Introducción a los Números Reales

Los números reales están conformados por varios subconjuntos que se relacionan entre sí. Imagínate como cajas dentro de cajas, donde cada una tiene características especiales.

Los números naturales son los que usás para contar: 1, 2, 3, 4... Son los más básicos y los primeros que aprendiste cuando eras pequeño. Con estos números podés hacer divisiones como la del ejemplo: 325873 ÷ 87.

💡 Dato curioso: Cuando trabajás con un cubo que tiene 6 caras y cada cara tiene 9 cuadros, tenés 6 × 9 = 54 cuadros en total. Cada cara representa 9/54 del total, ¡que es lo mismo que 1/6!

Números Racionales e Irracionales

Los números racionales son aquellos que podés escribir como una fracción p/q, donde p y q son números enteros y q ≠ 0. Por ejemplo, -957 es racional porque se puede escribir como -957/1.

El conjunto de números racionales se simboliza con ℚ y se define así: ℚ = {p/q / p ∈ ℤ, q ∈ ℤ, q ≠ 0}.

Los números irracionales son los rebeldes del sistema numérico. No se pueden escribir como fracción y tienen decimales infinitos que no se repiten. Se simbolizan con ℐ.

💡 Ejemplos famosos: √2 = 1,414..., π = 3,1415..., y e = 2,7182... son irracionales porque sus decimales nunca terminan ni se repiten en un patrón.

Clasificación y Unión de Conjuntos

Los números irracionales se dividen en dos tipos: algebraicos (que son solución de ecuaciones polinómicas) y trascendentes (que no lo son). El número áureo φ = (1+√5)/2 es algebraico, mientras que π es trascendente.

La unión de todos estos conjuntos forma los números reales. Es como juntar todas las piezas de un rompecabezas matemático.

El diagrama de conjuntos muestra cómo los naturales (N) están dentro de los enteros (Z), estos dentro de los racionales (Q), y junto con los irracionales (ℐ) forman los reales (ℝ).

💡 Recordá: Los números reales = racionales + irracionales. ¡Es así de simple!

Propiedades de las Relaciones de Orden

Los números reales (simbolizados con ℝ) tienen reglas específicas para compararlos y ordenarlos. Estas propiedades te ayudan a resolver desigualdades sin confundirte.

Propiedades clave:

• Transitiva: Si a < b y b < c, entonces a < c
• Suma: Si a < b, entonces a + c < b + c (podés sumar lo mismo a ambos lados)
• Multiplicación positiva: Si a < b y c > 0, entonces ac < bc
• Multiplicación negativa: Si a < b y c < 0, entonces ac > bc (¡cambia el signo!)

La propiedad más tramposa es cuando multiplicás por un número negativo: la desigualdad se voltea. Por ejemplo, si -5 < 7 y multiplicás por -2, obtenés 10 > -14.

💡 Truco: Cuando multipliques una desigualdad por un número negativo, ¡acordate de voltear el símbolo!

Decimales y Conversiones

Los números decimales se clasifican en tres tipos súper importantes. Los decimales exactos como 3,5 terminan en algún momento. Los decimales periódicos puros como 1,571428571428... repiten un patrón desde el principio.

Los decimales periódicos mixtos tienen algunas cifras que no se repiten al inicio, seguidas por un patrón que sí se repite, como 0,1234343434...

Para comparar fracciones, necesitás encontrar el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores. Después convertís todas las fracciones para que tengan el mismo denominador y comparás los numeradores.

💡 Método rápido: Para comparar fracciones rápidamente, convertí a decimales aproximados: 17/73 ≈ 0,23 y 3/7 ≈ 0,43.

Ordenamiento de Fracciones

Para ordenar fracciones de menor a mayor, el truco está en usar fracciones equivalentes con el mismo denominador. Primero calculás el mcm de todos los denominadores.

Por ejemplo, para ordenar 3/5, 3/4, 11/7:

• mcm(4,5,7) = 140
• 3/5 = 84/140, 3/4 = 105/140, 11/7 = 220/140
• Resultado: 84/140 < 105/140 < 220/140

También podés usar aproximaciones decimales para ordenar más rápido: 17/73 ≈ 0,23; 3/7 ≈ 0,43; 19/2 = 9,5.

💡 Consejo: Si las fracciones son complicadas, convertí a decimales primero para tener una idea rápida del orden.

Operaciones con Fracciones: Suma y Resta

Para sumar y restar fracciones, necesitás el mismo denominador. Si no lo tenés, buscá el mcm de todos los denominadores y convertí cada fracción.

Proceso paso a paso:

1. Calculá el mcm de los denominadores
2. Convertí cada fracción para que tenga ese denominador
3. Sumá o restá los numeradores
4. Simplificá el resultado si es posible

Por ejemplo: 3/4 + 7/2 - 9/9. Con mcm = 28, obtenés: 21/28 + 98/28 - 84/28 = 35/28.

💡 Importante: Siempre simplificá tu resultado final. Una fracción como 35/28 se puede reducir a 5/4.

Tipos de Decimales y Conversiones

Los decimales se clasifican según su comportamiento. Los decimales exactos como 0,75 tienen un número limitado de cifras decimales y la división termina en cero.

Los decimales periódicos puros empiezan a repetirse inmediatamente después de la coma: 3,141414... El período es la parte que se repite (en este caso, 41).

Los decimales periódicos mixtos tienen cifras que no se repiten al principio, seguidas por cifras que sí se repiten: 5,062323... (el 06 no se repite, pero el 23 sí).

💡 Para convertir: Dividí el numerador entre el denominador. Si la división termina, es exacto. Si se repite, es periódico.

Multiplicación y División de Fracciones

Multiplicar fracciones es súper fácil: multiplicás numeradores entre sí y denominadores entre sí. La fórmula es: a/b × c/d = (a×c)/(b×d).

Ejemplo: 3/5 × 5/9 = 15/45 = 1/3 (¡siempre simplificá!).

Para dividir fracciones, multiplicás por el recíproco (volteás la segunda fracción): a/b ÷ c/d = a/b × d/c.

Ejemplo: 3/5 ÷ 1/2 = 3/5 × 2/1 = 6/5.

💡 Truco: "Dividir es multiplicar por el volteado". Es más fácil recordarlo así que memorizar fórmulas complicadas.

Potenciación y sus Propiedades

La potenciación es multiplicar un número por sí mismo varias veces. Por ejemplo: 2⁵ = 2×2×2×2×2 = 32.

Propiedades fundamentales:

• Producto de igual base: a^m × a^n = a^$m+n$
• Cociente de igual base: a^m ÷ a^n = a^$m-n$
• Potencia de potencia: $a^m$^n = a^(m×n)
• Potencia de producto: (a×b)^n = a^n × b^n

Casos especiales importantes:

• a⁰ = 1 (cualquier número elevado a 0 es 1, excepto 0⁰ que no está definido)
• a¹ = a (cualquier número elevado a 1 es él mismo)
• a^$-n$ = 1/a^n (exponente negativo significa "uno sobre la potencia positiva")

💡 Recordá: Los exponentes negativos no hacen que el resultado sea negativo, ¡hacen que sea una fracción!