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MatemáticasMatemáticas197 visualizaciones·Actualizado 20 de jun de 2026·5 páginas

Propiedades Fundamentales de los Límites Matemáticos

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Diana Carolina Rodriguez Benitez@ianaarolinaodriguezenitez_z0v1

¿Sabés que los límites tienen reglas específicas que te permiten...

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C) PROPIEDADES DE LOS LÍMITES 1. Propiedad del límite de una suma - El límite de la suma de dos funciones fyg es la suma de los límites. $L

Propiedades Básicas de Suma y Resta

Las propiedades de suma y resta son tu punto de partida para dominar los límites. La buena noticia es que funcionan exactamente como esperás: podés separar las funciones y calcular cada límite por separado.

Para la suma tenés que lim⁡x→c[f(x)+g(x)]=lim⁡x→cf(x)+lim⁡x→cg(x)\lim_{x \to c} [f(x) + g(x)] = \lim_{x \to c} f(x) + \lim_{x \to c} g(x). Por ejemplo, si querés lim⁡x→1[x2+2x+1]\lim_{x \to 1} [x^2 + 2x + 1], simplemente calculás cada parte: el límite de x2x^2 cuando x→1x \to 1 es 1, y el límite de $2x + 1$ es 3, entonces el resultado es 1 + 3 = 4.

La propiedad de la resta funciona igual pero restando: lim⁡x→a[f(x)−g(x)]=lim⁡x→af(x)−lim⁡x→ag(x)\lim_{x \to a} [f(x) - g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) - \lim_{x \to a} g(x). Es así de simple y directo.

💡 Tip clave: Estas propiedades solo funcionan cuando ambos límites individuales existen. Si uno no existe, no podés usar esta regla.

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C) PROPIEDADES DE LOS LÍMITES 1. Propiedad del límite de una suma - El límite de la suma de dos funciones fyg es la suma de los límites. $L

Producto, Cociente y Constantes

El límite del producto también se comporta como esperás: lim⁡x→c[f(x)⋅g(x)]=lim⁡x→cf(x)⋅lim⁡x→cg(x)\lim_{x \to c} [f(x) \cdot g(x)] = \lim_{x \to c} f(x) \cdot \lim_{x \to c} g(x). Calculás cada límite por separado y después los multiplicás.

Para el límite del cociente tenés lim⁡x→c[f(x)g(x)]=lim⁡x→cf(x)lim⁡x→cg(x)\lim_{x \to c} [\frac{f(x)}{g(x)}] = \frac{\lim_{x \to c} f(x)}{\lim_{x \to c} g(x)}, pero ojo: el denominador no puede ser cero. Si te da cero abajo, necesitás usar otras técnicas más avanzadas.

Las constantes son lo más fácil del mundo: lim⁡x→cb=b\lim_{x \to c} b = b. No importa hacia dónde tienda xx, una constante siempre vale lo mismo. Si tenés lim⁡x→75\lim_{x \to 7} 5, la respuesta es simplemente 5.

💡 Recuerda: En los cocientes, siempre verificá que el denominador no se vuelva cero. Si pasa, el límite puede no existir o necesitás métodos especiales.

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C) PROPIEDADES DE LOS LÍMITES 1. Propiedad del límite de una suma - El límite de la suma de dos funciones fyg es la suma de los límites. $L

Potencias y Funciones Exponenciales

Las potencias siguen una regla súper útil: lim⁡x→a[f(x)]k=[lim⁡x→af(x)]k\lim_{x \to a} [f(x)]^k = [\lim_{x \to a} f(x)]^k. Básicamente, podés sacar la potencia del límite y aplicarla al resultado final.

Para las funciones exponenciales con base constante, usás lim⁡x→a[kg(x)]=klim⁡x→ag(x)\lim_{x \to a} [k^{g(x)}] = k^{\lim_{x \to a} g(x)}. Primero calculás el límite del exponente y después aplicás la base. Por ejemplo: lim⁡x→152x=52=25\lim_{x \to 1} 5^{2x} = 5^2 = 25.

Las funciones potencial exponenciales son más complejas pero siguen el patrón: lim⁡x→a[f(x)g(x)]=[lim⁡x→af(x)]lim⁡x→ag(x)\lim_{x \to a} [f(x)^{g(x)}] = [\lim_{x \to a} f(x)]^{\lim_{x \to a} g(x)}. Calculás ambos límites por separado y después armás la potencia.

💡 Cuidado: Con las potencias, prestá atención a los signos. Un número negativo elevado a una potencia par da positivo, y a una potencia impar da negativo.

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C) PROPIEDADES DE LOS LÍMITES 1. Propiedad del límite de una suma - El límite de la suma de dos funciones fyg es la suma de los límites. $L

Sustitución Directa y Propiedades Especiales

La sustitución directa es tu mejor amiga cuando una función es continua: lim⁡x→cf(x)=f(c)\lim_{x \to c} f(x) = f(c). Si no hay problemas como división por cero o raíces de números negativos, simplemente reemplazás xx por el valor y listo.

La unicidad del límite te dice algo importante: si un límite existe, es único. Esto significa que los límites laterales (por izquierda y derecha) deben coincidir para que el límite general exista.

Para el producto de una constante por una función, podés sacar la constante del límite: lim⁡x→c[b⋅f(x)]=b⋅lim⁡x→cf(x)\lim_{x \to c} [b \cdot f(x)] = b \cdot \lim_{x \to c} f(x). Esto te simplifica mucho los cálculos.

💡 Estrategia: Siempre intentá primero la sustitución directa. Si funciona, te ahorras un montón de trabajo. Si no, ahí sí usás las otras propiedades.

