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Resolución de Integrales Racionales

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Sara Sofía Mafla Villota

@araofaaflaillota_ki64

Las integrales racionales son aquellas que involucran fracciones con polinomios,... Mostrar más

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See the 101 113 Integrales de la forma (integrales racunales) (102-114) $\int \frac{dx}{ax^2 1bx + c}$ 4 $\int \frac{Ax + B}{ax^2 + bx + c

Integrales Racionales - Casos Básicos

¿Te ha pasado que te encuentras con una integral que parece imposible? Las integrales racionales de la forma ∫dxax2+bx+c\int \frac{dx}{ax^2 + bx + c} tienen truco.

Cuando el denominador no se puede factorizar, no te preocupes - aquí es donde brilla el método de completar cuadrado. La idea es transformar esa expresión complicada en algo que reconozcas de las tablas de integrales.

El proceso es así: tomas ax2+bx+cax^2 + bx + c y lo conviertes en (mx+n)2+k2(mx+n)^2 + k^2. Después aplicas una sustitución sencilla y ¡listo! Tu integral se convierte en ∫duu2+k2\int \frac{du}{u^2+ k^2}, que ya sabes resolver.

Tip clave: Si no puedes factorizar el denominador, siempre piensa en completar cuadrado primero.

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Ejemplo Práctico: Completar Cuadrado

Veamos cómo resolver ∫dx3x2−2x+4\int \frac{dx}{3x^2-2x+4} paso a paso. Primero, completamos el cuadrado en el denominador.

Factorizas el 3: 3x2−2x+4=3(x2−2x3)+43x^2-2x+4 = 3(x^2-\frac{2x}{3}) +4. Luego completas el cuadrado dentro del paréntesis, sumando y restando (13)2(\frac{1}{3})^2.

El resultado final es 3[(x−13)2+119]3[(x-\frac{1}{3})^2 + \frac{11}{9}]. Ahora haces la sustitución u=x−13u = x-\frac{1}{3} y du=dxdu = dx.

Recuerda: Completar cuadrado te permite usar las fórmulas de arcotangente que ya conoces.

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Integrales con Numerador Lineal

Cuando tienes ∫Ax+Bax2+bx+cdx\int \frac{Ax + B}{ax^2 + bx +c} dx, primero pregúntate: ¿es por sustitución directa?

Si la derivada del denominador (2ax+b)(2ax+b) es igual a Ax+BAx+B (o un múltiplo), entonces es pan comido - solo sustituyes y obtienes un logaritmo natural.

Pero si no coinciden, necesitas transformar el numerador. La estrategia es dividir tu integral en dos partes: una que se resuelve por sustitución y otra completando cuadrado.

Estrategia ganadora: Siempre verifica primero si puedes usar sustitución directa antes de complicarte la vida.

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Transformación del Numerador

En el ejemplo ∫(3x−2)5x2−3x+2\int \frac{(3x-2)}{5x^2-3x +2}, la derivada del denominador es 10x−310x-3, pero el numerador es 3x−23x-2.

Aquí viene la magia: transformas 3x−23x-2 para que contenga 10x−310x-3. Escribes 3x−2=310(10x−3)−11103x-2 = \frac{3}{10}(10x-3) - \frac{11}{10}.

Ahora tu integral se divide en dos: 310∫(10x−3)dx5x2−3x+2\frac{3}{10} \int \frac{(10x-3)dx}{5x^2-3x+2} (que es por sustitución) menos 1110∫dx5x2−3x+2\frac{11}{10} \int \frac{dx}{5x^2-3x+2} (que requiere completar cuadrado).

Dato importante: Esta transformación algebraica es la clave para resolver integrales racionales complejas.

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Completando el Cuadrado para el Segundo Término

Para resolver 1110∫dx5x2−3x+2\frac{11}{10} \int \frac{dx}{5x^2-3x+2}, necesitas completar el cuadrado en el denominador.

