Asignaturas
Matemáticas
12 de dic de 2025
112
5 páginas
María José Zapata Muñoz @araosapatauoz_mnpxa3
Los subespacios vectoriales son fundamentales en álgebra lineal. Son subconjuntos de espacios vectoriales que conservan las propiedades clave... Mostrar más
Un espacio vectorial puede contener subconjuntos que pueden ser o no subespacios vectoriales. La diferencia clave está en si cumplen ciertas propiedades esenciales.
Para que un subconjunto H de un espacio vectorial V sea un subespacio, debe heredar las operaciones del espacio vectorial (suma y multiplicación por escalar) y garantizar que el vector cero esté incluido en H.
Teorema 1 Un subconjunto H de un espacio vectorial V es subespacio si y solo si satisface
💡 Para verificar si un conjunto es un subespacio, siempre debes comprobar estas tres condiciones presencia del cero y las dos cerraduras.
Veamos un ejemplo si H = {(a,b,c) ∈ ℝ³ | 2a-b+4c=0}, ¿es H un subespacio de ℝ³?
Para comprobarlo, verificamos las tres condiciones
Como se cumplen las tres condiciones, H es un subespacio de ℝ³.
Es importante notar que todos los planos de la forma ax+by+cz=0 pasan por el origen y forman subespacios vectoriales.
📝 Recuerda que un plano o recta solo puede ser subespacio si pasa por el origen. Si no pasa por el origen, nunca podrá ser subespacio.
Consideremos S = {(a,b,c) ∈ ℝ³ | a/3 = b/7 = c/5}. Para determinar si es un subespacio
Por tanto, S también es un subespacio de ℝ³.
Algunos ejemplos importantes a recordar
⚠️ Si un conjunto no cumple alguna de las cerraduras, inmediatamente podemos concluir que no es un subespacio. Por ejemplo, si al multiplicar por -5 salen del conjunto, no es subespacio.
Teorema 2 Si H₁ y H₂ son subespacios de un espacio vectorial V, entonces H₁∩H₂ también es un subespacio de V.
Este teorema es importante porque nos permite construir nuevos subespacios a partir de la intersección de subespacios existentes.
La intersección preserva todas las propiedades necesarias
Por tanto, la intersección siempre forma un subespacio.
🔍 La intersección de dos planos que pasan por el origen puede ser el origen, una recta que pasa por el origen, o todo un plano (si los planos son idénticos).
A diferencia de la intersección, la unión de subespacios generalmente no es un subespacio.
Por ejemplo, si tenemos dos vectores P = (-2, 2, -2) y Q = (1, 1, 0) pertenecientes a diferentes subespacios H₁ y H₂, podemos verificar que su suma P+Q = (-1, 3, -2) no pertenece a ninguno de los dos subespacios.
Para comprobarlo, sustituimos en las ecuaciones de cada subespacio
Como la suma no pertenece a ningún subespacio, H₁ ∪ H₂ no es un subespacio.
🌟 La unión de subespacios solo forma un subespacio cuando uno está contenido en el otro. En el caso especial donde dos planos son exactamente el mismo, su unión sí sería un subespacio.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuaria de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuaria de Android
Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
usuaria de Android
Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
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Ana
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
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Roberto
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Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
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Para que un subconjunto H de un espacio vectorial V sea un subespacio, debe heredar las operaciones del espacio vectorial (suma y multiplicación por escalar) y garantizar que el vector cero esté incluido en H.
Teorema 1: Un subconjunto H de un espacio vectorial V es subespacio si y solo si satisface:
💡 Para verificar si un conjunto es un subespacio, siempre debes comprobar estas tres condiciones: presencia del cero y las dos cerraduras.
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Veamos un ejemplo: si H = {(a,b,c) ∈ ℝ³ | 2a-b+4c=0}, ¿es H un subespacio de ℝ³?
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Como se cumplen las tres condiciones, H es un subespacio de ℝ³.
Es importante notar que todos los planos de la forma ax+by+cz=0 pasan por el origen y forman subespacios vectoriales.
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Teorema 2: Si H₁ y H₂ son subespacios de un espacio vectorial V, entonces H₁∩H₂ también es un subespacio de V.
Este teorema es importante porque nos permite construir nuevos subespacios a partir de la intersección de subespacios existentes.
La intersección preserva todas las propiedades necesarias:
Por tanto, la intersección siempre forma un subespacio.
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A diferencia de la intersección, la unión de subespacios generalmente no es un subespacio.
Por ejemplo, si tenemos dos vectores P = (-2, 2, -2) y Q = (1, 1, 0) pertenecientes a diferentes subespacios H₁ y H₂, podemos verificar que su suma P+Q = (-1, 3, -2) no pertenece a ninguno de los dos subespacios.
Para comprobarlo, sustituimos en las ecuaciones de cada subespacio:
Como la suma no pertenece a ningún subespacio, H₁ ∪ H₂ no es un subespacio.
🌟 La unión de subespacios solo forma un subespacio cuando uno está contenido en el otro. En el caso especial donde dos planos son exactamente el mismo, su unión sí sería un subespacio.
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
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Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
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Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
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Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
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Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
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