Asignaturas
2
0
Saray :D
15/12/2025
Matemáticas
Integrales definidas, área debajo de la curva y área entre curvas.
147
•
15 de dic de 2025
•
Saray :D
@ara2911
El cálculo diferencial e integral es una herramienta matemática fundamental... Mostrar más
La integral definida es una poderosa herramienta matemática que nos permite calcular el área bajo una curva o el efecto acumulado de una función. Si tienes una función f(x) con antiderivada F(x) y ambas son continuas en un intervalo , la integral definida se expresa así:
\int_a^b f(x)dx = _a^b = F(b) - F(a)
Esta fórmula nos permite resolver problemas prácticos como el siguiente: si una empresa tiene una función de costo marginal C'(x) = 23,5 - 0,01x, podemos calcular el incremento en el costo total cuando la producción aumenta de 1.000 a 1.500 unidades mediante:
C(x) = \int_{1000}^{1500} dx = _{1000}^{1500} = 5.500
💡 Recuerda: La integral definida representa la diferencia entre el valor de la antiderivada evaluada en el límite superior menos el límite inferior.
El área bajo una curva es una aplicación directa de la integral definida. Para calcular el área entre una función y el eje X en un intervalo , usamos:
A = \int_a^b f(x) dx
Por ejemplo, para encontrar el área entre y = x² y el eje X desde x = 0 hasta x = 2: A = \int_0^2 x^2 dx = \left\frac{x^3}{3}\right_0^2 = \frac{8}{3} \text{ u}^2
Para áreas más complejas, como el caso entre y = x² - 4 y las líneas x = -1, x = 3 y el eje X, debemos sumar las áreas absolutas de las regiones. En este caso, dividimos el problema en dos integrales separadas y usamos la fórmula A = |A₁| + |A₂|.
🔍 Truco clave: Cuando una función cruza el eje X, divide el problema en regiones y suma los valores absolutos de las áreas para obtener el área total.
Al enfrentarte a integrales con funciones complejas como f(x) = xe^, la sustitución se convierte en tu mejor aliada para simplificar el problema. Este método transforma una integral compleja en una más sencilla.
Para resolver el área entre f(x) = xe^ y el eje X desde x = -1 hasta x = 1, hacemos la sustitución u = x² + 1, lo que implica du = 2x dx, o dx = du/(2x):
A_1 = \int_{-1}^0 xe^{x^2+1}dx = \frac{1}{2}\int_{-1}^0 e^u du = \frac{e-e^{-1}}{2} = -2,335
A_2 = \int_0^1 xe^{x^2+1}dx = e^2 - e = 2,335
El área total será la suma de los valores absolutos: A = |A₁| + |A₂| = 4,667 u².
🌟 Consejo práctico: Cuando veas productos donde una parte se parece a la derivada de otra expresión dentro de una función, considera usar sustitución.
El área entre dos curvas en un intervalo se calcula mediante la integral de la diferencia entre la función superior y la inferior:
A = \int_a^b dx
Para resolver estos problemas correctamente, debes seguir estos pasos:
Por ejemplo, para encontrar el área entre y = x² y y = x, primero encontramos los puntos de intersección: x² = x x = 0 x = 0 o x = 1
Esto nos da los puntos (0,0) y (1,1). Una tabla de valores nos muestra que entre x = 0 y x = 1, la función y = x está por encima de y = x².
🔍 Visualización: Crear una tabla de valores o un pequeño bosquejo te ayudará a determinar qué función es superior e inferior en cada intervalo, evitando errores comunes.
Cuando trabajas con funciones que se intersectan en varios puntos, debes dividir el problema en regiones y analizar cada una por separado. Esto te permitirá aplicar correctamente la fórmula del área entre curvas.
Continuando con el ejemplo anterior de y = x² y y = x, calculamos: A = \int_0^1 dx = \left \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right_0^1 = \frac{1}{6} \text{ u}^2
Para un ejemplo más complejo, si tenemos f(x) = x³ - 3x + 3 y g(x) = x + 3, primero encontramos los puntos de intersección resolviendo: x^3 - 3x + 3 = x + 3 x^3 - 4x = 0 x = 0
Obtenemos x₁ = 0, x₂ = 2, x₃ = -2, con coordenadas (0,3), (2,5) y (-2,1).
⚠️ Punto clave: Identifica los puntos críticos de las funciones para determinar los máximos y mínimos locales. Esto te ayudará a visualizar qué función está por encima en cada intervalo.
