Matemáticas
12 de dic de 2025
53
10 páginas
Andres Polo @andrespol_ex862
El álgebra lineal es fundamental para resolver problemas matemáticos complejos usando matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones. Este... Mostrar más
Las matrices son herramientas poderosas para resolver problemas matemáticos. Comenzamos con ejercicios de construcción y operaciones básicas
Para construir una matriz 4×4 donde cada elemento sigue una regla específica, debes aplicar la fórmula correcta según la posición. Cuando i≤j (elemento en o arriba de la diagonal), usas i-2j; cuando i>j (elementos debajo de la diagonal), usas i+j. ¡Recuerda que i representa la fila y j la columna!
En problemas de ecuaciones matriciales como A+B+AB=C, necesitas sustituir los valores conocidos y formar un sistema de ecuaciones para hallar las incógnitas (a y b). Para resolver una ecuación como BX-A=I, primero debes despejar X, quedando X=B⁻¹, siempre verificando que B sea invertible.
💡 Cuando trabajas con igualdades matriciales, puedes comparar los elementos correspondientes para formar ecuaciones simples con las incógnitas.
Para multiplicar matrices, siempre verifica la compatibilidad de dimensiones. En productos como ABC, el número de columnas de cada matriz debe coincidir con el número de filas de la siguiente. Si no cumplen esta condición, el producto no está definido.
Resolver ecuaciones matriciales te permite aplicar conceptos fundamentales del álgebra lineal. Veamos cómo abordar estos problemas
Para encontrar valores de x, y, z y t en una igualdad matricial como la del ejercicio 6, simplemente compara cada elemento de las matrices e iguala sus valores. Por ejemplo, si 2+x=5, entonces x=3. Este método directo funciona perfectamente en matrices pequeñas.
Al verificar propiedades como , calcula ambos lados por separado y compara los resultados. Recuerda que en álgebra matricial, el orden de los factores sí altera el producto, a diferencia del álgebra escalar.
💡 Las propiedades de la matriz transpuesta son herramientas poderosas que te permiten simplificar expresiones complejas en problemas de ingeniería.
Para matrices transpuestas, puedes comprobar propiedades como o calculando explícitamente cada lado de la igualdad. Para encontrar una matriz simétrica que cumpla A+P=Q, recuerda que una matriz simétrica cumple que A=A^T, lo que te ayudará a plantear correctamente la ecuación.
La multiplicación de matrices es una operación fundamental que debes dominar. Vamos a ver cómo aplicarla correctamente
Para determinar si puedes multiplicar dos matrices, verifica que el número de columnas de la primera coincida con el número de filas de la segunda. Por ejemplo, si tienes una matriz 3×4 y otra 4×5, puedes multiplicarlas y obtendrás una matriz 3×5. Si estas dimensiones no coinciden, la multiplicación no está definida.
Al calcular productos como AB y BA, recuerda que generalmente AB≠BA (no son conmutativos). El procedimiento consiste en multiplicar cada fila de la primera matriz por cada columna de la segunda, sumando los productos correspondientes.
💡 Cuando resuelves sistemas de ecuaciones matriciales, puedes adaptar las técnicas de despeje que conoces de ecuaciones escalares, pero siempre respetando el orden de los factores.
Para resolver sistemas de ecuaciones matriciales como X-Y=A y 2X-3Y=B, necesitas despejar una incógnita en términos de la otra y sustituir. Por ejemplo, despeja X=Y+A y sustituye en la segunda ecuación 2-3Y=B, que simplificado queda 2Y+2A-3Y=B, es decir, -Y+2A=B. De ahí puedes despejar Y=2A-B y luego calcular X.
El determinante es un valor escalar asociado a una matriz cuadrada que tiene múltiples aplicaciones. Veamos cómo calcularlo
Para matrices de 2×2, el determinante se calcula como el producto de la diagonal principal menos el producto de la diagonal secundaria . En matrices de 3×3, puedes usar la Regla de Sarrus, que consiste en sumar los productos de las diagonales hacia abajo y restar los productos de las diagonales hacia arriba.
El método de cofactores te permite calcular determinantes de cualquier orden. Consiste en elegir una fila o columna, multiplicar cada elemento por su cofactor (determinante de menor orden) y por el signo correspondiente (-1)^, y sumar los resultados.
💡 La elección adecuada de la fila o columna para aplicar el método de cofactores (preferiblemente con muchos ceros) puede simplificar notablemente los cálculos.
Para verificar propiedades de determinantes, como , puedes aplicar propiedades como la linealidad respecto a filas/columnas o transformaciones elementales. También puedes calcularlo directamente y comprobar que el resultado coincide con lo esperado.
