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María José Zapata Muñoz
8/12/2025
Matemáticas
Matemáticas grado 10 - Factorización
456
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8 de dic de 2025
•
María José Zapata Muñoz
@araosapatauoz_mnpxa3
La factorización de polinomios es una herramienta matemática que te... Mostrar más
El trinomio cuadrado perfecto es una expresión algebraica de la forma a² + 2ab + b², que puede factorizarse como ². Para identificarlo, el primer y tercer término deben ser cuadrados perfectos, y el término medio debe ser el doble del producto de las raíces cuadradas del primero y tercero.
Por ejemplo, en x² + 6x + 9:
Por tanto, x² + 6x + 9 = ²
Otros ejemplos incluyen:
💡 Consejo: Para verificar un trinomio cuadrado perfecto rápidamente, comprueba si el término medio es exactamente 2 veces el producto de las raíces cuadradas del primero y el último término.
Esta factorización se aplica a trinomios donde el coeficiente del término cuadrático es 1. Para factorizar x² + bx + c, debemos encontrar dos números cuya suma sea b y cuyo producto sea c.
Por ejemplo, para x² + 7x + 12:
Para trinomios de la forma ax² + bx + c (donde a ≠ 1), primero debemos factorizar a del primer término:
Por ejemplo, para 2x² + 3x - 2:
🔍 Atención: En trinomios con a ≠ 1, como 5x² + 13x - 6, a veces es útil multiplicar por a todos los términos para encontrar los factores y luego simplificar el resultado final.
El cubo perfecto tiene la forma a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³, que factoriza como (a ± b)³. Para identificarlo, verifica los coeficientes y la estructura de los términos.
Por ejemplo:
La suma de cubos se factoriza como :
La diferencia de cubos se factoriza como :
Para aplicar estas fórmulas, identifica primero si tu expresión es un cubo o una suma/diferencia de cubos. Luego, encuentra las raíces cúbicas de los términos para determinar los valores de a y b.
🌟 Recuerda: En un cubo perfecto, el coeficiente del segundo término siempre es 3 veces el producto de a² y b, mientras que el tercero es 3 veces el producto de a y b².
La factorización completa implica descomponer un polinomio en el producto de factores irreducibles. Para lograr esto, debes aplicar diferentes métodos de factorización secuencialmente.
Primero, siempre busca el factor común:
Luego, aplica otras técnicas según corresponda:
Para polinomios complejos como x⁴ + x² + 1, puedes intentar reescribirlos: x⁴ + x² + 1 = ² - x² =
🧩 Estrategia: Cuando enfrentes un polinomio complejo, intenta agrupar términos o realizar sustituciones para simplificar el proceso de factorización.
Al enfrentarte a polinomios de grado superior, es útil buscar estructuras específicas que faciliten la factorización.
Para expresiones con factor común:
En polinomios con términos que se pueden agrupar:
Para polinomios de grado elevado como x⁹ - 64x³ - x⁶ + 64, la agrupación estratégica ayuda:
Esta última expresión puede seguir factorizándose:
Es importante recordar que algunos polinomios, como a² + m² - 4b² - 2am, no pueden factorizarse utilizando números reales.
🔎 Observación clave: Al factorizar polinomios de grado superior, identifica primero patrones como diferencias de cuadrados o cubos (a³ ± b³) que puedan simplificar tu trabajo.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
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¡Sí lo es! Tienes acceso totalmente gratuito a todo el contenido de la app, puedes chatear con otros alumnos y recibir ayuda inmeditamente. Puedes ganar dinero utilizando la aplicación, que te permitirá acceder a determinadas funciones.
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Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuaria de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuaria de Android
Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
usuaria de Android
Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
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Pablo
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
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Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
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Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
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La factorización de polinomios es una herramienta matemática que te permite expresar expresiones algebraicas como productos de factores más simples. Dominar estas técnicas te ayudará a resolver ecuaciones, simplificar fracciones algebraicas y entender mejor el comportamiento de funciones.
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El trinomio cuadrado perfecto es una expresión algebraica de la forma a² + 2ab + b², que puede factorizarse como ². Para identificarlo, el primer y tercer término deben ser cuadrados perfectos, y el término medio debe ser el doble del producto de las raíces cuadradas del primero y tercero.
Por ejemplo, en x² + 6x + 9:
Por tanto, x² + 6x + 9 = ²
Otros ejemplos incluyen:
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Esta factorización se aplica a trinomios donde el coeficiente del término cuadrático es 1. Para factorizar x² + bx + c, debemos encontrar dos números cuya suma sea b y cuyo producto sea c.
Por ejemplo, para x² + 7x + 12:
Para trinomios de la forma ax² + bx + c (donde a ≠ 1), primero debemos factorizar a del primer término:
Por ejemplo, para 2x² + 3x - 2:
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Por ejemplo:
La suma de cubos se factoriza como :
La diferencia de cubos se factoriza como :
Para aplicar estas fórmulas, identifica primero si tu expresión es un cubo o una suma/diferencia de cubos. Luego, encuentra las raíces cúbicas de los términos para determinar los valores de a y b.
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Luego, aplica otras técnicas según corresponda:
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Para polinomios de grado elevado como x⁹ - 64x³ - x⁶ + 64, la agrupación estratégica ayuda:
Esta última expresión puede seguir factorizándose:
Es importante recordar que algunos polinomios, como a² + m² - 4b² - 2am, no pueden factorizarse utilizando números reales.
🔎 Observación clave: Al factorizar polinomios de grado superior, identifica primero patrones como diferencias de cuadrados o cubos (a³ ± b³) que puedan simplificar tu trabajo.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
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Pablo
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Elena
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
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Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
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Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
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Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
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Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
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Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
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Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
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Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
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