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14 de dic de 2025

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Ecuación General de la Circunferencia para Matemáticas de Grado 11

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María José Zapata Muñoz @araosapatauoz_mnpxa3

La circunferencia es una figura geométrica fundamental que podemos representar mediante ecuaciones. Aprenderemos a convertir entre sus formas... Mostrar más

Febrero 8/2021 Scribe ecuación general de la circunferencia: se halla a partir de la ecuación canónica: $(x-h)^2$ + $(Y-K)^2$ = $γ2$ ↓ [x²-2

Ecuación General de la Circunferencia

La ecuación de una circunferencia puede expresarse de dos formas principales. La ecuación canónica (x−h)2+(y−k)2=r2(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 nos muestra directamente el centro (h,k)(h,k) y el radio rr.

Para transformarla a la ecuación general, desarrollamos los cuadrados x2−2xh+h2+y2−2yk+k2−r2=0x^2-2xh+h^2 + y^2-2yk+k^2-r^2 = 0

Esto nos da la forma x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 donde

  • D=−2hD = -2h
  • E=−2kE = -2k
  • F=h2+k2−r2F = h^2+k^2-r^2

💡 Consejo rápido Si necesitas encontrar el centro y radio de una circunferencia a partir de su ecuación general, agrupa los términos por variable y completa los cuadrados.

Por ejemplo, para 3x2+3y2−60x−18y+252=03x^2 + 3y^2-60x-18y + 252=0

  1. Dividimos por 3 x2+y2−20x−6y+84=0x^2 + y^2-20x-6y +84=0
  2. Agrupamos y completamos cuadrados (x−10)2+(y−3)2=25(x-10)^2 + (y-3)^2 = 25
  3. Por tanto, el centro es C=(10,3) y el radio r=5
Febrero 8/2021 Scribe ecuación general de la circunferencia: se halla a partir de la ecuación canónica: $(x-h)^2$ + $(Y-K)^2$ = $γ2$ ↓ [x²-2

Completando Cuadrados y Ejercicios Prácticos

Para hallar la ecuación general partiendo de la canónica, desarrollamos los binomios al cuadrado. Por ejemplo, con (x−4)2+(y+5)2=8(x-4)^2 + (y+5)^2 = 8

  1. Desarrollamos x2−8x+16+y2+10y+25=8x^2-8x+16+y^2+10y+25=8
  2. Ordenamos x2−8x+y2+10y+33=0x^2-8x+y^2+10y+33=0

También podemos hacer el proceso inverso. Para 2x2+2y2−12x−16y+32=02x^2+2y^2-12x-16y+32=0

  1. Dividimos por 2 x2+y2−6x−8y+16=0x^2+y^2-6x-8y+16=0
  2. Agrupamos términos por variable y completamos cuadrados (x−3)2+(y−4)2=9(x-3)^2+(y-4)^2=9
  3. Obtenemos C=(3,4) y r=3

🔍 Observación clave Al completar cuadrados, recuerda que necesitas añadir (b/2)2(b/2)^2 para cada grupo de términos y luego compensar sumando la misma cantidad al otro lado de la ecuación.

La práctica te dará agilidad. Por ejemplo, para x2+y2−2x+4y−11=0x^2+y^2-2x+4y-11=0

  1. Completando cuadrados (x−1)2+(y+2)2=16(x-1)^2+(y+2)^2=16
  2. Entonces C=(1,-2) y r=4
Febrero 8/2021 Scribe ecuación general de la circunferencia: se halla a partir de la ecuación canónica: $(x-h)^2$ + $(Y-K)^2$ = $γ2$ ↓ [x²-2

Casos Especiales y Aplicaciones

Cuando trabajamos con circunferencias en posiciones específicas, es importante seguir el mismo método sistemático. Para una circunferencia con centro C=(-2,1) y radio r=√10

  1. Su ecuación canónica es (x+2)2+(y−1)2=10(x+2)^2 + (y-1)^2 = 10
  2. Desarrollando x2+4x+4+y2−2y+1=10x^2 + 4x + 4 + y^2 - 2y + 1 = 10
  3. Reorganizando x2+4x+y2−2y−5=0x^2 + 4x + y^2 - 2y - 5 = 0 (forma general)

Las circunferencias también pueden presentarse con coeficientes fraccionarios. Para 2x2+2y2−x=02x^2 + 2y^2 - x = 0

  1. Dividimos por 2 x2+y2−x2=0x^2 + y^2 - \frac{x}{2} = 0
  2. Completando el cuadrado para x (x−14)2+y2=116(x - \frac{1}{4})^2 + y^2 = \frac{1}{16}
  3. Obtenemos C=$\frac{1}{4}$,0 y r=14\frac{1}{4}

💫 Recuerda Cuando manejes coeficientes diferentes de 1 para x2x^2 o y2y^2, primero debes dividir toda la ecuación para normalizar estos términos.

Estos métodos te permitirán analizar cualquier circunferencia, independientemente de cómo se presente su ecuación.

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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

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Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!

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Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.

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Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.

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Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.

