Matemáticas
1 de dic de 2025
396
5 páginas
María José Zapata Muñoz @araosapatauoz_mnpxa3
La trigonometría nos permite resolver triángulos no rectángulos utilizando dos herramientas poderosas: la Ley del Seno y la... Mostrar más
La Ley del Seno establece que en cualquier triángulo, la relación entre la longitud de un lado y el seno del ángulo opuesto es constante. Se expresa mediante la fórmula
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
Usamos la Ley del Seno en dos casos específicos
💡 Recuerda Antes de aplicar la Ley del Seno, calcula todos los ángulos posibles usando el hecho de que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180°.
Por ejemplo, si en un triángulo tenemos b = 15 cm, B = 56° y C = 38°, primero calculamos A = 180° - 56° - 38° = 86°. Luego aplicamos la Ley del Seno para encontrar c
\frac{15\text{ cm}}{\sin 56°} = \frac{c}{\sin 38°}
Despejando, obtenemos c = 11,14 cm.
La Ley del Coseno es perfecta para resolver triángulos cuando tenemos
La fórmula se expresa de tres maneras equivalentes
Esta ley es una generalización del Teorema de Pitágoras para triángulos no rectángulos.
🔍 Consejo práctico Elige la fórmula de la Ley del Coseno que te permita encontrar directamente la incógnita que buscas.
Por ejemplo, si conocemos dos lados a = 25 cm, b = 45 cm y el ángulo entre ellos C = 55°, podemos calcular el tercer lado
a² = (25 cm)² + (45 cm)² - 2(25 cm)(45 cm)·cos(55°) a² = 625 cm² + 2025 cm² - 2250 cm²·0,573 a² = 2650 cm² - 1289,25 cm² a² = 1360,75 cm² a = 36,89 cm
Veamos cómo aplicar estas leyes en problemas reales
Problema 1 En un triángulo con a = 1400 cm, b = 1800 cm y A = 35°, queremos encontrar el ángulo B.
Aplicando la Ley del Seno \frac{b}{\sin B} = \frac{a}{\sin A}
Despejando \sin B = \frac{b \cdot \sin A}{a} = \frac{1800 \text{ cm} \cdot \sin 35°}{1400 \text{ cm}} = 0,737
Por lo tanto, B = 47° 28' 35,35"
💪 Tú puedes! Cuando resuelvas estos problemas, organiza tus datos antes de aplicar las fórmulas y trabaja paso a paso.
Problema 2 En un triángulo con a = 4 cm, b = 6 cm y C = 57°, necesitamos hallar el lado c.
Usando la Ley del Coseno c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C c = \sqrt{^2 + ^2 - 2 \cdot \cos 57°}
Realizando los cálculos c = 5,088 cm
Cuando conocemos los tres lados de un triángulo , podemos encontrar sus ángulos usando la Ley del Coseno despejada para el coseno del ángulo
Para el ángulo A \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}
Sustituyendo \cos A = \frac{^2 + ^2 - ^2}{2 \cdot 4 \text{ cm} \cdot 6 \text{ cm}} = \frac{16 + 36 - 25}{48} = \frac{27}{48} = 0,5625
Por lo tanto A = 55° 46' 16,09"
🧠 Truco mental Para verificar tus resultados, recuerda que la suma de los tres ángulos debe ser exactamente 180°.
Para el ángulo B \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{25 + 36 - 16}{2 \cdot 5 \cdot 6} = \frac{45}{60} = 0,75
Obtenemos B = 41° 24' 34,64"
Para el ángulo C, aplicamos la misma fórmula \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{25 + 16 - 36}{2 \cdot 5 \cdot 4} = \frac{5}{40} = 0,125
Esto nos da C = 82° 49' 9,29"
Verificamos 55° 46' 16,09" + 41° 24' 34,64" + 82° 49' 9,29" = 180° 0' 0"
¡Los ángulos suman exactamente 180°, lo que confirma que nuestros cálculos son correctos!
🌟 ¡Has dominado un concepto clave! La Ley del Seno y la Ley del Coseno te permiten resolver cualquier triángulo, una habilidad que usarás en física, ingeniería y muchas otras áreas.