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Funciones Irracionales y Logarítmicas

Las funciones irracionales (con raíces) tienen una regla clara: lim⁡x→af(x)n=lim⁡x→af(x)n\lim_{x \to a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim_{x \to a} f(x)}. Calculás el límite de lo que está adentro de la raíz y después aplicás la raíz al resultado.

Cuando el índice de la raíz es par, el resultado del límite interno debe ser positivo. Si es negativo, la raíz no está definida en los números reales.

Para funciones logarítmicas, usás lim⁡x→a[log⁡kf(x)]=log⁡k[lim⁡x→af(x)]\lim_{x \to a} [\log_k f(x)] = \log_k [\lim_{x \to a} f(x)]. Es importante que el argumento del logaritmo (lo que está adentro) sea siempre positivo.

💡 Importante: Con raíces pares y logaritmos, siempre verificá que los valores sean válidos (positivos). Si no, el límite puede no existir en los números reales.

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Propiedades Fundamentales de los Límites Matemáticos

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Diana Carolina Rodriguez Benitez@ianaarolinaodriguezenitez_z0v1

¿Sabés que los límites tienen reglas específicas que te permiten resolverlos de forma más fácil y rápida? Las propiedades de los límitesson herramientas súper útiles que te ahorran tiempo y te dan la confianza para atacar cualquier problema de...

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Propiedades Básicas de Suma y Resta

Las propiedades de suma y resta son tu punto de partida para dominar los límites. La buena noticia es que funcionan exactamente como esperás: podés separar las funciones y calcular cada límite por separado.

Para la suma tenés que lim⁡x→c[f(x)+g(x)]=lim⁡x→cf(x)+lim⁡x→cg(x)\lim_{x \to c} [f(x) + g(x)] = \lim_{x \to c} f(x) + \lim_{x \to c} g(x). Por ejemplo, si querés lim⁡x→1[x2+2x+1]\lim_{x \to 1} [x^2 + 2x + 1], simplemente calculás cada parte: el límite de x2x^2 cuando x→1x \to 1 es 1, y el límite de $2x + 1$ es 3, entonces el resultado es 1 + 3 = 4.

La propiedad de la resta funciona igual pero restando: lim⁡x→a[f(x)−g(x)]=lim⁡x→af(x)−lim⁡x→ag(x)\lim_{x \to a} [f(x) - g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) - \lim_{x \to a} g(x). Es así de simple y directo.

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El límite del producto también se comporta como esperás: lim⁡x→c[f(x)⋅g(x)]=lim⁡x→cf(x)⋅lim⁡x→cg(x)\lim_{x \to c} [f(x) \cdot g(x)] = \lim_{x \to c} f(x) \cdot \lim_{x \to c} g(x). Calculás cada límite por separado y después los multiplicás.

Para el límite del cociente tenés lim⁡x→c[f(x)g(x)]=lim⁡x→cf(x)lim⁡x→cg(x)\lim_{x \to c} [\frac{f(x)}{g(x)}] = \frac{\lim_{x \to c} f(x)}{\lim_{x \to c} g(x)}, pero ojo: el denominador no puede ser cero. Si te da cero abajo, necesitás usar otras técnicas más avanzadas.

Las constantes son lo más fácil del mundo: lim⁡x→cb=b\lim_{x \to c} b = b. No importa hacia dónde tienda xx, una constante siempre vale lo mismo. Si tenés lim⁡x→75\lim_{x \to 7} 5, la respuesta es simplemente 5.

💡 Recuerda: En los cocientes, siempre verificá que el denominador no se vuelva cero. Si pasa, el límite puede no existir o necesitás métodos especiales.

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Potencias y Funciones Exponenciales

Las potencias siguen una regla súper útil: lim⁡x→a[f(x)]k=[lim⁡x→af(x)]k\lim_{x \to a} [f(x)]^k = [\lim_{x \to a} f(x)]^k. Básicamente, podés sacar la potencia del límite y aplicarla al resultado final.

Para las funciones exponenciales con base constante, usás lim⁡x→a[kg(x)]=klim⁡x→ag(x)\lim_{x \to a} [k^{g(x)}] = k^{\lim_{x \to a} g(x)}. Primero calculás el límite del exponente y después aplicás la base. Por ejemplo: lim⁡x→152x=52=25\lim_{x \to 1} 5^{2x} = 5^2 = 25.

Las funciones potencial exponenciales son más complejas pero siguen el patrón: lim⁡x→a[f(x)g(x)]=[lim⁡x→af(x)]lim⁡x→ag(x)\lim_{x \to a} [f(x)^{g(x)}] = [\lim_{x \to a} f(x)]^{\lim_{x \to a} g(x)}. Calculás ambos límites por separado y después armás la potencia.

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💡 Estrategia: Siempre intentá primero la sustitución directa. Si funciona, te ahorras un montón de trabajo. Si no, ahí sí usás las otras propiedades.

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Funciones Irracionales y Logarítmicas

Las funciones irracionales (con raíces) tienen una regla clara: lim⁡x→af(x)n=lim⁡x→af(x)n\lim_{x \to a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim_{x \to a} f(x)}. Calculás el límite de lo que está adentro de la raíz y después aplicás la raíz al resultado.

Cuando el índice de la raíz es par, el resultado del límite interno debe ser positivo. Si es negativo, la raíz no está definida en los números reales.

Para funciones logarítmicas, usás lim⁡x→a[log⁡kf(x)]=log⁡k[lim⁡x→af(x)]\lim_{x \to a} [\log_k f(x)] = \log_k [\lim_{x \to a} f(x)]. Es importante que el argumento del logaritmo (lo que está adentro) sea siempre positivo.

💡 Importante: Con raíces pares y logaritmos, siempre verificá que los valores sean válidos (positivos). Si no, el límite puede no existir en los números reales.

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