Asignaturas
Matemáticas
20 de dic de 2025
69
20 páginas
Juar Carrascal @juarcarrascal
Los ángulos son fundamentales en geometría y están en todas partes a tu alrededor. Desde el diseño de... Mostrar más
¿Sabías que toda la geometría que usamos hoy se basa en ideas de hace más de 2000 años? Los puntos, rectas y planos son los bloques de construcción de toda figura geométrica que puedas imaginar.
Un punto es simplemente una ubicación en el espacio, mientras que una recta es una línea infinita que pasa por dos puntos. Aquí viene algo súper útil por dos puntos distintos pasa una y solo una línea recta - esto significa que siempre puedes conectar dos puntos de manera única.
Cuando tres puntos están sobre la misma recta, los llamamos colineales. Este concepto te va a servir mucho para demostrar que ciertos puntos están alineados en problemas más complejos.
💡 Tip clave Memoriza que dos puntos determinan una única recta - este principio aparece en muchos exámenes.
Ahora vamos a diferenciar entre tres conceptos que muchos estudiantes confunden. Una recta se extiende infinitamente en ambas direcciones, una semirrecta o rayo tiene un punto de inicio y se extiende infinitamente en una dirección, y un segmento tiene dos puntos extremos definidos.
La congruencia es otro concepto clave que debes dominar. Dos segmentos son congruentes cuando tienen exactamente la misma longitud, sin importar su posición en el plano.
Esta distinción entre recta, semirrecta y segmento es fundamental porque cada uno se usa en diferentes situaciones. Los rayos son especialmente importantes cuando hablamos de ángulos, como veremos en la siguiente sección.
💡 Dato importante El símbolo ≅ significa "congruente con" y lo vas a usar constantemente en demostraciones geométricas.
Un ángulo es simplemente la unión de dos rayos que comparten un punto común llamado vértice. Piensa en las manecillas de un reloj el punto donde se encuentran es el vértice, y cada manecilla representa un lado del ángulo.
Los lados del ángulo son esos dos rayos que parten del vértice. La abertura entre estos rayos determina qué tan grande o pequeño es el ángulo.
Esta definición básica te va a permitir identificar ángulos en cualquier figura geométrica. Desde triángulos hasta polígonos complejos, todos contienen múltiples ángulos que siguen esta misma estructura.
💡 Recuerda Un ángulo siempre necesita exactamente dos rayos y un vértice común - ni más, ni menos.
¿Te has preguntado por qué una circunferencia tiene 360 grados? Los antiguos dividieron el círculo en 360 partes iguales, y cada una de esas divisiones representa 1 grado (1°).
Para medir ángulos usas un transportador, esa herramienta semicircular con números que probablemente tienes en tu cartuchera. Colocas el centro del transportador en el vértice del ángulo y lees la medida donde el segundo lado intersecta la escala.
La medición en grados es súper práctica para la vida cotidana. Un ángulo recto (como las esquinas de una hoja) mide exactamente 90°, y cuando das una vuelta completa, has girado 360°.
💡 Tip para exámenes Siempre verifica que estés leyendo la escala correcta del transportador - tiene dos escalas y es fácil confundirse.
Leer un transportador correctamente es una habilidad que necesitas dominar. Fíjate que el transportador tiene dos escalas una que va de 0° a 180° y otra que va de 180° a 0° en dirección opuesta.
Para medir un ángulo, siempre coloca uno de los lados del ángulo sobre la línea base del transportador (donde está el 0°). Luego lee dónde el otro lado cruza la escala numérica.
Los ejemplos muestran ángulos de 60°, 130°, 80° y 150°. Practica identificando estos valores y verás que medir ángulos se vuelve automático.
💡 Truco útil Si el ángulo parece ser mayor que 90°, probablemente necesites usar la escala que da valores más grandes.
Pi (π) es uno de los números más famosos de las matemáticas, y aparece cuando relacionamos círculos con ángulos. Pi es la razón entre la longitud de cualquier circunferencia y su diámetro.
La fórmula π = L/d = L/2r te dice que no importa qué tan grande o pequeño sea tu círculo, esta relación siempre da el mismo resultado aproximadamente 3.14159.
William Jones adoptó el símbolo π en 1706, y Euler lo popularizó. Este símbolo griego ahora es reconocido mundialmente y es esencial para entender la medición de ángulos en radianes.
💡 Dato curioso π es un número irracional, lo que significa que sus decimales continúan infinitamente sin repetir un patrón.
