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MatemáticasMatemáticas197 visualizaciones·Actualizado May 31, 2026·5 páginas

Propiedades Fundamentales de los Límites Matemáticos

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Diana Carolina Rodriguez Benitez@ianaarolinaodriguezenitez_z0v1

¿Sabés que los límites tienen reglas específicas que te permiten...

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C) PROPIEDADES DE LOS LÍMITES 1. Propiedad del límite de una suma - El límite de la suma de dos funciones fyg es la suma de los límites. $L

Propiedades Básicas de Suma y Resta

Las propiedades de suma y resta son tu punto de partida para dominar los límites. La buena noticia es que funcionan exactamente como esperás: podés separar las funciones y calcular cada límite por separado.

Para la suma tenés que lim⁡x→c[f(x)+g(x)]=lim⁡x→cf(x)+lim⁡x→cg(x)\lim_{x \to c} [f(x) + g(x)] = \lim_{x \to c} f(x) + \lim_{x \to c} g(x). Por ejemplo, si querés lim⁡x→1[x2+2x+1]\lim_{x \to 1} [x^2 + 2x + 1], simplemente calculás cada parte: el límite de x2x^2 cuando x→1x \to 1 es 1, y el límite de $2x + 1$ es 3, entonces el resultado es 1 + 3 = 4.

La propiedad de la resta funciona igual pero restando: lim⁡x→a[f(x)−g(x)]=lim⁡x→af(x)−lim⁡x→ag(x)\lim_{x \to a} [f(x) - g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) - \lim_{x \to a} g(x). Es así de simple y directo.

💡 Tip clave: Estas propiedades solo funcionan cuando ambos límites individuales existen. Si uno no existe, no podés usar esta regla.

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Producto, Cociente y Constantes

El límite del producto también se comporta como esperás: lim⁡x→c[f(x)⋅g(x)]=lim⁡x→cf(x)⋅lim⁡x→cg(x)\lim_{x \to c} [f(x) \cdot g(x)] = \lim_{x \to c} f(x) \cdot \lim_{x \to c} g(x). Calculás cada límite por separado y después los multiplicás.

Para el límite del cociente tenés lim⁡x→c[f(x)g(x)]=lim⁡x→cf(x)lim⁡x→cg(x)\lim_{x \to c} [\frac{f(x)}{g(x)}] = \frac{\lim_{x \to c} f(x)}{\lim_{x \to c} g(x)}, pero ojo: el denominador no puede ser cero. Si te da cero abajo, necesitás usar otras técnicas más avanzadas.

Las constantes son lo más fácil del mundo: lim⁡x→cb=b\lim_{x \to c} b = b. No importa hacia dónde tienda xx, una constante siempre vale lo mismo. Si tenés lim⁡x→75\lim_{x \to 7} 5, la respuesta es simplemente 5.

💡 Recuerda: En los cocientes, siempre verificá que el denominador no se vuelva cero. Si pasa, el límite puede no existir o necesitás métodos especiales.

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Potencias y Funciones Exponenciales

Las potencias siguen una regla súper útil: lim⁡x→a[f(x)]k=[lim⁡x→af(x)]k\lim_{x \to a} [f(x)]^k = [\lim_{x \to a} f(x)]^k. Básicamente, podés sacar la potencia del límite y aplicarla al resultado final.

Para las funciones exponenciales con base constante, usás lim⁡x→a[kg(x)]=klim⁡x→ag(x)\lim_{x \to a} [k^{g(x)}] = k^{\lim_{x \to a} g(x)}. Primero calculás el límite del exponente y después aplicás la base. Por ejemplo: lim⁡x→152x=52=25\lim_{x \to 1} 5^{2x} = 5^2 = 25.

Las funciones potencial exponenciales son más complejas pero siguen el patrón: lim⁡x→a[f(x)g(x)]=[lim⁡x→af(x)]lim⁡x→ag(x)\lim_{x \to a} [f(x)^{g(x)}] = [\lim_{x \to a} f(x)]^{\lim_{x \to a} g(x)}. Calculás ambos límites por separado y después armás la potencia.

💡 Cuidado: Con las potencias, prestá atención a los signos. Un número negativo elevado a una potencia par da positivo, y a una potencia impar da negativo.

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Sustitución Directa y Propiedades Especiales

La sustitución directa es tu mejor amiga cuando una función es continua: lim⁡x→cf(x)=f(c)\lim_{x \to c} f(x) = f(c). Si no hay problemas como división por cero o raíces de números negativos, simplemente reemplazás xx por el valor y listo.

La unicidad del límite te dice algo importante: si un límite existe, es único. Esto significa que los límites laterales (por izquierda y derecha) deben coincidir para que el límite general exista.

Para el producto de una constante por una función, podés sacar la constante del límite: lim⁡x→c[b⋅f(x)]=b⋅lim⁡x→cf(x)\lim_{x \to c} [b \cdot f(x)] = b \cdot \lim_{x \to c} f(x). Esto te simplifica mucho los cálculos.

💡 Estrategia: Siempre intentá primero la sustitución directa. Si funciona, te ahorras un montón de trabajo. Si no, ahí sí usás las otras propiedades.

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Funciones Irracionales y Logarítmicas

Las funciones irracionales (con raíces) tienen una regla clara: lim⁡x→af(x)n=lim⁡x→af(x)n\lim_{x \to a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim_{x \to a} f(x)}. Calculás el límite de lo que está adentro de la raíz y después aplicás la raíz al resultado.

Cuando el índice de la raíz es par, el resultado del límite interno debe ser positivo. Si es negativo, la raíz no está definida en los números reales.

