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Matemáticas

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Matemáticas Simplificadas: Dominio y Rango

S

Saidy Nuñez

@saidynuez

¿Alguna vez te has preguntado qué valores puede tomar una... Mostrar más

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251 MATEMÁTICAS y= CALCULO DOMINIO Y RANGO GRAFICAMENTE x² + y² = 4 -1 11 GUÍA: DOMINIO Y RANGO y= 4x x²+1 x4 -2x²+1 x²+1 y=√x²-4 -1 -2 -4 y

Conceptos Básicos de Dominio y Rango

El dominio de una función son todos los valores de x que puedes usar sin que la función "se rompa". El rango son todos los valores de y que la función puede producir.

Para funciones como x2+y2=4x^2 + y^2 = 4 (un círculo), necesitas pensar gráficamente. El dominio va desde -2 hasta 2, y el rango también va de -2 a 2.

Con funciones racionales como y=4xx2+1y = \frac{4x}{x^2+1}, el denominador nunca puede ser cero. En este caso, x2+1x^2+1 nunca es cero, así que el dominio son todos los números reales.

Tip clave: Siempre revisa primero si hay denominadores que puedan ser cero o raíces de números negativos.

251 MATEMÁTICAS y= CALCULO DOMINIO Y RANGO GRAFICAMENTE x² + y² = 4 -1 11 GUÍA: DOMINIO Y RANGO y= 4x x²+1 x4 -2x²+1 x²+1 y=√x²-4 -1 -2 -4 y

Funciones con Restricciones Especiales

Las funciones con valor absoluto como y=∣1−x2∣−2y = |1 - x^2| - 2 pueden parecer complicadas, pero son más fáciles de lo que piensas. El dominio son todos los reales, pero el rango cambia por el valor absoluto.

Para funciones racionales como y=2x2−1x2−1y = \frac{2x^2 - 1}{x^2 - 1}, encuentra dónde el denominador es cero: x2−1=0x^2 - 1 = 0, entonces x=±1x = ±1. Estos valores están excluidos del dominio.

Las ecuaciones implícitas como y2x−x−2y2=0y^2 x - x - 2y^2 = 0 requieren despejar y primero. Factoriza: x(y2−1)=2y2x(y^2 - 1) = 2y^2, entonces x=2y2y2−1x = \frac{2y^2}{y^2 - 1}.

Recuerda: En funciones racionales, el denominador nunca puede ser cero.

251 MATEMÁTICAS y= CALCULO DOMINIO Y RANGO GRAFICAMENTE x² + y² = 4 -1 11 GUÍA: DOMINIO Y RANGO y= 4x x²+1 x4 -2x²+1 x²+1 y=√x²-4 -1 -2 -4 y

Funciones Racionales Complejas

Cuando trabajas con funciones como y=x−1x2+4xy = \frac{x-1}{x^2+4x}, factoriza el denominador: x(x+4)=0x(x+4) = 0. Esto significa que x=0x = 0 y x=−4x = -4 están excluidos del dominio.

Para ecuaciones como yx2−x2−1=0yx^2 - x^2 - 1 = 0, factoriza: x2(y−1)=1x^2(y-1) = 1, entonces x2=1y−1x^2 = \frac{1}{y-1}. Como x2≥0x^2 ≥ 0, necesitas 1y−1≥0\frac{1}{y-1} ≥ 0, lo que significa y>1y > 1.

Las funciones como y=x+1x−1y = \frac{x+1}{x-1} tienen una asíntota vertical en x=1x = 1 y una asíntota horizontal que determina el rango.

Estrategia ganadora: Factoriza siempre que sea posible para identificar las restricciones más fácilmente.

251 MATEMÁTICAS y= CALCULO DOMINIO Y RANGO GRAFICAMENTE x² + y² = 4 -1 11 GUÍA: DOMINIO Y RANGO y= 4x x²+1 x4 -2x²+1 x²+1 y=√x²-4 -1 -2 -4 y

Funciones con Raíces

Las funciones con raíces cuadradas como y=x+4y = \sqrt{x} + 4 requieren que lo que está bajo la raíz sea no negativo. Para x\sqrt{x}, necesitas x≥0x ≥ 0.

En y=x+1x−1y = \frac{\sqrt{x+1}}{x-1}, tienes dos restricciones: x+1≥0x + 1 ≥ 0 (para la raíz) y x≠1x ≠ 1 (para el denominador). El dominio es x≥−1x ≥ -1 y x≠1x ≠ 1.

Cuando aparece el símbolo ±± como en y=±x+1x−1y = ±\frac{\sqrt{x+1}}{x-1}, significa que para cada x válido, puedes obtener dos valores de y (uno positivo y uno negativo).

Punto importante: Las raíces cuadradas de números reales solo existen para valores no negativos.

251 MATEMÁTICAS y= CALCULO DOMINIO Y RANGO GRAFICAMENTE x² + y² = 4 -1 11 GUÍA: DOMINIO Y RANGO y= 4x x²+1 x4 -2x²+1 x²+1 y=√x²-4 -1 -2 -4 y

Funciones Avanzadas y Casos Especiales

Las funciones con denominadores elevados al cuadrado como y=1(x−2)2y = \frac{1}{(x-2)^2} nunca pueden ser negativas. El dominio excluye x=2x = 2, pero el rango son solo números positivos.