Paul T

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Matemáticas

 

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•

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•

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•

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Ecuación General de la Circunferencia para Matemáticas de Grado 11

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María José Zapata Muñoz

@araosapatauoz_mnpxa3

La circunferencia es una figura geométrica fundamental que podemos representar mediante ecuaciones. Aprenderemos a convertir entre sus formas canónica y general, así como a identificar el centro y radio de cualquier circunferencia a partir de su ecuación.

Febrero 8/2021 Scribe ecuación general de la circunferencia: se halla a partir de la ecuación canónica: $(x-h)^2$ + $(Y-K)^2$ = $γ2$ ↓ [x²-2

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Ecuación General de la Circunferencia

La ecuación de una circunferencia puede expresarse de dos formas principales. La ecuación canónica (x−h)2+(y−k)2=r2(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 nos muestra directamente el centro (h,k)(h,k) y el radio rr.

Para transformarla a la ecuación general, desarrollamos los cuadrados: x2−2xh+h2+y2−2yk+k2−r2=0x^2-2xh+h^2 + y^2-2yk+k^2-r^2 = 0

Esto nos da la forma x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 donde:

  • D=−2hD = -2h
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💡 Consejo rápido: Si necesitas encontrar el centro y radio de una circunferencia a partir de su ecuación general, agrupa los términos por variable y completa los cuadrados.

Por ejemplo, para 3x2+3y2−60x−18y+252=03x^2 + 3y^2-60x-18y + 252=0:

  1. Dividimos por 3: x2+y2−20x−6y+84=0x^2 + y^2-20x-6y +84=0
  2. Agrupamos y completamos cuadrados: (x−10)2+(y−3)2=25(x-10)^2 + (y-3)^2 = 25
  3. Por tanto, el centro es C=(10,3) y el radio r=5
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Completando Cuadrados y Ejercicios Prácticos

Para hallar la ecuación general partiendo de la canónica, desarrollamos los binomios al cuadrado. Por ejemplo, con (x−4)2+(y+5)2=8(x-4)^2 + (y+5)^2 = 8:

  1. Desarrollamos: x2−8x+16+y2+10y+25=8x^2-8x+16+y^2+10y+25=8
  2. Ordenamos: x2−8x+y2+10y+33=0x^2-8x+y^2+10y+33=0

También podemos hacer el proceso inverso. Para 2x2+2y2−12x−16y+32=02x^2+2y^2-12x-16y+32=0:

  1. Dividimos por 2: x2+y2−6x−8y+16=0x^2+y^2-6x-8y+16=0
  2. Agrupamos términos por variable y completamos cuadrados: (x−3)2+(y−4)2=9(x-3)^2+(y-4)^2=9
  3. Obtenemos C=(3,4) y r=3

🔍 Observación clave: Al completar cuadrados, recuerda que necesitas añadir (b/2)2(b/2)^2 para cada grupo de términos y luego compensar sumando la misma cantidad al otro lado de la ecuación.

La práctica te dará agilidad. Por ejemplo, para x2+y2−2x+4y−11=0x^2+y^2-2x+4y-11=0:

  1. Completando cuadrados: (x−1)2+(y+2)2=16(x-1)^2+(y+2)^2=16
  2. Entonces C=(1,-2) y r=4
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Casos Especiales y Aplicaciones

Cuando trabajamos con circunferencias en posiciones específicas, es importante seguir el mismo método sistemático. Para una circunferencia con centro C=(-2,1) y radio r=√10:

  1. Su ecuación canónica es: (x+2)2+(y−1)2=10(x+2)^2 + (y-1)^2 = 10
  2. Desarrollando: x2+4x+4+y2−2y+1=10x^2 + 4x + 4 + y^2 - 2y + 1 = 10
  3. Reorganizando: x2+4x+y2−2y−5=0x^2 + 4x + y^2 - 2y - 5 = 0 (forma general)

Las circunferencias también pueden presentarse con coeficientes fraccionarios. Para 2x2+2y2−x=02x^2 + 2y^2 - x = 0:

  1. Dividimos por 2: x2+y2−x2=0x^2 + y^2 - \frac{x}{2} = 0
  2. Completando el cuadrado para x: (x−14)2+y2=116(x - \frac{1}{4})^2 + y^2 = \frac{1}{16}
  3. Obtenemos C=$\frac{1}{4}$,0 y r=14\frac{1}{4}

💫 Recuerda: Cuando manejes coeficientes diferentes de 1 para x2x^2 o y2y^2, primero debes dividir toda la ecuación para normalizar estos términos.

Estos métodos te permitirán analizar cualquier circunferencia, independientemente de cómo se presente su ecuación.

Pensamos que nunca lo preguntarías...

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La circunferencia

Ejemplos de como utilizar la ecuación general de la circunferencia

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11

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Ecuación cuadrática

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2°M

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Elena

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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.

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Roberto

usuario de Android

Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!

Julia S

usuaria de Android

Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.

Marco B

usuario de iOS

Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.

Sarah L

usuaria de Android

Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.

Paul T

usuario de iOS