Resolver sistemas de ecuaciones matriciales requiere técnicas específicas del álgebra lineal. Vamos a ver cómo abordarlos
Para ecuaciones como 3X-2A=5B, primero despeja la incógnita X X=/3. Sustituye los valores dados de A y B, y realiza las operaciones matriciales correspondientes. Recuerda que para dividir por un escalar, multiplicas por su inverso multiplicativo.
Cuando necesitas encontrar valores específicos para que una matriz A cumpla una ecuación como A²-(5/2)A+I=0, debes sustituir la matriz dada, realizar las operaciones indicadas y formar ecuaciones con las incógnitas. Este tipo de ecuaciones se relacionan con el polinomio característico de la matriz.
💡 Al resolver sistemas matriciales, siempre verifica que tus soluciones cumplan todas las ecuaciones originales, especialmente cuando trabajas con valores particulares.
Para resolver un sistema como 2X+Y=A y X-Y=B, puedes sumar las ecuaciones 3X=A+B, lo que da X=/3. Sustituyendo en la segunda ecuación Y=X-B=/3-B=/3. Esta técnica de manipulación algebraica funciona igual que en sistemas de ecuaciones escalares.
Los sistemas de ecuaciones lineales son fundamentales en ingeniería. En esta sección veremos cómo resolverlos y aplicarlos a situaciones reales
El método de Gauss-Jordan consiste en transformar la matriz aumentada del sistema mediante operaciones elementales hasta obtener la forma escalonada reducida. Este método es sistemático y funciona para cualquier sistema, permitiéndote identificar si tiene solución única, infinitas soluciones o ninguna solución.
Para expresar un sistema en forma matricial, defines las matrices de coeficientes A, de incógnitas X y de términos independientes B, y lo escribes como AX=B. Luego puedes resolverlo encontrando X=A⁻¹B, siempre que A sea invertible.
💡 En problemas prácticos como los de producción y pagos, las matrices te permiten organizar la información de manera clara y realizar cálculos de forma eficiente.
El método de Cramer es útil para sistemas con matriz de coeficientes cuadrada e invertible. Se basa en calcular determinantes X_i = |A_i|/|A|, donde A_i es la matriz que resulta de reemplazar la columna i de A por el vector B. Compara este método con Gauss-Jordan y la forma matricial para entender las ventajas de cada uno según el contexto.
La matriz inversa es una herramienta poderosa para resolver ecuaciones matriciales y sistemas de ecuaciones lineales. Veamos cómo calcularla
El método de Gauss-Jordan para encontrar la inversa consiste en construir la matriz aumentada , donde I es la matriz identidad del mismo orden que A. Mediante operaciones elementales de fila, transformas la parte izquierda en la identidad, quedando . Este método es sistemático y eficiente, especialmente para matrices de orden alto.
El método de la matriz adjunta utiliza la fórmula A⁻¹ = adj(A)/|A|, donde adj(A) es la transpuesta de la matriz de cofactores de A. Para cada elemento de la matriz de cofactores, calculas el determinante del menor correspondiente multiplicado por (-1)^.
💡 Antes de calcular la inversa, verifica siempre que |A|≠0, pues solo las matrices no singulares tienen inversa. Si |A|=0, la matriz es singular y no tiene inversa.
Ambos métodos tienen sus ventajas Gauss-Jordan es más mecánico y menos propenso a errores aritméticos, mientras que el método de la adjunta puede ser más rápido para matrices de orden bajo (2×2 o 3×3) y proporciona una fórmula explícita para cada elemento de la inversa.
Los sistemas de ecuaciones son herramientas poderosas para modelar y resolver problemas del mundo real. Veamos algunas aplicaciones prácticas
En problemas de compras como el de los helados, traduces la información a ecuaciones cantidad total (110 helados), presupuesto (540€), y relaciones entre cantidades . Planteas el sistema y lo resuelves usando Gauss-Jordan para encontrar cuántos helados de cada tipo comprar.
Para problemas de distribución de personas, traduce las condiciones a ecuaciones matemáticas. Por ejemplo, "el doble de mujeres más el triple de niños igual al doble de hombres" se expresa como 2M+3N=2H. Combina esto con el total de personas y otras relaciones para formar un sistema completo.
💡 Al modelar problemas reales, es crucial verificar que tus soluciones tengan sentido en el contexto original. Por ejemplo, no puedes tener 2,5 personas o -3 lingotes.