π es un número irracional y trascendente, lo que significa que no se puede expresar como una fracción simple y sus decimales nunca terminan ni se repiten. Sus primeros dígitos son 3.141592653589793...
Este número aparece en muchísimas áreas de las matemáticas y la física, no solo en círculos. Desde el cálculo hasta la probabilidad, π emerge de manera sorprendente en contextos que parecen no tener nada que ver con círculos.
Para tus cálculos en el colegio, generalmente usarás π ≈ 3.14 o π ≈ 22/7, pero tu calculadora te dará un valor más preciso cuando lo necesites.
💡 Para recordar π es aproximadamente 3.14, pero en exámenes rigurosos, deja tus respuestas en términos de π cuando sea posible.
Un radián es otra forma de medir ángulos que es súper útil en matemáticas avanzadas. Un radián (1 rad) es el ángulo que se forma cuando el arco de una circunferencia tiene la misma longitud que el radio.
Las conversiones entre grados y radianes son fundamentales 1 rad = 180°/π y 1° = π/180 rad. Estas fórmulas te permiten cambiar entre los dos sistemas de medición.
Veamos ejemplos prácticos 36° = 36 × π/180 = π/5 radianes, y 3π/4 radianes = 3π/4 × 180°/π = 135°. Con práctica, estas conversiones se vuelven rutinarias.
💡 Estrategia Memoriza que π radianes = 180°, y a partir de ahí puedes deducir cualquier conversión.
Los ángulos se clasifican según su medida agudo (0° < θ < 90°), recto (θ = 90°), obtuso (90° < θ < 180°), llano (θ = 180°), y completo (θ = 360°).
Las relaciones entre ángulos son igualmente importantes. Los ángulos complementarios suman 90° , mientras que los suplementarios suman 180° (π radianes).
Los ángulos consecutivos comparten un lado común, y los adyacentes son consecutivos y sus otros lados forman una línea recta. Estas definiciones te ayudan a resolver problemas donde necesitas encontrar ángulos desconocidos.
💡 Tip de examen Si dos ángulos son complementarios y uno mide 30°, el otro automáticamente mide 60°.
El Axioma de la paralela única establece que por un punto exterior a una recta pasa una y solo una recta paralela a la original. Este principio, formulado por Playfair en 1795, es equivalente al famoso Quinto Postulado de Euclides.
Este axioma es fundamental en geometría euclidiana y explica por qué las rectas paralelas nunca se intersectan. Sin este principio, muchas de las propiedades geométricas que damos por sentadas no serían válidas.
Euclides, el matemático griego cuyo trabajo sigue siendo la base de la geometría moderna, desarrolló estos conceptos hace más de 2000 años. Su influencia en las matemáticas es tan grande que aún estudiamos sus ideas hoy.
💡 Conexión histórica Este axioma distingue la geometría euclidiana de otras geometrías no euclidianas que se desarrollaron posteriormente.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
¡Sí lo es! Tienes acceso totalmente gratuito a todo el contenido de la app, puedes chatear con otros alumnos y recibir ayuda inmeditamente. Puedes ganar dinero utilizando la aplicación, que te permitirá acceder a determinadas funciones.
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuaria de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuaria de Android
Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
usuaria de Android
Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
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Roberto
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Marco B
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Juar Carrascal
@juarcarrascal
Los ángulos son fundamentales en geometría y están en todas partes a tu alrededor. Desde el diseño de tu teléfono hasta la arquitectura de tu colegio, entender los conceptos básicos de puntos, rectas y ángulos te dará las bases para... Mostrar más
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¿Sabías que toda la geometría que usamos hoy se basa en ideas de hace más de 2000 años? Los puntos, rectas y planos son los bloques de construcción de toda figura geométrica que puedas imaginar.
Un punto es simplemente una ubicación en el espacio, mientras que una recta es una línea infinita que pasa por dos puntos. Aquí viene algo súper útil: por dos puntos distintos pasa una y solo una línea recta - esto significa que siempre puedes conectar dos puntos de manera única.
Cuando tres puntos están sobre la misma recta, los llamamos colineales. Este concepto te va a servir mucho para demostrar que ciertos puntos están alineados en problemas más complejos.
💡 Tip clave: Memoriza que dos puntos determinan una única recta - este principio aparece en muchos exámenes.
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La congruencia es otro concepto clave que debes dominar. Dos segmentos son congruentes cuando tienen exactamente la misma longitud, sin importar su posición en el plano.
Esta distinción entre recta, semirrecta y segmento es fundamental porque cada uno se usa en diferentes situaciones. Los rayos son especialmente importantes cuando hablamos de ángulos, como veremos en la siguiente sección.
