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Límites y Factorización Explicados Fácilmente

A

Andrea S

@ndreaanabria_8cyip8r

Los límites son una herramienta fundamental en cálculo que te... Mostrar más

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Juma y diferencia de class $x^3 + y^3 = (x + y) (x^2 - xy + y^2)$ $m^6 - 8 = (m^2 - 2) ((m^2)^2 + 2m^2 + 4)$ $(m^4 + 2m^2 + 4)$ $m^2$ $2

Suma y Diferencia de Cubos

¿Te has preguntado cómo resolver límites que parecen imposibles? La factorización de cubos es tu mejor aliada cuando encuentras expresiones como 00\frac{0}{0}.

Las fórmulas clave que necesitas memorizar son: x3+y3=(x+y)(x2−xy+y2)x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) y x3−y3=(x−y)(x2+xy+y2)x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2). Estas te permiten simplificar fracciones que inicialmente dan formas indeterminadas.

Por ejemplo, en lim⁡x→−4x3+64x+4\lim_{x \to -4} \frac{x^3 + 64}{x + 4}, reconoces que $64 = 4^3$ y aplicas la fórmula de suma de cubos. Al factorizar obtienes (x+4)(x2−4x+16)(x + 4)(x^2 - 4x + 16), cancelas el factor común y evalúas el límite directamente.

Tip clave: Siempre identifica si puedes expresar los números como cubos perfectos 8=23,27=33,64=43,etc.8 = 2³, 27 = 3³, 64 = 4³, etc.

Juma y diferencia de class $x^3 + y^3 = (x + y) (x^2 - xy + y^2)$ $m^6 - 8 = (m^2 - 2) ((m^2)^2 + 2m^2 + 4)$ $(m^4 + 2m^2 + 4)$ $m^2$ $2

Límites por Racionalización

La racionalización es tu estrategia perfecta cuando aparecen raíces cuadradas en numeradores o denominadores. Este método elimina las raíces multiplicando por el conjugado.

El truco está en multiplicar tanto el numerador como el denominador por el conjugado de la expresión que contiene la raíz. Por ejemplo, si tienes x−3\sqrt{x} - 3, su conjugado es x+3\sqrt{x} + 3.

En lim⁡x→9x−3x−9\lim_{x\to 9} \frac{\sqrt{x} - 3}{x - 9}, multiplicas por x+3x+3\frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 3}. Esto transforma el numerador en (x−9)(x - 9) usando la diferencia de cuadrados, permitiendo cancelar factores comunes.

Recuerda: El conjugado de a−b\sqrt{a} - b es a+b\sqrt{a} + b, y viceversa.

Juma y diferencia de class $x^3 + y^3 = (x + y) (x^2 - xy + y^2)$ $m^6 - 8 = (m^2 - 2) ((m^2)^2 + 2m^2 + 4)$ $(m^4 + 2m^2 + 4)$ $m^2$ $2

Límites hacia el Infinito - Conceptos Básicos

Entender el comportamiento de las funciones cuando xx se acerca al infinito es más sencillo de lo que parece. Solo necesitas aplicar las reglas básicas de signos y potencias.

Cuando x→+∞x \to +\infty, cualquier función lineal como $5xtambieˊntiendea también tiende a +\infty.Sinembargo,sitienes. Sin embargo, si tienes -3x,elresultadoseraˊ, el resultado será -\infty$ debido a la ley de signos en la multiplicación.

Las potencias impares conservan el signo: (−∞)3=−∞(-\infty)^3 = -\infty, mientras que 1x\frac{1}{x} siempre tiende a cero cuando x→∞x \to \infty. Esto sucede porque la fracción se vuelve cada vez más pequeña.

Concepto clave: 1∞=0\frac{1}{\infty} = 0 - mientras más grande el denominador, más cerca de cero está el resultado.

Juma y diferencia de class $x^3 + y^3 = (x + y) (x^2 - xy + y^2)$ $m^6 - 8 = (m^2 - 2) ((m^2)^2 + 2m^2 + 4)$ $(m^4 + 2m^2 + 4)$ $m^2$ $2

Límites hacia el Infinito - Polinomios

Con polinomios, tu vida se simplifica enormemente: el término de mayor grado siempre gana. Este concepto te ahorrará mucho tiempo en los exámenes.

En expresiones como $4x^2 + 3,cuando, cuando x \to \infty,elteˊrmino, el término 4x^2dominacompletamentesobrelaconstante3.Elresultadoseraˊ domina completamente sobre la constante 3. El resultado será +\infty$ porque el coeficiente es positivo.