En problemas de mezclas como el de los lingotes o fertilizantes, creas variables para las cantidades de cada componente y escribes ecuaciones basadas en las proporciones requeridas. Estos problemas son comunes en ingeniería química y de materiales, donde necesitas determinar proporciones exactas para lograr ciertas propiedades.
El álgebra lineal tiene numerosas aplicaciones en ingeniería, especialmente en circuitos eléctricos, producción y distribución de recursos
Para resolver problemas de fertilizantes o producción, planteas ecuaciones basadas en las cantidades disponibles y requeridas de cada componente. Por ejemplo, si tienes disponibles 1600 kg del compuesto A, 1200 kg del B y 3200 kg del C, y conoces cuánto requiere cada tipo de fertilizante, puedes determinar cuántas unidades producir para agotar los recursos.
En circuitos eléctricos, las leyes de Kirchhoff te permiten plantear ecuaciones para las corrientes desconocidas. Por ejemplo, la ley de nodos establece que la suma de corrientes que entran a un nodo es igual a la suma de las que salen , mientras que la ley de mallas relaciona voltajes y caídas de potencial en cada lazo cerrado.
💡 La bibliografía recomendada te ofrece recursos valiosos para profundizar en los conceptos del álgebra lineal. Consulta estos libros para encontrar más ejemplos y aplicaciones.
El dominio del álgebra lineal te permitirá abordar problemas complejos en tu carrera profesional. Autores como Grossman, Kolman, y Nakos ofrecen perspectivas complementarias que enriquecerán tu comprensión. Te recomiendo especialmente "Álgebra Lineal con Aplicaciones" que muestra la relevancia práctica de estos conceptos en ingeniería.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
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Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuaria de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuaria de Android
Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
usuaria de Android
Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
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Las matrices son herramientas poderosas para resolver problemas matemáticos. Comenzamos con ejercicios de construcción y operaciones básicas:
Para construir una matriz 4×4 donde cada elemento sigue una regla específica, debes aplicar la fórmula correcta según la posición. Cuando i≤j (elemento en o arriba de la diagonal), usas i-2j; cuando i>j (elementos debajo de la diagonal), usas i+j. ¡Recuerda que i representa la fila y j la columna!
En problemas de ecuaciones matriciales como A+B+AB=C, necesitas sustituir los valores conocidos y formar un sistema de ecuaciones para hallar las incógnitas (a y b). Para resolver una ecuación como BX-A=I, primero debes despejar X, quedando X=B⁻¹, siempre verificando que B sea invertible.
💡 Cuando trabajas con igualdades matriciales, puedes comparar los elementos correspondientes para formar ecuaciones simples con las incógnitas.
Para multiplicar matrices, siempre verifica la compatibilidad de dimensiones. En productos como ABC, el número de columnas de cada matriz debe coincidir con el número de filas de la siguiente. Si no cumplen esta condición, el producto no está definido.
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Al verificar propiedades como , calcula ambos lados por separado y compara los resultados. Recuerda que en álgebra matricial, el orden de los factores sí altera el producto, a diferencia del álgebra escalar.
💡 Las propiedades de la matriz transpuesta son herramientas poderosas que te permiten simplificar expresiones complejas en problemas de ingeniería.
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Para determinar si puedes multiplicar dos matrices, verifica que el número de columnas de la primera coincida con el número de filas de la segunda. Por ejemplo, si tienes una matriz 3×4 y otra 4×5, puedes multiplicarlas y obtendrás una matriz 3×5. Si estas dimensiones no coinciden, la multiplicación no está definida.
Al calcular productos como AB y BA, recuerda que generalmente AB≠BA (no son conmutativos). El procedimiento consiste en multiplicar cada fila de la primera matriz por cada columna de la segunda, sumando los productos correspondientes.
💡 Cuando resuelves sistemas de ecuaciones matriciales, puedes adaptar las técnicas de despeje que conoces de ecuaciones escalares, pero siempre respetando el orden de los factores.
Para resolver sistemas de ecuaciones matriciales como X-Y=A y 2X-3Y=B, necesitas despejar una incógnita en términos de la otra y sustituir. Por ejemplo, despeja X=Y+A y sustituye en la segunda ecuación: 2-3Y=B, que simplificado queda 2Y+2A-3Y=B, es decir, -Y+2A=B. De ahí puedes despejar Y=2A-B y luego calcular X.
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Para matrices de 2×2, el determinante se calcula como el producto de la diagonal principal menos el producto de la diagonal secundaria: . En matrices de 3×3, puedes usar la Regla de Sarrus, que consiste en sumar los productos de las diagonales hacia abajo y restar los productos de las diagonales hacia arriba.
