{x+1}
  2. lim⁡x→12−x23−433−2x23−x3\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{2-x^2} - \sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{3-2x^2} - x^3}
  3. lim⁡x→0(xcot⁡x−1)\lim_{x \to 0} (x \cot x - 1)

Recuerda que en los límites con potencias indeterminadas, la estrategia clave es aplicar logaritmos para transformar la expresión en algo más manejable y luego usar las técnicas aprendidas.

🌟 Consejo: Cuando enfrentes límites en exámenes, primero identifica la forma indeterminada para elegir la estrategia correcta. La mayoría de los problemas difíciles se resuelven combinando la Regla de L'Hôpital con otras técnicas como logaritmos.



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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.

Elena

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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

Ana

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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.

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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.

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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.

David K

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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!

Sara

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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

Roberto

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Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!

Julia S

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Marco B

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Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.

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Matemáticas

 

Matemáticas

•

77

•

19 de dic de 2025

•

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Cómo Usar la Regla de L'Hopital: Explicación y Ejercicios

S

silvisvirguezvv

@silvisvirguezvv_ml5g

La Regla de L'Hôpital es una poderosa herramienta matemática para resolver límites indeterminados. Esta técnica nos permite transformar expresiones que inicialmente parecen imposibles de calcular en formas que podemos resolver fácilmente, ahorrando tiempo y esfuerzo en problemas de cálculo.

24/05/21 Regla de Hopital jelim x-1 Lim x+1 73-1 2x X+1 3x 1 2 3 0 8 8 lim x' X48 e lim 888 372 ет Lim 62 = Lim 6 =0 D x+ ex Lim 7+0 (im х+о

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Regla de L'Hôpital: Fundamentos

Cuando nos enfrentamos a límites con formas indeterminadas como 00\frac{0}{0} o ∞∞\frac{\infty}{\infty}, la Regla de L'Hôpital nos permite derivar tanto el numerador como el denominador para calcular el límite. Por ejemplo, en lim⁡x→1x2−1x3−1\lim_{x\to 1} \frac{x^2 - 1}{x^3 - 1}, tenemos una indeterminación 00\frac{0}{0}.

Al aplicar la regla, derivamos ambas partes: lim⁡x→12x3x2=23\lim_{x\to 1} \frac{2x}{3x^2} = \frac{2}{3}. En casos más complejos, podemos aplicar la regla varias veces, como en lim⁡x→∞x3ex\lim_{x\to \infty} \frac{x^3}{e^x}, donde necesitamos derivar tres veces hasta obtener 6ex=0\frac{6}{e^x} = 0.

Para límites trigonométricos como lim⁡x→01−cos⁡xx2\lim_{x\to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}, también podemos aplicar esta técnica. Derivando, obtenemos \senx2x\frac{\sen x}{2x}, y con una segunda aplicación, llegamos a cos⁡x2=12\frac{\cos x}{2} = \frac{1}{2}.

💡 Consejo práctico: Cuando veas fracciones donde al sustituir el valor del límite obtienes 00\frac{0}{0} o ∞∞\frac{\infty}{\infty}, piensa inmediatamente en la Regla de L'Hôpital como tu primera estrategia.

24/05/21 Regla de Hopital jelim x-1 Lim x+1 73-1 2x X+1 3x 1 2 3 0 8 8 lim x' X48 e lim 888 372 ет Lim 62 = Lim 6 =0 D x+ ex Lim 7+0 (im х+о

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Casos Especiales y Formas Indeterminadas

La Regla de L'Hôpital también resuelve límites trigonométricos complejos como lim⁡x→0cos⁡x−cos⁡3xx2\lim_{x\to 0} \frac{\cos x - \cos 3x}{x^2}. Al aplicar derivadas sucesivas, transformamos la expresión hasta llegar a −cos⁡x+9cos⁡3x2=82=4\frac{-\cos x + 9 \cos 3x}{2} = \frac{8}{2} = 4.

Además de las formas 00\frac{0}{0} y ∞∞\frac{\infty}{\infty}, existen otras indeterminaciones como los productos indeterminados $0 \cdot \infty$. Para estos casos, podemos reescribir el producto como una fracción: fg=f1gf g = \frac{f}{\frac{1}{g}} o fg=g1ff g = \frac{g}{\frac{1}{f}}, y luego aplicar L'Hôpital.

Un ejemplo clásico es lim⁡x→0+xln⁡x\lim_{x\to 0^+} x \ln x. Reescribiendo como lim⁡x→0+ln⁡x1x\lim_{x\to 0^+} \frac{\ln x}{\frac{1}{x}} y aplicando la regla, llegamos a lim⁡x→0+−x2x=0\lim_{x\to 0^+} \frac{-x^2}{x} = 0.

🔍 Atención: Las potencias indeterminadas $0^0$, $\infty^0$, $1^\infty$ son especialmente engañosas. Para resolverlas, casi siempre necesitarás transformarlas usando logaritmos naturales.

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Potencias Indeterminadas y Ejercicios Prácticos

Para resolver potencias indeterminadas como lim⁡x→∞(x−2)xx−1=1∞\lim_{x\to \infty} (x - 2)^\frac{x}{x - 1} = 1^\infty, aplicamos logaritmos: ln⁡y=xx−1ln⁡(x−2)\ln y = \frac{x}{x-1} \ln(x-2). Usando propiedades logarítmicas y la Regla de L'Hôpital, llegamos a que lim⁡x→∞ln⁡y=−1\lim_{x\to \infty} \ln y = -1, por lo tanto lim⁡x→∞y=e−1\lim_{x\to \infty} y = e^{-1}.

Para practicar este concepto, puedes intentar resolver límites como:

  1. lim⁡x→∞(x−3x−4)x+1\lim_{x \to \infty} (\frac{x-3}{x-4})^{x+1}
  2. lim⁡x→12−x23−433−2x23−x3\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{2-x^2} - \sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{3-2x^2} - x^3}
  3. lim⁡x→0(xcot⁡x−1)\lim_{x \to 0} (x \cot x - 1)

Recuerda que en los límites con potencias indeterminadas, la estrategia clave es aplicar logaritmos para transformar la expresión en algo más manejable y luego usar las técnicas aprendidas.

🌟 Consejo: Cuando enfrentes límites en exámenes, primero identifica la forma indeterminada para elegir la estrategia correcta. La mayoría de los problemas difíciles se resuelven combinando la Regla de L'Hôpital con otras técnicas como logaritmos.

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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

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Roberto

usuario de Android

Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!

Julia S

usuaria de Android

Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.

Marco B

usuario de iOS

Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.

Sarah L

usuaria de Android

Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.

Paul T

usuario de iOS