Ley del Coseno: Fórmulas y Aplicación

La Ley del Coseno relaciona los tres lados de un triángulo con uno de sus ángulos. Se expresa mediante tres fórmulas equivalentes:

• $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$
• $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$
• $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$

Veamos cómo aplicarla con un ejemplo práctico: un triángulo donde conocemos dos lados $a = 4cm, b = 6cm$ y un ángulo $C = 57°$. Para resolverlo, usamos la fórmula $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$.

Sustituyendo los valores: $c^2 = 4^2 + 6^2 - 2(4)(6) \cos 57° = 16 + 36 - 48 \cos 57° = 25,86$. Entonces, $c = 5,08$ cm.

💡 Consejo: Para resolver triángulos completos, combina la Ley del Coseno con la Ley de Senos. Primero calcula el lado faltante con el coseno, luego usa senos para encontrar los ángulos restantes.

Para encontrar los ángulos restantes, aplicamos la Ley de Senos: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$. Despejando, obtenemos A = 41,29° y B = 81,71°. ¡Has resuelto el triángulo completo!

Ejemplo Práctico: Triángulo con Tres Lados Conocidos

Cuando conoces los tres lados de un triángulo (criterio LLL), la Ley del Coseno es tu mejor aliada. Tomemos un caso con a = 10 cm, b = 7 cm y c = 9 cm.

Para encontrar el ángulo A, despejamos de la fórmula: $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$. Sustituyendo nuestros valores: $\cos A = \frac{7^2 + 9^2 - 10^2}{2(7)(9)} = \frac{49 + 81 - 100}{126} = \frac{30}{126} = 0,23$. Por lo tanto, A = 76,70°.

Para los ángulos restantes, podemos usar la Ley de Senos. Con $\frac{\sin B}{b} = \frac{\sin A}{a}$, despejamos $\sin B = \frac{b \sin A}{a} = \frac{7 \sin 76,70°}{10} = 0,68$, obteniendo B = 42,84°. Finalmente, sabemos que C = 60,46° (ya que en un triángulo, la suma de ángulos internos es 180°).

🔍 Atención: Al resolver triángulos, siempre verifica tus resultados sumando los tres ángulos (deben sumar 180°) y comprobando que los valores tienen sentido físico real.

El triángulo resuelto queda: a = 10 cm, b = 7 cm, c = 9 cm, A = 77°, B = 43° y C = 60°. Las pequeñas diferencias en los valores se deben a redondeos en los cálculos.