El método de cofactores te permite calcular determinantes de cualquier orden. Consiste en elegir una fila o columna, multiplicar cada elemento por su cofactor (determinante de menor orden) y por el signo correspondiente (-1)^, y sumar los resultados.
💡 La elección adecuada de la fila o columna para aplicar el método de cofactores (preferiblemente con muchos ceros) puede simplificar notablemente los cálculos.
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Cuando necesitas encontrar valores específicos para que una matriz A cumpla una ecuación como A²-(5/2)A+I=0, debes sustituir la matriz dada, realizar las operaciones indicadas y formar ecuaciones con las incógnitas. Este tipo de ecuaciones se relacionan con el polinomio característico de la matriz.
💡 Al resolver sistemas matriciales, siempre verifica que tus soluciones cumplan todas las ecuaciones originales, especialmente cuando trabajas con valores particulares.
Para resolver un sistema como 2X+Y=A y X-Y=B, puedes sumar las ecuaciones: 3X=A+B, lo que da X=/3. Sustituyendo en la segunda ecuación: Y=X-B=/3-B=/3. Esta técnica de manipulación algebraica funciona igual que en sistemas de ecuaciones escalares.
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El método de Gauss-Jordan consiste en transformar la matriz aumentada del sistema mediante operaciones elementales hasta obtener la forma escalonada reducida. Este método es sistemático y funciona para cualquier sistema, permitiéndote identificar si tiene solución única, infinitas soluciones o ninguna solución.
Para expresar un sistema en forma matricial, defines las matrices de coeficientes A, de incógnitas X y de términos independientes B, y lo escribes como AX=B. Luego puedes resolverlo encontrando X=A⁻¹B, siempre que A sea invertible.
💡 En problemas prácticos como los de producción y pagos, las matrices te permiten organizar la información de manera clara y realizar cálculos de forma eficiente.
El método de Cramer es útil para sistemas con matriz de coeficientes cuadrada e invertible. Se basa en calcular determinantes: X_i = |A_i|/|A|, donde A_i es la matriz que resulta de reemplazar la columna i de A por el vector B. Compara este método con Gauss-Jordan y la forma matricial para entender las ventajas de cada uno según el contexto.
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El método de la matriz adjunta utiliza la fórmula A⁻¹ = adj(A)/|A|, donde adj(A) es la transpuesta de la matriz de cofactores de A. Para cada elemento de la matriz de cofactores, calculas el determinante del menor correspondiente multiplicado por (-1)^.
💡 Antes de calcular la inversa, verifica siempre que |A|≠0, pues solo las matrices no singulares tienen inversa. Si |A|=0, la matriz es singular y no tiene inversa.
Ambos métodos tienen sus ventajas: Gauss-Jordan es más mecánico y menos propenso a errores aritméticos, mientras que el método de la adjunta puede ser más rápido para matrices de orden bajo (2×2 o 3×3) y proporciona una fórmula explícita para cada elemento de la inversa.
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Para problemas de distribución de personas, traduce las condiciones a ecuaciones matemáticas. Por ejemplo, "el doble de mujeres más el triple de niños igual al doble de hombres" se expresa como 2M+3N=2H. Combina esto con el total de personas y otras relaciones para formar un sistema completo.
💡 Al modelar problemas reales, es crucial verificar que tus soluciones tengan sentido en el contexto original. Por ejemplo, no puedes tener 2,5 personas o -3 lingotes.
En problemas de mezclas como el de los lingotes o fertilizantes, creas variables para las cantidades de cada componente y escribes ecuaciones basadas en las proporciones requeridas. Estos problemas son comunes en ingeniería química y de materiales, donde necesitas determinar proporciones exactas para lograr ciertas propiedades.
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Para resolver problemas de fertilizantes o producción, planteas ecuaciones basadas en las cantidades disponibles y requeridas de cada componente. Por ejemplo, si tienes disponibles 1600 kg del compuesto A, 1200 kg del B y 3200 kg del C, y conoces cuánto requiere cada tipo de fertilizante, puedes determinar cuántas unidades producir para agotar los recursos.
En circuitos eléctricos, las leyes de Kirchhoff te permiten plantear ecuaciones para las corrientes desconocidas. Por ejemplo, la ley de nodos establece que la suma de corrientes que entran a un nodo es igual a la suma de las que salen , mientras que la ley de mallas relaciona voltajes y caídas de potencial en cada lazo cerrado.
💡 La bibliografía recomendada te ofrece recursos valiosos para profundizar en los conceptos del álgebra lineal. Consulta estos libros para encontrar más ejemplos y aplicaciones.
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
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Julia S
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
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David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuaria de Android
Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
usuaria de Android
Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
Inglés
Biologia
Química