Pendiente de una recta y ecuación punto-pendiente

La pendiente de una recta representa su inclinación con respecto al eje X. Se calcula usando la fórmula: m = $y₂ - y₁$/$x₂ - x₁$, donde (x₁,y₁) y (x₂,y₂) son dos puntos de la recta.

Por ejemplo, para los puntos P(2,4) y Q(4,3), la pendiente es: m = (3-4)/(4-2) = -1/2

La ecuación punto-pendiente nos permite escribir la ecuación de una recta conociendo un punto y su pendiente: y - y₁ = m$x - x₁$

Utilizando el punto P(2,4) y la pendiente m = -1/2, obtenemos: y - 4 = (-1/2)$x - 2$ Simplificando: y = (-1/2)x + 5

⚠️ ¡Ojo! Cuando una recta es vertical (paralela al eje Y), su pendiente no está definida porque tendríamos una división por cero. Por ejemplo, para P(2,4) y Q(2,6), la pendiente sería m = (6-4)/(2-2) = 2/0, lo cual es indeterminado.

Ecuaciones y gráficas de rectas

Para graficar una recta, podemos calcular su pendiente y usar la ecuación punto-pendiente. Por ejemplo, con P(1,-3) y Q(-1,6):

La pendiente es m = (6-(-3))/(-1-1) = 9/(-2) = -9/2

Usando la ecuación punto-pendiente: y - (-3) = (-9/2)$x - 1$ Simplificando: y = (-9/2)x + 3/2

Otra forma útil de la ecuación de una recta es y = mx + b, donde m es la pendiente y (0,b) es el punto de corte con el eje Y o intersecto.

Por ejemplo, si tenemos 45x + y = 3, podemos reescribirla como: y = -x + 3, donde m = -1 y (0,3) es el punto de corte con el eje Y.

💡 Consejo práctico: Para graficar rápidamente una recta, identifica su pendiente y su punto de corte con el eje Y. Luego, desde este punto, utiliza la pendiente para encontrar otros puntos $avanza Δx y sube/baja Δy$.

Análisis de ecuaciones de rectas

Para analizar una ecuación como 3x - 2y = 12, primero despejamos y para identificar la pendiente y el punto de corte:

3x - 2y = 12 -2y = 12 - 3x y = $12 - 3x$/(-2) y = -6 + (3/2)x

De esta forma, la pendiente es m = 3/2 y el punto de corte con el eje Y es (0,-6).

Para ecuaciones como (1/2)x - (1/3)y + 1 = 0, despejamos y: (1/2)x - (1/3)y + 1 = 0 -(1/3)y = -(1/2)x - 1 y = (3/2)x + 3

Obtenemos una pendiente m = 3/2 y un punto de corte (0,3).

🔍 Fíjate bien: Siempre que tengas una ecuación de la forma Ax + By + C = 0, la pendiente será m = -A/B (siempre que B ≠ 0) y el punto de corte con el eje Y será $0,-C/B$.