Límites Básicos de Funciones Trigonométricas

Los límites trigonométricos son más fáciles de lo que parecen cuando aplicás las propiedades correctas. Para funciones como seno y coseno, simplemente sustituís el valor al que tiende x.

Cuando tenés lim (x→0) sen(bx), el resultado siempre es 0 porque sen(0) = 0. Para lim (x→0) cos(bx), el resultado es 1 porque cos(0) = 1. Si x tiende a otro valor como 3π/2, convertís a grados (270°) y evaluás la función trigonométrica.

Tip clave: Recordá que π = 180°, entonces 3π/2 = 270° y sen(270°) = -1

El truco está en reconocer estos patrones básicos antes de complicarte con fórmulas más avanzadas.

Límites Trigonométricos con Fracciones

Cuando aparecen fracciones trigonométricas, usás el teorema fundamental: lim (x→0) [sen(x)/x] = 1. Este es tu mejor amigo para resolver estos ejercicios.

Para resolver lim (x→0) [sen(9x)/(5x)], sacás constantes fuera del límite y multiplicás por fracciones equivalentes para crear la forma sen$u$/u. Terminás con $9/5$ × 1 = 9/5.

Con fracciones como lim (x→0) [sen(9x)/sen(4x)], convertís ambas partes usando el mismo truco. Multiplicás por formas equivalentes hasta obtener la proporción de coeficientes: 9/4.

Recordá: Siempre buscá crear la forma sen$u$/u = 1 multiplicando por fracciones equivalentes

Límites con Coseno y Concepto de Continuidad

Para límites con 1 - cos$x$, el resultado siempre es 0 cuando x tiende a 0. En lim (x→0) [(4-4cos(5x))/(3x)], sacás el factor común 4 y usás que lim (x→0) [(1-cos(u))/u] = 0.

La continuidad es un concepto súper importante: una función es continua cuando no tiene "saltos" o "huecos" en su gráfico. Pensá en poder dibujar la función sin levantar el lápiz del papel.

Una función es discontinua cuando el denominador se hace igual a 0, creando esos famosos "huecos" en el gráfico. Las funciones continuas no presentan interrupciones visuales.

Visualizá: Si podés trazar la función sin levantar el lápiz, es continua

Encontrar Puntos de Discontinuidad

Para encontrar dónde una función es discontinua, igualá el denominador a 0 y resolvé la ecuación. Estos valores de x son exactamente donde la función "se rompe".

En f(x) = 2/(3x+6), hacés 3x + 6 = 0, entonces x = -2. En f(x) = 7/(x²-81), tenés x² = 81, por lo tanto x = ±9. Para funciones cuadráticas como g(x) = 4/(x²-5x-14), factorizás: x-7$$x+2 = 0, dando x = 7 y x = -2.

Los puntos de discontinuidad son exactamente estos valores donde el denominador vale 0. La función simplemente no puede existir en esos puntos.

Método infalible: Denominador = 0 → puntos de discontinuidad

Determinar Intervalos de Continuidad

Para encontrar dónde una función es continua, hacés lo opuesto: el denominador debe ser diferente de 0. Expresás esto con desigualdades.

En f(x) = 8/(5x+3), necesitás 5x + 3 ≠ 0, entonces x ≠ -3/5. La función es continua en todos los reales excepto x = -3/5. Para g(x) = 7/(x²-5x+6), factorizás: x-3$$x-2 ≠ 0, entonces x ≠ 3 y x ≠ 2.

La notación correcta es: Cont = {x ∈ ℝ / x ≠ valores prohibidos}. Esto significa "todos los números reales excepto los valores que hacen 0 al denominador".

Regla de oro: Una función racional es continua en todos lados excepto donde el denominador vale 0

Análisis de Continuidad en un Punto

Para que una función sea continua en un punto x = a, deben cumplirse tres condiciones: f$a$ debe existir, el límite cuando x→a debe existir, y ambos deben ser iguales.

En funciones simples como f$x$ = 3x - 5 en x = 4, calculás f(4) = 7 y lim(x→4) = 7. Como son iguales, la función es continua. Para funciones definidas por partes, verificás cada condición por separado.

Si f$a$ ≠ lim(x→a) f$x$, la función tiene una discontinuidad removible - podés "arreglarla" redefiniendo el valor en ese punto. Si el límite no existe, es una discontinuidad esencial que no se puede reparar.

Las 3 condiciones: f$a$ existe, lim f$x$ existe, y son iguales

Tipos de Discontinuidades

Existen dos tipos principales de discontinuidades: removibles y esenciales. Las removibles se pueden "arreglar" redefiniendo la función en ese punto, mientras que las esenciales no tienen solución.

En una discontinuidad removible, el límite existe pero f$a$ tiene un valor diferente. Simplemente cambiás f$a$ para que coincida con el límite. En discontinuidades esenciales, el límite no existe (como cuando obtenés algo/0), entonces no hay forma de repararla.

Para identificar el tipo, calculás el límite. Si existe pero es diferente al valor de la función, es removible. Si el límite no existe o da infinito, es esencial.

Recordá: Removible = se puede arreglar; Esencial = no tiene solución