Matemáticas
19 de dic de 2025
161
6 páginas
María José Zapata Muñoz @araosapatauoz_mnpxa3
¿Te sientes perdido con las integrales de funciones trigonométricas? No te preocupes, estas técnicas son súper útiles y... Mostrar más
Cuando tienes una potencia impar de seno o coseno, la estrategia es separar una función y hacer sustitución. Es más fácil de lo que parece.
Para resolver ∫cos²x sen x dx, separás un seno (que es impar) y hacés la sustitución u = cos x. Como du = -sen x dx, la integral se convierte en algo mucho más simple -∫u² du.
El truco está en identificar cuál función tiene potencia impar y usarla para hacer la sustitución. Siempre vas a terminar con una integral de potencias básica que ya sabés resolver.
Tip clave Si tanto seno como coseno tienen potencia impar, podés elegir cualquiera para hacer la sustitución.
Cuando las potencias son más altas, como en ∫sen⁵x cos³x dx, la técnica sigue siendo la misma pero necesitás usar la identidad pitagórica sen²x + cos²x = 1.
Separás un sen x (dejando sen⁴x) y hacés u = cos x. Después convertís sen⁴x = (sen²x)² = ² = ². Esto te da un polinomio que podés integrar fácilmente.
El proceso parece largo, pero cada paso es mecánico. Expandís ², multiplicás por las otras potencias de u, y terminás con varias integrales de potencias simples.
Recordá Siempre verificá tu respuesta derivando el resultado final.
Para potencias pares de seno y coseno, necesitás las identidades de ángulo doble. Son tu mejor herramienta aquí
Por ejemplo, ∫cos²x dx se convierte en ∫/2 dx. Esta integral es súper directa x/2 + sen 2x/4 + C.
Para potencias más altas como sen⁴x, aplicás la identidad dos veces. Primero convertís sen⁴x = (sen²x)², después usás la fórmula para sen²x, y si aparece cos²(2x), aplicás la identidad otra vez.
Estrategia Con potencias pares, siempre empezá con las identidades de ángulo doble.
Cuando tenés productos como sen²x cos²x, combinás las identidades de ángulo doble de ambas funciones. El resultado es una diferencia de cuadrados que se simplifica bastante.
Para sen²x cos²x, usás ambas identidades y obtenés . Esto se convierte en /4, que es mucho más manejable.
El resultado final es x/8 - sen 4x/32 + C. Puede parecer complicado, pero seguir los pasos metódicamente te lleva al resultado correcto.
Importante Estos ejercicios requieren paciencia, pero la técnica es siempre la misma.
Para potencias de secante y tangente, la estrategia cambia un poco. Si tenés una potencia par de secante, como ∫sec²x tan^(5/2)x dx, usás la sustitución u = tan x.
Recordá que du = sec²x dx, así que la sec²x "desaparece" con la diferencial. La integral se vuelve ∫u^(5/2) du, que es una potencia básica.
Cuando tenés potencias más complejas, como ∫sec⁴x dx, escribís sec⁴x = sec²x · sec²x = sec²x, y después aplicás la misma sustitución.
Fórmula clave sec²x = 1 + tan²x te va a servir muchísimo en estos ejercicios.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
¡Sí lo es! Tienes acceso totalmente gratuito a todo el contenido de la app, puedes chatear con otros alumnos y recibir ayuda inmeditamente. Puedes ganar dinero utilizando la aplicación, que te permitirá acceder a determinadas funciones.
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Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuaria de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuaria de Android
Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
usuaria de Android
Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
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Roberto
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Cuando tienes una potencia impar de seno o coseno, la estrategia es separar una función y hacer sustitución. Es más fácil de lo que parece.
Para resolver ∫cos²x sen x dx, separás un seno (que es impar) y hacés la sustitución u = cos x. Como du = -sen x dx, la integral se convierte en algo mucho más simple: -∫u² du.
El truco está en identificar cuál función tiene potencia impar y usarla para hacer la sustitución. Siempre vas a terminar con una integral de potencias básica que ya sabés resolver.
Tip clave: Si tanto seno como coseno tienen potencia impar, podés elegir cualquiera para hacer la sustitución.
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Para potencias más altas como sen⁴x, aplicás la identidad dos veces. Primero convertís sen⁴x = (sen²x)², después usás la fórmula para sen²x, y si aparece cos²(2x), aplicás la identidad otra vez.
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El resultado final es x/8 - sen 4x/32 + C. Puede parecer complicado, pero seguir los pasos metódicamente te lleva al resultado correcto.
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Recordá que du = sec²x dx, así que la sec²x "desaparece" con la diferencial. La integral se vuelve ∫u^(5/2) du, que es una potencia básica.
Cuando tenés potencias más complejas, como ∫sec⁴x dx, escribís sec⁴x = sec²x · sec²x = sec²x, y después aplicás la misma sustitución.
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
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Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
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