El cuadrado mágico de fracciones

¿Alguna vez has jugado con un cuadrado mágico? Este es especial porque usa fracciones. Cada fila, columna y diagonal debe sumar exactamente $\frac{5}{4}$.

Para encontrar la primera pista, necesitamos completar el cuadrado mágico donde faltan algunos valores. Tenemos que:

• En la primera fila: $\frac{1}{6} + A + \frac{1}{2} = \frac{5}{4}$

Primero hallemos el valor de A:

• $A = \frac{5}{4} - \frac{1}{6} - \frac{1}{2} = \frac{15}{12} - \frac{2}{12} - \frac{6}{12} = \frac{7}{12}$

Después de resolver todo el cuadrado mágico, encontramos los valores:

• A = $\frac{7}{12}$
• B = $\frac{1}{3}$ o $\frac{4}{12}$
• C = $\frac{1}{12}$

💡 Consejo rápido: Para sumar o restar fracciones, encuentra el mínimo común múltiplo de los denominadores. En este caso, 12 es el mínimo común múltiplo de 4, 6 y 2.

Finalmente, aplicamos la fórmula para encontrar la pista: \text{Pista #1} = \frac{A+B}{C} + 18 = \frac{\frac{7}{12} + \frac{4}{12}}{\frac{1}{12}} + 18 = 11 + 18 = 29

Programas ofertados del Politécnico

¿Sabías que las becas universitarias son súper importantes para muchos estudiantes? En este problema analizaremos cuántos estudiantes reciben becas en el Politécnico Grancolombiano.

Según la gráfica de estudiantes matriculados en programas virtuales:

• Total de estudiantes: 246 estudiantes
• Hombres: 126 estudiantes
• Mujeres: 120 estudiantes

Nos dicen que 85 estudiantes (hombres y mujeres) recibieron la beca "Jóvenes a la U" y que el 10% de las mujeres están becadas.

Calculemos cuántas mujeres tienen beca:

• Mujeres becadas = 10% de 120 = 12 estudiantes

Por lo tanto:

• Hombres becados = 85 - 12 = 73 estudiantes

Para encontrar el porcentaje de hombres becados:

• Porcentaje = $\frac{73}{126} \times 100 = 58$

🔍 Dato interesante: Observa que aunque hay menos mujeres que hombres en total, el porcentaje de hombres becados es mucho mayor que el de mujeres (58% vs 10%).

La Pista #2 es 58.

Encontrar el camino entre pueblos

Imagina que estás planeando un viaje en bicicleta entre diferentes pueblos. Necesitamos calcular la distancia total para un recorrido específico.

Tenemos que calcular la distancia de la ruta ABHCEF, donde cada punto tiene coordenadas en un plano:

• A (-10,0)
• B (-12,8)
• H (-4,12)
• C (0,6)
• E (2,10)
• F (16,0)

Para calcular la distancia entre dos puntos usamos la fórmula: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Calculemos cada tramo:

• AB = 8,25 km
• BH = 8,94 km
• HC = 7,21 km
• CE = 4,47 km
• EF = 17,21 km

💡 Truco matemático: La distancia entre dos puntos es simplemente la hipotenusa de un triángulo rectángulo formado por la diferencia de coordenadas.

La distancia total recorrida es: 8,25 + 8,94 + 7,21 + 4,47 + 17,21 = 46,08 km

La Pista #3 es 46.

Pirámide de fracciones

¡Hora de resolver una pirámide de números! En esta, cada celda superior es el resultado de sumar las dos casillas que están debajo.

Primero, vamos a realizar las operaciones con fracciones que aparecen en la pirámide:

• $\frac{1}{1} = 1$
• $\frac{1}{5} = 0,2$
• $\frac{2}{3} = 0,67$
• $\frac{2}{5} = 0,4$
• $\frac{3}{3} = 1$

Luego completamos toda la pirámide siguiendo la regla: cada casilla es la suma de las dos casillas inferiores.

Al finalizar, observamos que en la base de la pirámide aparecen las letras W, C, E, N y S. La pista está en la letra que corresponde al valor más pequeño de la pirámide.

🧩 Consejo para resolver puzzles: Cuando trabajes con pirámides numéricas, siempre empieza por la base y ve subiendo nivel por nivel.

Después de todos los cálculos, encontramos que la letra N corresponde al valor más pequeño, así que la Pista #4 es N.

Otra pirámide con ecuaciones

¿Te gustan los rompecabezas? En este debemos completar una pirámide donde cada casilla contiene el resultado de una ecuación, y la suma de dos resultados inferiores da el resultado de la casilla superior.

