¿Qué son los polinomios?

Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma o resta de dos o más monomios. Dependiendo del número de términos, reciben nombres específicos: un término se llama monomio, dos términos forman un binomio, tres términos un trinomio, y cuatro o más simplemente se llaman polinomios.

Ejemplos de cada tipo incluyen:

• Monomio: 5a⁷
• Binomio: 40r² + 10b⁷
• Trinomio: -√2x³ + 5x² - 8/3y⁵
• Polinomio: -10x⁵ + 5x⁴ - 6x³ + 9y⁴

💡 Consejo útil: Para identificar rápidamente el tipo de polinomio, solo necesitas contar cuántos términos separados por signos + o - hay en la expresión.

En los polinomios podemos analizar diferentes características como el grado absoluto, el grado relativo con respecto a una variable, términos semejantes, término independiente y más.

Grados de un polinomio

El grado absoluto de un polinomio es el mayor grado que tienen sus términos. Por ejemplo, en el binomio -23x²y⁵ + 14x⁷, el grado absoluto es 7 porque es el mayor entre los dos términos.

Para calcular el grado absoluto:

• En -6x²y⁴ + 5a⁵b + 6b⁹ - 7de⁶, sumamos los exponentes en cada término $2+4=6, 5+1=6, 9, 1+6=7$ y tomamos el mayor, que es 9.
• En 15abc² + 16x⁵y³z² - √2d⁹s⁵, el grado absoluto es 17.

El grado relativo de un polinomio con respecto a una variable es el mayor exponente que tiene esa variable en el polinomio. Por ejemplo, en -6x²y⁴ + 5a⁵b + 6b⁹ - 7de⁶:

• Grado relativo respecto a x: 2
• Grado relativo respecto a y: 4
• Grado relativo respecto a a: 5
• Grado relativo respecto a b: 9

🔍 Atención: Cuando buscas el grado relativo, solo te fijas en los exponentes de la variable específica que estás analizando, ignorando las demás variables.

Términos semejantes y término independiente

Los términos semejantes en un polinomio tienen exactamente la misma parte literal. Esto significa que las variables y sus exponentes deben ser idénticos. Por ejemplo:

• 9x³y² y -x³y² son semejantes
• 8x⁴y y 5x²y no son semejantes (exponentes diferentes)
• -9a²b³ y 5a³b² no son semejantes (exponentes diferentes)
• -7s³y³ y 5s³y³ son semejantes

El término independiente de un polinomio es el término que no contiene variables, es decir, el que tiene grado 0. Es simplemente una constante. Por ejemplo:

• En 9x⁴ + 5x² + 6 - 7, el término independiente es -1 $6-7$
• En 15a⁶ + 7y² + 9y - 17, el término independiente es -17
• En 10 + 32, el término independiente es 42 $10+32$

🌟 Recuerda: Identificar términos semejantes es crucial para poder simplificar polinomios mediante la suma o resta de sus coeficientes.

Un polinomio puede estar ordenado según los exponentes de una variable. Si los exponentes van de menor a mayor, está ordenado de forma ascendente; si van de mayor a menor, está ordenado de forma descendente.

Polinomios ordenados, completos y opuestos

Un polinomio está ordenado cuando sus términos siguen un patrón según los exponentes de una variable. Por ejemplo, 9x⁵y² + 8x⁴y⁶ - 5x³y⁵ está ordenado de manera descendente respecto a x (exponentes: 5, 4, 3).

Si lo ordenamos respecto a y: 9x⁵y² - 5x³y⁵ + 8x⁴y⁶, está en forma ascendente (exponentes: 2, 5, 6).

Un polinomio es completo cuando, al ordenarlo respecto a una variable, aparecen todos los exponentes consecutivos desde 0 hasta el mayor exponente de esa variable. Por ejemplo:

• 6x³ + 5x² + 7x + 10 es completo (tiene x³, x², x¹, x⁰)
• x⁵ + x⁴ + 6x³ + x no es completo (falta x², x¹ y x⁰)

El polinomio opuesto se obtiene cambiando los signos de todos los coeficientes de la expresión. Por ejemplo:

• El opuesto de x⁵ + x⁴ + 6x³ + x es -x⁵ - x⁴ - 6x³ - x
• El opuesto de 6x³ + 5x² - 7x - 10 es -6x³ - 5x² + 7x + 10

💫 Dato importante: Cuando sumas un polinomio y su opuesto, siempre obtienes como resultado cero. ¡Esta propiedad es muy útil en la resolución de ecuaciones!