💡 Dato importante: El símbolo ≅ significa "congruente con" y lo vas a usar constantemente en demostraciones geométricas.
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Un ángulo es simplemente la unión de dos rayos que comparten un punto común llamado vértice. Piensa en las manecillas de un reloj: el punto donde se encuentran es el vértice, y cada manecilla representa un lado del ángulo.
Los lados del ángulo son esos dos rayos que parten del vértice. La abertura entre estos rayos determina qué tan grande o pequeño es el ángulo.
Esta definición básica te va a permitir identificar ángulos en cualquier figura geométrica. Desde triángulos hasta polígonos complejos, todos contienen múltiples ángulos que siguen esta misma estructura.
💡 Recuerda: Un ángulo siempre necesita exactamente dos rayos y un vértice común - ni más, ni menos.
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La medición en grados es súper práctica para la vida cotidana. Un ángulo recto (como las esquinas de una hoja) mide exactamente 90°, y cuando das una vuelta completa, has girado 360°.
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Para medir un ángulo, siempre coloca uno de los lados del ángulo sobre la línea base del transportador (donde está el 0°). Luego lee dónde el otro lado cruza la escala numérica.
Los ejemplos muestran ángulos de 60°, 130°, 80° y 150°. Practica identificando estos valores y verás que medir ángulos se vuelve automático.
💡 Truco útil: Si el ángulo parece ser mayor que 90°, probablemente necesites usar la escala que da valores más grandes.
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Pi (π) es uno de los números más famosos de las matemáticas, y aparece cuando relacionamos círculos con ángulos. Pi es la razón entre la longitud de cualquier circunferencia y su diámetro.
La fórmula π = L/d = L/2r te dice que no importa qué tan grande o pequeño sea tu círculo, esta relación siempre da el mismo resultado: aproximadamente 3.14159.
William Jones adoptó el símbolo π en 1706, y Euler lo popularizó. Este símbolo griego ahora es reconocido mundialmente y es esencial para entender la medición de ángulos en radianes.
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Este número aparece en muchísimas áreas de las matemáticas y la física, no solo en círculos. Desde el cálculo hasta la probabilidad, π emerge de manera sorprendente en contextos que parecen no tener nada que ver con círculos.
Para tus cálculos en el colegio, generalmente usarás π ≈ 3.14 o π ≈ 22/7, pero tu calculadora te dará un valor más preciso cuando lo necesites.
💡 Para recordar: π es aproximadamente 3.14, pero en exámenes rigurosos, deja tus respuestas en términos de π cuando sea posible.
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Las conversiones entre grados y radianes son fundamentales: 1 rad = 180°/π y 1° = π/180 rad. Estas fórmulas te permiten cambiar entre los dos sistemas de medición.
Veamos ejemplos prácticos: 36° = 36 × π/180 = π/5 radianes, y 3π/4 radianes = 3π/4 × 180°/π = 135°. Con práctica, estas conversiones se vuelven rutinarias.
💡 Estrategia: Memoriza que π radianes = 180°, y a partir de ahí puedes deducir cualquier conversión.
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Los ángulos se clasifican según su medida: agudo (0° < θ < 90°), recto (θ = 90°), obtuso (90° < θ < 180°), llano (θ = 180°), y completo (θ = 360°).
Las relaciones entre ángulos son igualmente importantes. Los ángulos complementarios suman 90° , mientras que los suplementarios suman 180° (π radianes).
Los ángulos consecutivos comparten un lado común, y los adyacentes son consecutivos y sus otros lados forman una línea recta. Estas definiciones te ayudan a resolver problemas donde necesitas encontrar ángulos desconocidos.
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El Axioma de la paralela única establece que por un punto exterior a una recta pasa una y solo una recta paralela a la original. Este principio, formulado por Playfair en 1795, es equivalente al famoso Quinto Postulado de Euclides.
Este axioma es fundamental en geometría euclidiana y explica por qué las rectas paralelas nunca se intersectan. Sin este principio, muchas de las propiedades geométricas que damos por sentadas no serían válidas.
Euclides, el matemático griego cuyo trabajo sigue siendo la base de la geometría moderna, desarrolló estos conceptos hace más de 2000 años. Su influencia en las matemáticas es tan grande que aún estudiamos sus ideas hoy.
💡 Conexión histórica: Este axioma distingue la geometría euclidiana de otras geometrías no euclidianas que se desarrollaron posteriormente.
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Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
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Roberto
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Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
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