Límites Básicos de Funciones Trigonométricas

Los límites trigonométricos son más fáciles de lo que parecen cuando aplicás las propiedades correctas. Para funciones como seno y coseno, simplemente sustituís el valor al que tiende x.

Cuando tenés lim (x→0) sen(bx), el resultado siempre es 0 porque sen(0) = 0. Para lim (x→0) cos(bx), el resultado es 1 porque cos(0) = 1. Si x tiende a otro valor como 3π/2, convertís a grados (270°) y evaluás la función trigonométrica.

Tip clave: Recordá que π = 180°, entonces 3π/2 = 270° y sen(270°) = -1

El truco está en reconocer estos patrones básicos antes de complicarte con fórmulas más avanzadas.

Límites Trigonométricos con Fracciones

Cuando aparecen fracciones trigonométricas, usás el teorema fundamental: lim (x→0) $sen(x)/x$ = 1. Este es tu mejor amigo para resolver estos ejercicios.

Para resolver lim (x→0) $sen(9x)/(5x)$, sacás constantes fuera del límite y multiplicás por fracciones equivalentes para crear la forma sen(u)/u. Terminás con (9/5) × 1 = 9/5.

Con fracciones como lim (x→0) $sen(9x)/sen(4x)$, convertís ambas partes usando el mismo truco. Multiplicás por formas equivalentes hasta obtener la proporción de coeficientes: 9/4.

Recordá: Siempre buscá crear la forma sen(u)/u = 1 multiplicando por fracciones equivalentes

Límites con Coseno y Concepto de Continuidad

Para límites con 1 - cos(x), el resultado siempre es 0 cuando x tiende a 0. En lim (x→0) $(4-4cos(5x))/(3x)$, sacás el factor común 4 y usás que lim (x→0) $(1-cos(u))/u$ = 0.

La continuidad es un concepto súper importante: una función es continua cuando no tiene "saltos" o "huecos" en su gráfico. Pensá en poder dibujar la función sin levantar el lápiz del papel.

Una función es discontinua cuando el denominador se hace igual a 0, creando esos famosos "huecos" en el gráfico. Las funciones continuas no presentan interrupciones visuales.

Visualizá: Si podés trazar la función sin levantar el lápiz, es continua

Encontrar Puntos de Discontinuidad

Para encontrar dónde una función es discontinua, igualá el denominador a 0 y resolvé la ecuación. Estos valores de x son exactamente donde la función "se rompe".

En f(x) = 2/$3x+6$, hacés 3x + 6 = 0, entonces x = -2. En f(x) = 7/$x²-81$, tenés x² = 81, por lo tanto x = ±9. Para funciones cuadráticas como g(x) = 4/$x²-5x-14$, factorizás: $x-7$$x+2$ = 0, dando x = 7 y x = -2.

Los puntos de discontinuidad son exactamente estos valores donde el denominador vale 0. La función simplemente no puede existir en esos puntos.

Método infalible: Denominador = 0 → puntos de discontinuidad

Determinar Intervalos de Continuidad

Para encontrar dónde una función es continua, hacés lo opuesto: el denominador debe ser diferente de 0. Expresás esto con desigualdades.

En f(x) = 8/$5x+3$, necesitás 5x + 3 ≠ 0, entonces x ≠ -3/5. La función es continua en todos los reales excepto x = -3/5. Para g(x) = 7/$x²-5x+6$, factorizás: $x-3$$x-2$ ≠ 0, entonces x ≠ 3 y x ≠ 2.

La notación correcta es: Cont = {x ∈ ℝ / x ≠ valores prohibidos}. Esto significa "todos los números reales excepto los valores que hacen 0 al denominador".

Regla de oro: Una función racional es continua en todos lados excepto donde el denominador vale 0

Análisis de Continuidad en un Punto

Para que una función sea continua en un punto x = a, deben cumplirse tres condiciones: f(a) debe existir, el límite cuando x→a debe existir, y ambos deben ser iguales.

En funciones simples como f(x) = 3x - 5 en x = 4, calculás f(4) = 7 y lim(x→4) = 7. Como son iguales, la función es continua. Para funciones definidas por partes, verificás cada condición por separado.

Si f(a) ≠ lim(x→a) f(x), la función tiene una discontinuidad removible - podés "arreglarla" redefiniendo el valor en ese punto. Si el límite no existe, es una discontinuidad esencial que no se puede reparar.

Las 3 condiciones: f(a) existe, lim f(x) existe, y son iguales

Tipos de Discontinuidades

Existen dos tipos principales de discontinuidades: removibles y esenciales. Las removibles se pueden "arreglar" redefiniendo la función en ese punto, mientras que las esenciales no tienen solución.

En una discontinuidad removible, el límite existe pero f(a) tiene un valor diferente. Simplemente cambiás f(a) para que coincida con el límite. En discontinuidades esenciales, el límite no existe $como cuando obtenés algo/0$, entonces no hay forma de repararla.

Para identificar el tipo, calculás el límite. Si existe pero es diferente al valor de la función, es removible. Si el límite no existe o da infinito, es esencial.

Recordá: Removible = se puede arreglar; Esencial = no tiene solución