Para funciones logarítmicas, usás lim⁡x→a[log⁡kf(x)]=log⁡k[lim⁡x→af(x)]\lim_{x \to a} [\log_k f(x)] = \log_k [\lim_{x \to a} f(x)]. Es importante que el argumento del logaritmo (lo que está adentro) sea siempre positivo.

💡 Importante: Con raíces pares y logaritmos, siempre verificá que los valores sean válidos (positivos). Si no, el límite puede no existir en los números reales.

Pensamos que nunca lo preguntarías...

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4.6/5App Store
4.7/5Google Play

La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

Pablousuario de iOS

Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.

Elenausuaria de Android

Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

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¿Sabés que los límites tienen reglas específicas que te permiten resolverlos de forma más fácil y rápida? Las propiedades de los límitesson herramientas súper útiles que te ahorran tiempo y te dan la confianza para atacar cualquier problema de...

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Propiedades Básicas de Suma y Resta

Las propiedades de suma y resta son tu punto de partida para dominar los límites. La buena noticia es que funcionan exactamente como esperás: podés separar las funciones y calcular cada límite por separado.

Para la suma tenés que lim⁡x→c[f(x)+g(x)]=lim⁡x→cf(x)+lim⁡x→cg(x)\lim_{x \to c} [f(x) + g(x)] = \lim_{x \to c} f(x) + \lim_{x \to c} g(x). Por ejemplo, si querés lim⁡x→1[x2+2x+1]\lim_{x \to 1} [x^2 + 2x + 1], simplemente calculás cada parte: el límite de x2x^2 cuando x→1x \to 1 es 1, y el límite de $2x + 1$ es 3, entonces el resultado es 1 + 3 = 4.

La propiedad de la resta funciona igual pero restando: lim⁡x→a[f(x)−g(x)]=lim⁡x→af(x)−lim⁡x→ag(x)\lim_{x \to a} [f(x) - g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) - \lim_{x \to a} g(x). Es así de simple y directo.

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Producto, Cociente y Constantes

El límite del producto también se comporta como esperás: lim⁡x→c[f(x)⋅g(x)]=lim⁡x→cf(x)⋅lim⁡x→cg(x)\lim_{x \to c} [f(x) \cdot g(x)] = \lim_{x \to c} f(x) \cdot \lim_{x \to c} g(x). Calculás cada límite por separado y después los multiplicás.

Para el límite del cociente tenés lim⁡x→c[f(x)g(x)]=lim⁡x→cf(x)lim⁡x→cg(x)\lim_{x \to c} [\frac{f(x)}{g(x)}] = \frac{\lim_{x \to c} f(x)}{\lim_{x \to c} g(x)}, pero ojo: el denominador no puede ser cero. Si te da cero abajo, necesitás usar otras técnicas más avanzadas.

Las constantes son lo más fácil del mundo: lim⁡x→cb=b\lim_{x \to c} b = b. No importa hacia dónde tienda xx, una constante siempre vale lo mismo. Si tenés lim⁡x→75\lim_{x \to 7} 5, la respuesta es simplemente 5.

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Potencias y Funciones Exponenciales

Las potencias siguen una regla súper útil: lim⁡x→a[f(x)]k=[lim⁡x→af(x)]k\lim_{x \to a} [f(x)]^k = [\lim_{x \to a} f(x)]^k. Básicamente, podés sacar la potencia del límite y aplicarla al resultado final.

Para las funciones exponenciales con base constante, usás lim⁡x→a[kg(x)]=klim⁡x→ag(x)\lim_{x \to a} [k^{g(x)}] = k^{\lim_{x \to a} g(x)}. Primero calculás el límite del exponente y después aplicás la base. Por ejemplo: lim⁡x→152x=52=25\lim_{x \to 1} 5^{2x} = 5^2 = 25.

Las funciones potencial exponenciales son más complejas pero siguen el patrón: lim⁡x→a[f(x)g(x)]=[lim⁡x→af(x)]lim⁡x→ag(x)\lim_{x \to a} [f(x)^{g(x)}] = [\lim_{x \to a} f(x)]^{\lim_{x \to a} g(x)}. Calculás ambos límites por separado y después armás la potencia.

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La unicidad del límite te dice algo importante: si un límite existe, es único. Esto significa que los límites laterales (por izquierda y derecha) deben coincidir para que el límite general exista.

Para el producto de una constante por una función, podés sacar la constante del límite: lim⁡x→c[b⋅f(x)]=b⋅lim⁡x→cf(x)\lim_{x \to c} [b \cdot f(x)] = b \cdot \lim_{x \to c} f(x). Esto te simplifica mucho los cálculos.

💡 Estrategia: Siempre intentá primero la sustitución directa. Si funciona, te ahorras un montón de trabajo. Si no, ahí sí usás las otras propiedades.

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Funciones Irracionales y Logarítmicas

Las funciones irracionales (con raíces) tienen una regla clara: lim⁡x→af(x)n=lim⁡x→af(x)n\lim_{x \to a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim_{x \to a} f(x)}. Calculás el límite de lo que está adentro de la raíz y después aplicás la raíz al resultado.

Cuando el índice de la raíz es par, el resultado del límite interno debe ser positivo. Si es negativo, la raíz no está definida en los números reales.

Para funciones logarítmicas, usás lim⁡x→a[log⁡kf(x)]=log⁡k[lim⁡x→af(x)]\lim_{x \to a} [\log_k f(x)] = \log_k [\lim_{x \to a} f(x)]. Es importante que el argumento del logaritmo (lo que está adentro) sea siempre positivo.

💡 Importante: Con raíces pares y logaritmos, siempre verificá que los valores sean válidos (positivos). Si no, el límite puede no existir en los números reales.

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