Factorizas el 5: 5x2−3x+2=5(x2−3x5)+25x^2-3x+2 = 5(x^2-\frac{3x}{5}) +2. Después completas el cuadrado sumando y restando (310)2(\frac{3}{10})^2.

El resultado es 5[(x−310)2]+31205[(x-\frac{3}{10})^2] + \frac{31}{20}. Con la sustitución u=x−310u = x-\frac{3}{10}, tu integral se convierte en una arcotangente.

No te rindas: Aunque los cálculos se ven largos, cada paso sigue un patrón que puedes dominar con práctica.

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Resultado Final y Verificación

La integral completa ∫3x−25x2−3x+2dx\int \frac{3x-2}{5x^2-3x+2} dx se resuelve como I1−I2I_1 - I_2, donde I1I_1 es el logaritmo natural y I2I_2 es la arcotangente.

El resultado final es: 310ln⁡∣5x2−3x+2∣−11531arctan⁡(10x−331)+C\frac{3}{10} \ln |5x^2-3x+2| - \frac{11}{5\sqrt{31}} \arctan(\frac{10x-3}{\sqrt{31}}) + C.

Siempre verifica tu respuesta derivando - deberías recuperar la función original del integrando.

Pro tip: Memoriza las formas básicas de arcotangente y logaritmo natural para reconocerlas rápidamente.

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Otro Ejemplo: Simplificando la Transformación

Para ∫3x−1x2−x+1\int \frac{3x-1}{x^2-x+1}, la derivada del denominador es 2x−12x-1. Necesitas expresar 3x−13x-1 en términos de 2x−12x-1.

La transformación es: 3x−1=32(2x−1)+123x-1 = \frac{3}{2}(2x-1) + \frac{1}{2}. Esto te da dos integrales más manejables.

La primera parte 32∫2x−1dxx2−x+1\frac{3}{2} \int \frac{2x-1 dx}{x^2-x+1} se resuelve por sustitución directa y da 32ln⁡∣x2−x+1∣\frac{3}{2} \ln |x^2-x+1|.

Observa el patrón: La transformación algebraica siempre busca aislar la derivada del denominador.

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Completando el Cuadrado para x²-x+1

Para el término 12∫dxx2−x+1\frac{1}{2} \int \frac{dx}{x^2-x+1}, completas el cuadrado en el denominador.

x2−x+1=(x−12)2+34x^2-x+1 = (x-\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}. Con la sustitución u=x−12u = x-\frac{1}{2}, obtienes ∫duu2+(32)2\int \frac{du}{u^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2}.

El resultado es 13arctan⁡(2x−13)\frac{1}{\sqrt{3}} \arctan(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}). Combinas ambas partes para tener la solución completa.

Recuerda: Las constantes en arcotangente vienen de la raíz cuadrada del término constante.

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Integrales con Raíces en el Denominador

Las integrales de la forma ∫Ax+Bax2+bx+cdx\int \frac{Ax+B}{\sqrt{ax^2+bx+c}} dx usan la misma estrategia de transformación, pero ahora con raíces.

En ∫5x+3x2+4x+10dx\int \frac{5x+3}{\sqrt{x^2+4x+10}} dx, transformas 5x+35x+3 para que contenga 2x+42x+4 (la derivada de lo que está bajo la raíz).

La transformación es: 5x+3=52(2x+4)−75x+3 = \frac{5}{2}(2x+4) - 7. Esto separa tu integral en dos partes: una por sustitución y otra que requiere completar cuadrado.

Punto clave: Las integrales con raíces siguen exactamente la misma lógica que las anteriores.

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Resolviendo Integrales con Raíces

La primera parte 52∫2x+4x2+4x+10dx\frac{5}{2} \int \frac{2x+4}{\sqrt{x^2+4x+10}} dx se resuelve por sustitución directa con u=x2+4x+10u = x^2+4x+10.

El resultado es 5x2+4x+105\sqrt{x^2+4x+10}. Para la segunda parte, completas el cuadrado: x2+4x+10=(x+2)2+6x^2+4x+10 = (x+2)^2 + 6.

