Subconjuntos y Subespacios Vectoriales

Un espacio vectorial puede contener subconjuntos que pueden ser o no subespacios vectoriales. La diferencia clave está en si cumplen ciertas propiedades esenciales.

Para que un subconjunto H de un espacio vectorial V sea un subespacio, debe heredar las operaciones del espacio vectorial (suma y multiplicación por escalar) y garantizar que el vector cero esté incluido en H.

Teorema 1: Un subconjunto H de un espacio vectorial V es subespacio si y solo si satisface:

• Contiene el vector cero
• Es cerrado bajo la suma $si u, v ∈ H entonces u+v ∈ H$
• Es cerrado bajo la multiplicación escalar (si v ∈ H y α es un escalar, entonces αv ∈ H)

💡 Para verificar si un conjunto es un subespacio, siempre debes comprobar estas tres condiciones: presencia del cero y las dos cerraduras.

Verificación de Subespacios

Veamos un ejemplo: si H = {(a,b,c) ∈ ℝ³ | 2a-b+4c=0}, ¿es H un subespacio de ℝ³?

Para comprobarlo, verificamos las tres condiciones:

1. El vector cero (0,0,0) cumple 2(0)-0+4(0)=0, así que está en H
2. Si sumamos dos vectores del conjunto: (a₁,b₁,c₁) y (a₂,b₂,c₂), obtenemos 2$a₁+a₂$-$b₁+b₂$+4$c₁+c₂$=0, que sigue siendo de la forma 2a-b+4c=0
3. Al multiplicar por un escalar α: α$2a₁-b₁+4c₁$=0 se mantiene la forma requerida

Como se cumplen las tres condiciones, H es un subespacio de ℝ³.

Es importante notar que todos los planos de la forma ax+by+cz=0 pasan por el origen y forman subespacios vectoriales.

📝 Recuerda que un plano o recta solo puede ser subespacio si pasa por el origen. Si no pasa por el origen, nunca podrá ser subespacio.

Más Ejemplos de Subespacios

Consideremos S = {(a,b,c) ∈ ℝ³ | a/3 = b/7 = c/5}. Para determinar si es un subespacio:

1. El vector (0,0,0) cumple con 0/3 = 0/7 = 0/5, así que está en S
2. Para dos vectores en S, la suma mantiene la igualdad de proporciones
3. Al multiplicar por un escalar α, las proporciones siguen siendo iguales

Por tanto, S también es un subespacio de ℝ³.

Algunos ejemplos importantes a recordar:

• La matriz identidad no es un subespacio ni espacio vectorial
• Las matrices escalares son subespacios (y espacios vectoriales)
• Las matrices diagonales son subespacios (y espacios vectoriales)
• Los polinomios de grado menor a n son subespacios de Pn

⚠️ Si un conjunto no cumple alguna de las cerraduras, inmediatamente podemos concluir que no es un subespacio. Por ejemplo, si al multiplicar por -5 salen del conjunto, no es subespacio.

Intersección de Subespacios

Teorema 2: Si H₁ y H₂ son subespacios de un espacio vectorial V, entonces H₁∩H₂ también es un subespacio de V.

Este teorema es importante porque nos permite construir nuevos subespacios a partir de la intersección de subespacios existentes.

La intersección preserva todas las propiedades necesarias:

• El vector cero está en ambos subespacios, por lo que está en la intersección
• Si dos vectores están en la intersección, su suma también está
• Si un vector está en la intersección, cualquier múltiplo escalar también está

Por tanto, la intersección siempre forma un subespacio.

🔍 La intersección de dos planos que pasan por el origen puede ser: el origen, una recta que pasa por el origen, o todo un plano (si los planos son idénticos).

Unión de Subespacios

A diferencia de la intersección, la unión de subespacios generalmente no es un subespacio.

Por ejemplo, si tenemos dos vectores P = (-2, 2, -2) y Q = (1, 1, 0) pertenecientes a diferentes subespacios H₁ y H₂, podemos verificar que su suma P+Q = (-1, 3, -2) no pertenece a ninguno de los dos subespacios.

Para comprobarlo, sustituimos en las ecuaciones de cada subespacio:

• Para H₁: 2(-1) + 5(3) + 3(-2) = 7 ≠ 0
• Para H₂: -4(-1) + 4(3) + (-1)(-2) = 18 ≠ 0

Como la suma no pertenece a ningún subespacio, H₁ ∪ H₂ no es un subespacio.

🌟 La unión de subespacios solo forma un subespacio cuando uno está contenido en el otro. En el caso especial donde dos planos son exactamente el mismo, su unión sí sería un subespacio.