Ya tenemos algunos valores iniciales:

• En la base: 3, 7
• En el medio: 18
• En la punta: 28

Primero resolvemos las ecuaciones que ya están en la pirámide:

• $(2x+1)-5=8$ → $2x=12$ → $x=6$
• $(x-1)+(x-1)=2x-2$ → $2x-2=2x-2$ (identidad verdadera para cualquier valor de x)

Después, vamos colocando las 15 tarjetas con ecuaciones en las casillas de forma que se cumpla que cada resultado sea la suma de los dos resultados inferiores.

🔢 Dato curioso: Las ecuaciones lineales como estas aparecen en muchos problemas de la vida real, desde calcular el interés compuesto hasta predecir la trayectoria de un objeto.

Al completar la pirámide, el valor en la cúspide es 58. La pista se calcula como 58 - 27 = 31.

La Pista #5 es 31.

Escuela de Matemáticas

¡Llegamos a una escuela de matemáticas! Aquí nos encontramos con cuatro problemas sobre edades y números que debemos resolver utilizando ecuaciones.

1. Primer problema: Si la suma de la mitad de un número más 3 veces el mismo número es igual a 21, ¿cuál es el número?

   • Expresión: $\frac{x}{2} + 3x = 21$
   • Solución: $7x = 42$ → $x = 6$

2. Segundo problema: ¿Cuál es el número que al sumarle 3 al triple de su mitad es igual a 33?

   • Expresión: $\frac{3x}{2} + 3 = 33$
   • Solución: $3x = 60$ → $x = 20$

3. Tercer problema: Calcular la edad de Camilo sabiendo que tiene 3 años más que Diana, y la suma de la tercera parte de la edad de Camilo y la mitad de la edad de Diana es 6.

   • Expresión: $C = D + 3$ y $\frac{C}{3} + \frac{D}{2} = 6$
   • Solución: $D = 6$ y $C = 9$

💫 Recuerda: Cuando tengas problemas con dos incógnitas, sustituye una ecuación en la otra para reducirlo a una sola incógnita.

4. Cuarto problema: Calcular la edad de Carlos sabiendo que es 5 años menor que María y la suma de la mitad de su edad con 3 veces la edad de María es 64.
   • Solución: $C = 14$ y $M = 19$

Sumamos todas las soluciones y restamos 41: $6 + 20 + 9 + 14 - 41 = 8$

La Pista #6 es 8.

Lanzamiento Angry Birds

¡Vamos a jugar con física! En este desafío analizamos el lanzamiento de tres objetos que siguen trayectorias parabólicas (funciones cuadráticas).

Las funciones que describen cada lanzamiento son:

• $f(x) = -0.1x^2 + 4.5x$
• $g(x) = -0.1x^2 + 4.8x$
• $h(x) = -0.2x^2 + 7x$

Para encontrar el alcance (valor de x) cuando cada objeto alcanza su altura máxima, podemos usar cálculo o recordar que para funciones de la forma $ax^2 + bx + c$, la coordenada x del vértice es $-b/2a$.

Aplicando esta fórmula:

• Objeto 1: $x = 4.5/0.2 = 22.5$
• Objeto 2: $x = 4.8/0.2 = 24$
• Objeto 3: $x = 7/0.4 = 17.5$

🚀 Dato físico: En un lanzamiento parabólico, la altura máxima siempre se alcanza cuando la velocidad vertical es cero.

Luego calculamos las alturas máximas reemplazando estos valores en las funciones:

• $f(22.5) = 50.625$
• $g(24) = 57.6$
• $h(17.5) = 61.25$

Sumamos las tres alturas: $H = 169.475$

Aplicando la fórmula dada: $\frac{40H + 421}{1200} = \frac{40 \cdot 169.475 + 421}{1200} ≈ 6$

La Pista #7 es 6.

Comparación de figuras extrañas

¡Final del desafío! Debemos comparar el área de tres figuras geométricas extrañas para determinar cuál es la más grande.

Para calcular las áreas, dividimos cada figura en formas geométricas conocidas:

1. Figura W (corazón): compuesta por un cuadrado y dos semicircunferencias.

   • Área: $(8 + 2\pi)t^2 ≈ 14.28t^2$

2. Figura O (diferencia entre circunferencia y rombo):

   • Área: $(9\pi - 18)t^2 ≈ 10.27t^2$

3. Figura E (botella): compuesta por una semicircunferencia, un rectángulo y dos triángulos.

   • Área: $(2\pi + 10)t^2 ≈ 16.28t^2$

🎯 Observación importante: El valor de t es un factor común en todas las áreas, así que la comparación no depende del valor específico de t.

La figura con mayor área es la E (la botella), así que la Pista #8 es E.

Reuniendo todas las pistas (29°58'46"N 31°8'6"E) e introduciéndolas en un mapa, descubrimos la maravilla del mundo antiguo que buscábamos: ¡Las Pirámides de Giza!