Para y=x2x2+3y = \frac{x^2}{x^2+3}, el denominador nunca es cero (siempre positivo), así que el dominio son todos los reales. El rango va de 0 a 1, porque x2<x2+3x^2 < x^2 + 3.

Las funciones cúbicas en el numerador como y=x3x+1y = \frac{x^3}{x+1} pueden tomar valores muy grandes (positivos o negativos), pero siguen teniendo restricciones en el dominio donde el denominador es cero.

Consejo final: Practica identificando patrones en estos tipos de funciones para resolver ejercicios más rápido en los exámenes.



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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

Pablo

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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.

Elena

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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

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Sara

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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

Roberto

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Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!

Julia S

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Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.

Marco B

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Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.

Sarah L

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Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.

Paul T

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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

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Matemáticas

 

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41

•

24 de dic de 2025

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Matemáticas Simplificadas: Dominio y Rango

S

Saidy Nuñez

@saidynuez

¿Alguna vez te has preguntado qué valores puede tomar una función y dónde está definida? El dominio y rangoson conceptos clave en cálculo que te ayudan a entender completamente el comportamiento de las funciones. Dominar estos conceptos te dará... Mostrar más

251 MATEMÁTICAS y= CALCULO DOMINIO Y RANGO GRAFICAMENTE x² + y² = 4 -1 11 GUÍA: DOMINIO Y RANGO y= 4x x²+1 x4 -2x²+1 x²+1 y=√x²-4 -1 -2 -4 y

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Conceptos Básicos de Dominio y Rango

El dominio de una función son todos los valores de x que puedes usar sin que la función "se rompa". El rango son todos los valores de y que la función puede producir.

Para funciones como x2+y2=4x^2 + y^2 = 4 (un círculo), necesitas pensar gráficamente. El dominio va desde -2 hasta 2, y el rango también va de -2 a 2.

Con funciones racionales como y=4xx2+1y = \frac{4x}{x^2+1}, el denominador nunca puede ser cero. En este caso, x2+1x^2+1 nunca es cero, así que el dominio son todos los números reales.

Tip clave: Siempre revisa primero si hay denominadores que puedan ser cero o raíces de números negativos.

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Para funciones racionales como y=2x2−1x2−1y = \frac{2x^2 - 1}{x^2 - 1}, encuentra dónde el denominador es cero: x2−1=0x^2 - 1 = 0, entonces x=±1x = ±1. Estos valores están excluidos del dominio.

Las ecuaciones implícitas como y2x−x−2y2=0y^2 x - x - 2y^2 = 0 requieren despejar y primero. Factoriza: x(y2−1)=2y2x(y^2 - 1) = 2y^2, entonces x=2y2y2−1x = \frac{2y^2}{y^2 - 1}.

Recuerda: En funciones racionales, el denominador nunca puede ser cero.

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Para ecuaciones como yx2−x2−1=0yx^2 - x^2 - 1 = 0, factoriza: x2(y−1)=1x^2(y-1) = 1, entonces x2=1y−1x^2 = \frac{1}{y-1}. Como x2≥0x^2 ≥ 0, necesitas 1y−1≥0\frac{1}{y-1} ≥ 0, lo que significa y>1y > 1.

Las funciones como y=x+1x−1y = \frac{x+1}{x-1} tienen una asíntota vertical en x=1x = 1 y una asíntota horizontal que determina el rango.

Estrategia ganadora: Factoriza siempre que sea posible para identificar las restricciones más fácilmente.

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En y=x+1x−1y = \frac{\sqrt{x+1}}{x-1}, tienes dos restricciones: x+1≥0x + 1 ≥ 0 (para la raíz) y x≠1x ≠ 1 (para el denominador). El dominio es x≥−1x ≥ -1 y x≠1x ≠ 1.

Cuando aparece el símbolo ±± como en y=±x+1x−1y = ±\frac{\sqrt{x+1}}{x-1}, significa que para cada x válido, puedes obtener dos valores de y (uno positivo y uno negativo).

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Funciones Avanzadas y Casos Especiales

Las funciones con denominadores elevados al cuadrado como y=1(x−2)2y = \frac{1}{(x-2)^2} nunca pueden ser negativas. El dominio excluye x=2x = 2, pero el rango son solo números positivos.

Para y=x2x2+3y = \frac{x^2}{x^2+3}, el denominador nunca es cero (siempre positivo), así que el dominio son todos los reales. El rango va de 0 a 1, porque x2<x2+3x^2 < x^2 + 3.

Las funciones cúbicas en el numerador como y=x3x+1y = \frac{x^3}{x+1} pueden tomar valores muy grandes (positivos o negativos), pero siguen teniendo restricciones en el dominio donde el denominador es cero.

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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

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Roberto

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Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!

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Marco B

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Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.

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Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.

Paul T

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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.

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Sara

usuaria de Android

En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

Roberto

usuario de Android

Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!

Julia S

usuaria de Android

Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.

Marco B

usuario de iOS

Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.

Sarah L

usuaria de Android

Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.

Paul T

usuario de iOS