Asignaturas
Matemáticas
11 de dic de 2025
162
9 páginas
Kiara Charleigh Galvis Jacome @kiaracharleighg
Los números reales son fundamentales en matemáticas y están presentes en casi todos los cálculos que realizamos. Este... Mostrar más
Los números reales (R) son el resultado de unir los números racionales con los irracionales. Esto incluye todos los números que puedes imaginar enteros, fracciones, decimales y números como π o √2.
En matemáticas, un conjunto es una agrupación de elementos que comparten características similares. Para identificarlos, usamos letras mayúsculas para nombrar el conjunto (como R para reales) y minúsculas para sus elementos.
💡 Para recordar Cuando escribes un conjunto, lo haces entre llaves. Por ejemplo, el conjunto de las vocales se escribe {a,e,i,o,u}.
La diferencia simétrica entre dos conjuntos (representada como A△B) incluye los elementos que están en A o en B, pero no en ambos a la vez. Es como decir "quiero elementos que estén en uno u otro conjunto, pero no repetidos".
Se calcula uniendo los elementos que están en A pero no en B, con los que están en B pero no en A. Matemáticamente A△B = ∪.
El complemento de un conjunto (representado como A' o Aᶜ) contiene todos los elementos del universo que no están en dicho conjunto. Si el universo U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} y A = {5,6,7,8}, entonces A' = {1,2,3,4,9,10}.
🔍 Dato interesante El complemento te ayuda a ver "lo que falta" para completar el universo.
Cuando trabajamos con operaciones combinadas, podemos encontrar expresiones como '. Esta notación se refiere al complemento de la diferencia entre A y B.
En otras palabras, son todos los elementos del universo que no están en el resultado de restar B de A. Si U = {1,2,3,4,5,6,7,9} y = {1,2,9}, entonces ' = {3,4,5,6,7}.
⚡ Consejo práctico Para resolver estas operaciones, siempre realiza primero lo que está dentro de los paréntesis y luego aplica la operación externa.
Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, donde el denominador debe ser diferente de cero. Esto incluye todas las fracciones y los decimales que terminan o se repiten.
Un número racional representa a todo un conjunto de fracciones equivalentes. Por ejemplo, 1/2, 2/4 y 3/6 representan el mismo número racional. De todas estas fracciones equivalentes, usamos la fracción irreducible (la más simplificada) como representante.
🧮 Ejemplo práctico Si tenemos C = 24³/8, podemos simplificarla hasta obtener 3/1, que es su forma irreducible.
Los números irracionales no pueden expresarse como una fracción a/b donde a y b son enteros y b≠0. Su característica principal es que tienen una expresión decimal infinita no periódica, es decir, los decimales no siguen un patrón repetitivo.
Ejemplos famosos de números irracionales son π (pi), e (número de Euler) y las raíces cuadradas de números que no son cuadrados perfectos, como √2, √3, etc.
🌟 Curiosidad Los antiguos griegos descubrieron los números irracionales y quedaron tan impresionados que inicialmente mantuvieron su existencia en secreto.
La recta real es donde representamos todos los números reales. Esta representación tiene dos propiedades fundamentales
Para ubicar números en la recta, usamos puntos de referencia. Por ejemplo, ubicamos enteros fácilmente, luego fracciones como 1/2 (que está a mitad de camino entre 0 y 1), e irracionales como √3 ≈ 1,73.
📏 Visualízalo así Imagina la recta real como una regla infinita donde cada número tiene su lugar exacto, sin huecos ni superposiciones.
Los números reales tienen tres propiedades esenciales
Densidad Entre dos números reales, sin importar qué tan cercanos estén, siempre existe una infinidad de otros números reales. Por ejemplo, entre 0,5 y 0,6 está 0,55, y entre 0,5 y 0,55 hay infinitos números más.
Completitud A cada punto de la recta le corresponde un número real y viceversa. No hay "huecos" en la recta real. Por ejemplo, el punto que representa al número 3,5 está exactamente a mitad de camino entre 3 y 4.