Para casos como $2x^3 - 4x^2,aunquetengasunaresta,elteˊrmino, aunque tengas una resta, el término 2x^3tienemayorgradoycoeficientepositivo.Poresoellıˊmitees tiene mayor grado y coeficiente positivo. Por eso el límite es +\infty$, no una forma indeterminada.

Regla de oro: En polinomios, identifica el término de mayor grado y su signo - ese determina el comportamiento del límite.



Pensamos que nunca lo preguntarías...

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Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.

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Diapositivas donde se explica el tema propiedades de los exponentes abarcado explicacion de Producto de potencias,Cociente de potencias,Potencia de una potencia,Potencia de un producto,Potencia de un cociente junto con ejemplos y actividad de la temática

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Simplificación de fracciones

Explicación del método de simplificación de fracciones con ejemplos resueltos.

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- Teorema De Tales en un Triangulo - Teorema De Tales en Rectas - Otras aplicaciones de Teorema De Tales - Formulas - Graficas - Equivalentes - Ejemplos - Procedimiento

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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

Pablo

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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.

Elena

usuaria de Android

Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

Ana

usuaria de iOS

Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.

Thomas R

usuario de iOS

Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.

Lisa M

usuaria de Android

A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.

David K

usuario de iOS

¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!

Sara

usuaria de Android

En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

Roberto

usuario de Android

Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!

Julia S

usuaria de Android

Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.

Marco B

usuario de iOS

LOS QUIZ Y FLASHCARDS SON SÚPER ÚTILES Y ME ENCANTA Knowunity IA. ADEMÁS ES LITERALMENTE COMO CHATGPT PERO MÁS LISTO!! ME AYUDÓ TAMBIÉN CON MIS PROBLEMAS DE MÁSCARA!! Y CON MIS ASIGNATURAS DE VERDAD! OBVIO 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Sarah L

usuaria de Android

Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.

Paul T

usuario de iOS

La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

Pablo

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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.

Elena

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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

Ana

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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.

Thomas R

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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.

Lisa M

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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.

David K

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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!

Sara

usuaria de Android

En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

Roberto

usuario de Android

Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!

Julia S

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Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.

Marco B

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LOS QUIZ Y FLASHCARDS SON SÚPER ÚTILES Y ME ENCANTA Knowunity IA. ADEMÁS ES LITERALMENTE COMO CHATGPT PERO MÁS LISTO!! ME AYUDÓ TAMBIÉN CON MIS PROBLEMAS DE MÁSCARA!! Y CON MIS ASIGNATURAS DE VERDAD! OBVIO 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

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Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.

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Matemáticas

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69

•

22 de ene de 2026

•

4 páginas

Límites y Factorización Explicados Fácilmente

A

Andrea S

@ndreaanabria_8cyip8r

Los límites son una herramienta fundamental en cálculo que te ayuda a entender el comportamiento de las funciones. Aprenderás técnicas específicas para resolverlos cuando aparecen formas indeterminadas, usando factorización de cubos y racionalización.

Juma y diferencia de class $x^3 + y^3 = (x + y) (x^2 - xy + y^2)$ $m^6 - 8 = (m^2 - 2) ((m^2)^2 + 2m^2 + 4)$ $(m^4 + 2m^2 + 4)$ $m^2$ $2

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Suma y Diferencia de Cubos

¿Te has preguntado cómo resolver límites que parecen imposibles? La factorización de cubos es tu mejor aliada cuando encuentras expresiones como 00\frac{0}{0}.

Las fórmulas clave que necesitas memorizar son: x3+y3=(x+y)(x2−xy+y2)x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) y x3−y3=(x−y)(x2+xy+y2)x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2). Estas te permiten simplificar fracciones que inicialmente dan formas indeterminadas.

Por ejemplo, en lim⁡x→−4x3+64x+4\lim_{x \to -4} \frac{x^3 + 64}{x + 4}, reconoces que $64 = 4^3$ y aplicas la fórmula de suma de cubos. Al factorizar obtienes (x+4)(x2−4x+16)(x + 4)(x^2 - 4x + 16), cancelas el factor común y evalúas el límite directamente.

Tip clave: Siempre identifica si puedes expresar los números como cubos perfectos 8=23,27=33,64=43,etc.8 = 2³, 27 = 3³, 64 = 4³, etc.

Juma y diferencia de class $x^3 + y^3 = (x + y) (x^2 - xy + y^2)$ $m^6 - 8 = (m^2 - 2) ((m^2)^2 + 2m^2 + 4)$ $(m^4 + 2m^2 + 4)$ $m^2$ $2

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Límites por Racionalización

La racionalización es tu estrategia perfecta cuando aparecen raíces cuadradas en numeradores o denominadores. Este método elimina las raíces multiplicando por el conjugado.

