Ecuación General de la Circunferencia

La ecuación general de la circunferencia tiene esta forma: x² + y² + Dx + Ey + F = 0. Aunque al principio puede parecer complicada, es más fácil de lo que crees una vez que conocés las fórmulas clave.

Para encontrar el centro de la circunferencia, usás estas fórmulas: C₁ = -D/2 y C₂ = -E/2. Esto te da las coordenadas del centro como (C₁, C₂).

El radio se calcula con: r = ½√$D² + E² - 4F$. Acá viene lo interesante: dependiendo del valor de D²/4 + E²/4 - F, podés tener tres situaciones diferentes.

¡Dato clave! Si D²/4 + E²/4 - F es mayor que 0, tenés una circunferencia real. Si es igual a 0, solo un punto. Si es menor que 0, una circunferencia imaginaria (que no existe en el plano real).

Resolviendo el Primer Ejemplo

Tomemos la ecuación x² + y² + 4x - 6y + 12 = 0 y descifremos paso a paso qué circunferencia representa.

Primero identificás los valores: D = 4, E = -6, F = 12. Para el centro, calculás C₁ = -4/2 = -2 y C₂ = -$-6$/2 = 3. Entonces el centro está en $-2, 3$.

Para el radio, aplicás la fórmula: r = √$16/4 + 36/4 - 12$ = √$4 + 9 - 12$ = √1 = 1. ¡Tu circunferencia tiene radio 1!

La forma final queda como $x + 2$² + $y - 3$² = 1, que es mucho más fácil de visualizar y graficar.

Trabajando con Fracciones

El segundo ejemplo x² + y² - 4x + 5/2 y - 1/2 = 0 incluye fracciones, pero no te asustés: el proceso es exactamente el mismo.

Identificás D = -4, E = 5/2, F = -1/2. Para el centro: C₁ = -$-4$/2 = 2 y C₂ = -$5/2$/2 = -5/4 = -1.25. El centro está en $2, -1.25$.

El radio requiere más cuidado con las fracciones: r = √$16/4 + 25/16 - (-2)$ = √$4 + 1.5625 + 0.5$ ≈ 2.45. Aunque los cálculos sean más largos, la lógica es idéntica.

Consejo pro: Cuando tengas fracciones, convertí todo al mismo denominador antes de sumar. Te ahorrará errores y tiempo en los exámenes.