¿Qué es una circunferencia?

Imaginate todos los puntos que están exactamente a la misma distancia de un punto fijo - eso es una circunferencia. Es como si dibujaras con un compás: el centro se mantiene fijo y todos los puntos del círculo están a la misma distancia de él.

Esa distancia constante desde cualquier punto de la circunferencia hasta el centro se llama radio. Es súper importante porque define qué tan grande o pequeña es tu circunferencia.

La ecuación canónica de la circunferencia es tu herramienta principal: $x-h$² + $y-k$² = r². Aquí (h,k) es el centro y r es el radio. Esta fórmula viene de la distancia entre dos puntos, así que tiene mucho sentido matemático.

Tip clave: Cuando el centro está en el origen (0,0), la ecuación se simplifica a x² + y² = r²

Aplicando la ecuación canónica

Con la fórmula básica puedes resolver cualquier problema de circunferencias. Mirá estos ejemplos prácticos que seguro te van a servir para el examen.

Si tenés el centro C=(1,2) y radio r=3, simplemente reemplazás: $x-1$² + $y-2$² = 9. Fijate que el radio siempre va al cuadrado en la ecuación final.

Para verificar si un punto pertenece a una circunferencia, sustituís las coordenadas en la ecuación. Si se cumple la igualdad, el punto está sobre la circunferencia; si no, está afuera.

También podés trabajar al revés: dada una ecuación como $x-3/2$² + $y+1/2$² = 16, identificás que el centro es $3/2, -1/2$ y el radio es √16 = 4.

Recuerda: Siempre prestá atención a los signos cuando identifiques el centro - pueden ser tramposos.

Resolviendo problemas paso a paso

Los problemas de circunferencias son como rompecabezas - una vez que entendés el patrón, todo se vuelve más fácil. Practiquemos con algunos ejercicios típicos de examen.

Para verificar si P=$1,-3$ pertenece a la circunferencia $x+2$² + $y-1$² = 25, sustituís: $1+2$² + $-3-1$² = 9 + 16 = 25. Como se cumple la igualdad, el punto sí pertenece.

Cuando te dan una ecuación como $x+3$² + $y+2$² = 18, identificás el centro como $-3,-2$ y calculás el radio: r = √18 = 3√2.

Para escribir ecuaciones desde cero, usás la fórmula directamente. Con centro $-4,-1$ y radio 2: $x+4$² + $y+1$² = 4. Si el centro es el origen, queda aún más simple: x² + y² = 25.

Pro tip: Siempre verificá tus respuestas sustituyendo valores conocidos en la ecuación final.