El truco está en multiplicar tanto el numerador como el denominador por el conjugado de la expresión que contiene la raíz. Por ejemplo, si tienes x−3\sqrt{x} - 3, su conjugado es x+3\sqrt{x} + 3.

En lim⁡x→9x−3x−9\lim_{x\to 9} \frac{\sqrt{x} - 3}{x - 9}, multiplicas por x+3x+3\frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 3}. Esto transforma el numerador en (x−9)(x - 9) usando la diferencia de cuadrados, permitiendo cancelar factores comunes.

Recuerda: El conjugado de a−b\sqrt{a} - b es a+b\sqrt{a} + b, y viceversa.

Juma y diferencia de class $x^3 + y^3 = (x + y) (x^2 - xy + y^2)$ $m^6 - 8 = (m^2 - 2) ((m^2)^2 + 2m^2 + 4)$ $(m^4 + 2m^2 + 4)$ $m^2$ $2

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Límites hacia el Infinito - Conceptos Básicos

Entender el comportamiento de las funciones cuando xx se acerca al infinito es más sencillo de lo que parece. Solo necesitas aplicar las reglas básicas de signos y potencias.

Cuando x→+∞x \to +\infty, cualquier función lineal como $5xtambieˊntiendea también tiende a +\infty.Sinembargo,sitienes. Sin embargo, si tienes -3x,elresultadoseraˊ, el resultado será -\infty$ debido a la ley de signos en la multiplicación.

Las potencias impares conservan el signo: (−∞)3=−∞(-\infty)^3 = -\infty, mientras que 1x\frac{1}{x} siempre tiende a cero cuando x→∞x \to \infty. Esto sucede porque la fracción se vuelve cada vez más pequeña.

Concepto clave: 1∞=0\frac{1}{\infty} = 0 - mientras más grande el denominador, más cerca de cero está el resultado.

Juma y diferencia de class $x^3 + y^3 = (x + y) (x^2 - xy + y^2)$ $m^6 - 8 = (m^2 - 2) ((m^2)^2 + 2m^2 + 4)$ $(m^4 + 2m^2 + 4)$ $m^2$ $2

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Límites hacia el Infinito - Polinomios

Con polinomios, tu vida se simplifica enormemente: el término de mayor grado siempre gana. Este concepto te ahorrará mucho tiempo en los exámenes.

En expresiones como $4x^2 + 3,cuando, cuando x \to \infty,elteˊrmino, el término 4x^2dominacompletamentesobrelaconstante3.Elresultadoseraˊ domina completamente sobre la constante 3. El resultado será +\infty$ porque el coeficiente es positivo.

Para casos como $2x^3 - 4x^2,aunquetengasunaresta,elteˊrmino, aunque tengas una resta, el término 2x^3tienemayorgradoycoeficientepositivo.Poresoellıˊmitees tiene mayor grado y coeficiente positivo. Por eso el límite es +\infty$, no una forma indeterminada.

Regla de oro: En polinomios, identifica el término de mayor grado y su signo - ese determina el comportamiento del límite.

Pensamos que nunca lo preguntarías...

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Propiedades de los exponentes

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Este simulacro te ayudará a sacar un buen puntaje en las pruebas ICFES este 2025. Vamos por ese 500/500. Y poder ser admitido en la universidad que quieras, estudiar la carrera que quieres y no la que te toque. Vamos con toda para sacar un buen puntaje.

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Pablo

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Elena

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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

Ana

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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.

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Roberto

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Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!

Julia S

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Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.

Marco B

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LOS QUIZ Y FLASHCARDS SON SÚPER ÚTILES Y ME ENCANTA Knowunity IA. ADEMÁS ES LITERALMENTE COMO CHATGPT PERO MÁS LISTO!! ME AYUDÓ TAMBIÉN CON MIS PROBLEMAS DE MÁSCARA!! Y CON MIS ASIGNATURAS DE VERDAD! OBVIO 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Sarah L

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Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.

Paul T

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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

Pablo

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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.

Elena

usuaria de Android

Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.

Ana

usuaria de iOS

Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.

Thomas R

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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.

Lisa M

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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.

David K

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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!

Sara

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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

Roberto

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Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!

Julia S

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Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.

Marco B

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LOS QUIZ Y FLASHCARDS SON SÚPER ÚTILES Y ME ENCANTA Knowunity IA. ADEMÁS ES LITERALMENTE COMO CHATGPT PERO MÁS LISTO!! ME AYUDÓ TAMBIÉN CON MIS PROBLEMAS DE MÁSCARA!! Y CON MIS ASIGNATURAS DE VERDAD! OBVIO 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Sarah L

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Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.

Paul T

usuario de iOS