Cuando te enfrentes a problemas de triángulos
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
¡Sí lo es! Tienes acceso totalmente gratuito a todo el contenido de la app, puedes chatear con otros alumnos y recibir ayuda inmeditamente. Puedes ganar dinero utilizando la aplicación, que te permitirá acceder a determinadas funciones.
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Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuaria de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuaria de Android
Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
usuaria de Android
Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
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La trigonometría nos permite resolver triángulos no rectángulos utilizando dos herramientas poderosas: la Ley del Seno y la Ley del Coseno. Estos teoremas son fundamentales para encontrar lados y ángulos desconocidos cuando no podemos aplicar las funciones trigonométricas básicas.
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La Ley del Seno establece que en cualquier triángulo, la relación entre la longitud de un lado y el seno del ángulo opuesto es constante. Se expresa mediante la fórmula:
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
Usamos la Ley del Seno en dos casos específicos:
💡 Recuerda: Antes de aplicar la Ley del Seno, calcula todos los ángulos posibles usando el hecho de que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180°.
Por ejemplo, si en un triángulo tenemos b = 15 cm, B = 56° y C = 38°, primero calculamos A = 180° - 56° - 38° = 86°. Luego aplicamos la Ley del Seno para encontrar c:
\frac{15\text{ cm}}{\sin 56°} = \frac{c}{\sin 38°}
Despejando, obtenemos c = 11,14 cm.
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La Ley del Coseno es perfecta para resolver triángulos cuando tenemos:
La fórmula se expresa de tres maneras equivalentes:
Esta ley es una generalización del Teorema de Pitágoras para triángulos no rectángulos.
🔍 Consejo práctico: Elige la fórmula de la Ley del Coseno que te permita encontrar directamente la incógnita que buscas.
Por ejemplo, si conocemos dos lados a = 25 cm, b = 45 cm y el ángulo entre ellos C = 55°, podemos calcular el tercer lado:
a² = (25 cm)² + (45 cm)² - 2(25 cm)(45 cm)·cos(55°) a² = 625 cm² + 2025 cm² - 2250 cm²·0,573 a² = 2650 cm² - 1289,25 cm² a² = 1360,75 cm² a = 36,89 cm
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Problema 1: En un triángulo con a = 1400 cm, b = 1800 cm y A = 35°, queremos encontrar el ángulo B.
Aplicando la Ley del Seno: \frac{b}{\sin B} = \frac{a}{\sin A}
Despejando: \sin B = \frac{b \cdot \sin A}{a} = \frac{1800 \text{ cm} \cdot \sin 35°}{1400 \text{ cm}} = 0,737
Por lo tanto, B = 47° 28' 35,35"
💪 Tú puedes! Cuando resuelvas estos problemas, organiza tus datos antes de aplicar las fórmulas y trabaja paso a paso.
Problema 2: En un triángulo con a = 4 cm, b = 6 cm y C = 57°, necesitamos hallar el lado c.
Usando la Ley del Coseno: c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C c = \sqrt{^2 + ^2 - 2 \cdot \cos 57°}
Realizando los cálculos: c = 5,088 cm
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Cuando conocemos los tres lados de un triángulo , podemos encontrar sus ángulos usando la Ley del Coseno despejada para el coseno del ángulo:
Para el ángulo A: \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}
Sustituyendo: \cos A = \frac{^2 + ^2 - ^2}{2 \cdot 4 \text{ cm} \cdot 6 \text{ cm}} = \frac{16 + 36 - 25}{48} = \frac{27}{48} = 0,5625
Por lo tanto: A = 55° 46' 16,09"
🧠 Truco mental: Para verificar tus resultados, recuerda que la suma de los tres ángulos debe ser exactamente 180°.
Para el ángulo B: \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{25 + 36 - 16}{2 \cdot 5 \cdot 6} = \frac{45}{60} = 0,75
Obtenemos: B = 41° 24' 34,64"
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Para el ángulo C, aplicamos la misma fórmula: \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{25 + 16 - 36}{2 \cdot 5 \cdot 4} = \frac{5}{40} = 0,125
Esto nos da: C = 82° 49' 9,29"
Verificamos: 55° 46' 16,09" + 41° 24' 34,64" + 82° 49' 9,29" = 180° 0' 0"
¡Los ángulos suman exactamente 180°, lo que confirma que nuestros cálculos son correctos!
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
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Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
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