Orden Podemos establecer relaciones de orden entre los números reales, determinando si un número es mayor, menor o igual a otro.
🔑 Concepto clave La propiedad de densidad es lo que hace tan especial a los números reales ¡nunca puedes nombrar dos números reales consecutivos porque siempre hay infinitos números entre ellos!
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
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Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuaria de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuaria de Android
Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
usuaria de Android
Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
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Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
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Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
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Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
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Los números reales son fundamentales en matemáticas y están presentes en casi todos los cálculos que realizamos. Este tema te ayudará a entender qué son los números reales, cómo se clasifican y cómo trabajar con ellos en la recta numérica.
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Los números reales (R) son el resultado de unir los números racionales con los irracionales. Esto incluye todos los números que puedes imaginar: enteros, fracciones, decimales y números como π o √2.
En matemáticas, un conjunto es una agrupación de elementos que comparten características similares. Para identificarlos, usamos letras mayúsculas para nombrar el conjunto (como R para reales) y minúsculas para sus elementos.
💡 Para recordar: Cuando escribes un conjunto, lo haces entre llaves. Por ejemplo, el conjunto de las vocales se escribe {a,e,i,o,u}.
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Se calcula uniendo los elementos que están en A pero no en B, con los que están en B pero no en A. Matemáticamente: A△B = ∪.
El complemento de un conjunto (representado como A' o Aᶜ) contiene todos los elementos del universo que no están en dicho conjunto. Si el universo U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} y A = {5,6,7,8}, entonces A' = {1,2,3,4,9,10}.
🔍 Dato interesante: El complemento te ayuda a ver "lo que falta" para completar el universo.
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Cuando trabajamos con operaciones combinadas, podemos encontrar expresiones como '. Esta notación se refiere al complemento de la diferencia entre A y B.
En otras palabras, son todos los elementos del universo que no están en el resultado de restar B de A. Si U = {1,2,3,4,5,6,7,9} y = {1,2,9}, entonces ' = {3,4,5,6,7}.
⚡ Consejo práctico: Para resolver estas operaciones, siempre realiza primero lo que está dentro de los paréntesis y luego aplica la operación externa.
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Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, donde el denominador debe ser diferente de cero. Esto incluye todas las fracciones y los decimales que terminan o se repiten.
Un número racional representa a todo un conjunto de fracciones equivalentes. Por ejemplo, 1/2, 2/4 y 3/6 representan el mismo número racional. De todas estas fracciones equivalentes, usamos la fracción irreducible (la más simplificada) como representante.
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Ejemplos famosos de números irracionales son π (pi), e (número de Euler) y las raíces cuadradas de números que no son cuadrados perfectos, como √2, √3, etc.
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La recta real es donde representamos todos los números reales. Esta representación tiene dos propiedades fundamentales:
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📏 Visualízalo así: Imagina la recta real como una regla infinita donde cada número tiene su lugar exacto, sin huecos ni superposiciones.
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Los números reales tienen tres propiedades esenciales:
Densidad: Entre dos números reales, sin importar qué tan cercanos estén, siempre existe una infinidad de otros números reales. Por ejemplo, entre 0,5 y 0,6 está 0,55, y entre 0,5 y 0,55 hay infinitos números más.
Completitud: A cada punto de la recta le corresponde un número real y viceversa. No hay "huecos" en la recta real. Por ejemplo, el punto que representa al número 3,5 está exactamente a mitad de camino entre 3 y 4.
Orden: Podemos establecer relaciones de orden entre los números reales, determinando si un número es mayor, menor o igual a otro.
🔑 Concepto clave: La propiedad de densidad es lo que hace tan especial a los números reales: ¡nunca puedes nombrar dos números reales consecutivos porque siempre hay infinitos números entre ellos!
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Pablo
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Elena
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Ana
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
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Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
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Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
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Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
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David K
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