La integral ∫dx(x+2)2+6\int \frac{dx}{\sqrt{(x+2)^2 + 6}} da como resultado ln⁡∣x+2+x2+4x+10∣+C\ln |x+2 + \sqrt{x^2+4x+10}| + C.

Resultado final: Combinas ambas partes para obtener la solución completa de tu integral con raíces.



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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.

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Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.

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Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.

Paul T

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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.

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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!

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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.

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Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!

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Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.

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Resolución de Integrales Racionales

S

Sara Sofía Mafla Villota

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Las integrales racionales son aquellas que involucran fracciones con polinomios, y son súper importantes para tu examen de cálculo. Vas a aprender dos técnicas clave: completar cuadrado y transformación del numerador, que te van a salvar cuando las fracciones parciales... Mostrar más

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Integrales Racionales - Casos Básicos

¿Te ha pasado que te encuentras con una integral que parece imposible? Las integrales racionales de la forma ∫dxax2+bx+c\int \frac{dx}{ax^2 + bx + c} tienen truco.

Cuando el denominador no se puede factorizar, no te preocupes - aquí es donde brilla el método de completar cuadrado. La idea es transformar esa expresión complicada en algo que reconozcas de las tablas de integrales.

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Ejemplo Práctico: Completar Cuadrado

Veamos cómo resolver ∫dx3x2−2x+4\int \frac{dx}{3x^2-2x+4} paso a paso. Primero, completamos el cuadrado en el denominador.

Factorizas el 3: 3x2−2x+4=3(x2−2x3)+43x^2-2x+4 = 3(x^2-\frac{2x}{3}) +4. Luego completas el cuadrado dentro del paréntesis, sumando y restando (13)2(\frac{1}{3})^2.

El resultado final es 3[(x−13)2+119]3[(x-\frac{1}{3})^2 + \frac{11}{9}]. Ahora haces la sustitución u=x−13u = x-\frac{1}{3} y du=dxdu = dx.

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Integrales con Numerador Lineal

Cuando tienes ∫Ax+Bax2+bx+cdx\int \frac{Ax + B}{ax^2 + bx +c} dx, primero pregúntate: ¿es por sustitución directa?

Si la derivada del denominador (2ax+b)(2ax+b) es igual a Ax+BAx+B (o un múltiplo), entonces es pan comido - solo sustituyes y obtienes un logaritmo natural.

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Transformación del Numerador

En el ejemplo ∫(3x−2)5x2−3x+2\int \frac{(3x-2)}{5x^2-3x +2}, la derivada del denominador es 10x−310x-3, pero el numerador es 3x−23x-2.

Aquí viene la magia: transformas 3x−23x-2 para que contenga 10x−310x-3. Escribes 3x−2=310(10x−3)−11103x-2 = \frac{3}{10}(10x-3) - \frac{11}{10}.

Ahora tu integral se divide en dos: 310∫(10x−3)dx5x2−3x+2\frac{3}{10} \int \frac{(10x-3)dx}{5x^2-3x+2} (que es por sustitución) menos 1110∫dx5x2−3x+2\frac{11}{10} \int \frac{dx}{5x^2-3x+2} (que requiere completar cuadrado).

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Completando el Cuadrado para el Segundo Término

Para resolver 1110∫dx5x2−3x+2\frac{11}{10} \int \frac{dx}{5x^2-3x+2}, necesitas completar el cuadrado en el denominador.

Factorizas el 5: 5x2−3x+2=5(x2−3x5)+25x^2-3x+2 = 5(x^2-\frac{3x}{5}) +2. Después completas el cuadrado sumando y restando (310)2(\frac{3}{10})^2.

El resultado es 5[(x−310)2]+31205[(x-\frac{3}{10})^2] + \frac{31}{20}. Con la sustitución u=x−310u = x-\frac{3}{10}, tu integral se convierte en una arcotangente.

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Resultado Final y Verificación

La integral completa ∫3x−25x2−3x+2dx\int \frac{3x-2}{5x^2-3x+2} dx se resuelve como I1−I2I_1 - I_2, donde I1I_1 es el logaritmo natural y I2I_2 es la arcotangente.

El resultado final es: 310ln⁡∣5x2−3x+2∣−11531arctan⁡(10x−331)+C\frac{3}{10} \ln |5x^2-3x+2| - \frac{11}{5\sqrt{31}} \arctan(\frac{10x-3}{\sqrt{31}}) + C.

Siempre verifica tu respuesta derivando - deberías recuperar la función original del integrando.

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Otro Ejemplo: Simplificando la Transformación

Para ∫3x−1x2−x+1\int \frac{3x-1}{x^2-x+1}, la derivada del denominador es 2x−12x-1. Necesitas expresar 3x−13x-1 en términos de 2x−12x-1.

La transformación es: 3x−1=32(2x−1)+123x-1 = \frac{3}{2}(2x-1) + \frac{1}{2}. Esto te da dos integrales más manejables.

La primera parte 32∫2x−1dxx2−x+1\frac{3}{2} \int \frac{2x-1 dx}{x^2-x+1} se resuelve por sustitución directa y da 32ln⁡∣x2−x+1∣\frac{3}{2} \ln |x^2-x+1|.

Observa el patrón: La transformación algebraica siempre busca aislar la derivada del denominador.

See the 101 113 Integrales de la forma (integrales racunales) (102-114) $\int \frac{dx}{ax^2 1bx + c}$ 4 $\int \frac{Ax + B}{ax^2 + bx + c

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Completando el Cuadrado para x²-x+1

Para el término 12∫dxx2−x+1\frac{1}{2} \int \frac{dx}{x^2-x+1}, completas el cuadrado en el denominador.

x2−x+1=(x−12)2+34x^2-x+1 = (x-\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}. Con la sustitución u=x−12u = x-\frac{1}{2}, obtienes ∫duu2+(32)2\int \frac{du}{u^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2}.

El resultado es 13arctan⁡(2x−13)\frac{1}{\sqrt{3}} \arctan(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}). Combinas ambas partes para tener la solución completa.

Recuerda: Las constantes en arcotangente vienen de la raíz cuadrada del término constante.

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Integrales con Raíces en el Denominador

Las integrales de la forma ∫Ax+Bax2+bx+cdx\int \frac{Ax+B}{\sqrt{ax^2+bx+c}} dx usan la misma estrategia de transformación, pero ahora con raíces.

En ∫5x+3x2+4x+10dx\int \frac{5x+3}{\sqrt{x^2+4x+10}} dx, transformas 5x+35x+3 para que contenga 2x+42x+4 (la derivada de lo que está bajo la raíz).

La transformación es: 5x+3=52(2x+4)−75x+3 = \frac{5}{2}(2x+4) - 7. Esto separa tu integral en dos partes: una por sustitución y otra que requiere completar cuadrado.

Punto clave: Las integrales con raíces siguen exactamente la misma lógica que las anteriores.

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Resolviendo Integrales con Raíces

La primera parte 52∫2x+4x2+4x+10dx\frac{5}{2} \int \frac{2x+4}{\sqrt{x^2+4x+10}} dx se resuelve por sustitución directa con u=x2+4x+10u = x^2+4x+10.

El resultado es 5x2+4x+105\sqrt{x^2+4x+10}. Para la segunda parte, completas el cuadrado: x2+4x+10=(x+2)2+6x^2+4x+10 = (x+2)^2 + 6.

La integral ∫dx(x+2)2+6\int \frac{dx}{\sqrt{(x+2)^2 + 6}} da como resultado ln⁡∣x+2+x2+4x+10∣+C\ln |x+2 + \sqrt{x^2+4x+10}| + C.

Resultado final: Combinas ambas partes para obtener la solución completa de tu integral con raíces.

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Marco B

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Paul T

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