Para calcular el área total entre las curvas f(x) = x³ - 3x + 3 y g(x) = x + 3 que se intersectan en múltiples puntos, debemos dividir el cálculo en regiones específicas.
Primero calculamos el área de la región entre x = -2 y x = 0: A_1 = \int_{-2}^0 dx = \int_{-2}^0 dx = 4 \text{ u}^2
Luego calculamos el área de la región entre x = 0 y x = 2: A_2 = \int_0^2 dx = 4 \text{ u}^2
El área total entre las curvas es la suma: A = A₁ + A₂ = 8 u².
La tabla de valores confirma nuestra solución:
| x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| y = x + 3 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| y = x³ - 3x + 3 | 1 | 5 | 3 | 1 | 5 |
💡 Estrategia ganadora: Organiza tu trabajo por regiones y verifica con una tabla de valores para asegurarte de identificar correctamente qué función está por encima en cada intervalo.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
¡Sí lo es! Tienes acceso totalmente gratuito a todo el contenido de la app, puedes chatear con otros alumnos y recibir ayuda inmeditamente. Puedes ganar dinero utilizando la aplicación, que te permitirá acceder a determinadas funciones.
App Store
Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuaria de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuaria de Android
Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
usuaria de Android
Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuaria de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuaria de Android
Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
usuaria de Android
Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
Saray :D
@ara2911
El cálculo diferencial e integral es una herramienta matemática fundamental que te permite analizar cambios y acumular valores. En estas notas exploraremos la integral definida y su aplicación para calcular áreas bajo curvas y entre funciones, conceptos que te serán... Mostrar más
Acceso a todos los documentos
Mejora tus notas
Únete a millones de estudiantes
Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.
La integral definida es una poderosa herramienta matemática que nos permite calcular el área bajo una curva o el efecto acumulado de una función. Si tienes una función f(x) con antiderivada F(x) y ambas son continuas en un intervalo , la integral definida se expresa así:
\int_a^b f(x)dx = _a^b = F(b) - F(a)
Esta fórmula nos permite resolver problemas prácticos como el siguiente: si una empresa tiene una función de costo marginal C'(x) = 23,5 - 0,01x, podemos calcular el incremento en el costo total cuando la producción aumenta de 1.000 a 1.500 unidades mediante:
C(x) = \int_{1000}^{1500} dx = _{1000}^{1500} = 5.500
💡 Recuerda: La integral definida representa la diferencia entre el valor de la antiderivada evaluada en el límite superior menos el límite inferior.
Acceso a todos los documentos
Mejora tus notas
Únete a millones de estudiantes
Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.
El área bajo una curva es una aplicación directa de la integral definida. Para calcular el área entre una función y el eje X en un intervalo , usamos:
A = \int_a^b f(x) dx
Por ejemplo, para encontrar el área entre y = x² y el eje X desde x = 0 hasta x = 2: A = \int_0^2 x^2 dx = \left\frac{x^3}{3}\right_0^2 = \frac{8}{3} \text{ u}^2
Para áreas más complejas, como el caso entre y = x² - 4 y las líneas x = -1, x = 3 y el eje X, debemos sumar las áreas absolutas de las regiones. En este caso, dividimos el problema en dos integrales separadas y usamos la fórmula A = |A₁| + |A₂|.
🔍 Truco clave: Cuando una función cruza el eje X, divide el problema en regiones y suma los valores absolutos de las áreas para obtener el área total.
Acceso a todos los documentos
Mejora tus notas
Únete a millones de estudiantes
Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.
Al enfrentarte a integrales con funciones complejas como f(x) = xe^, la sustitución se convierte en tu mejor aliada para simplificar el problema. Este método transforma una integral compleja en una más sencilla.
Para resolver el área entre f(x) = xe^ y el eje X desde x = -1 hasta x = 1, hacemos la sustitución u = x² + 1, lo que implica du = 2x dx, o dx = du/(2x):
A_1 = \int_{-1}^0 xe^{x^2+1}dx = \frac{1}{2}\int_{-1}^0 e^u du = \frac{e-e^{-1}}{2} = -2,335
A_2 = \int_0^1 xe^{x^2+1}dx = e^2 - e = 2,335
El área total será la suma de los valores absolutos: A = |A₁| + |A₂| = 4,667 u².
🌟 Consejo práctico: Cuando veas productos donde una parte se parece a la derivada de otra expresión dentro de una función, considera usar sustitución.
Acceso a todos los documentos
Mejora tus notas
Únete a millones de estudiantes
Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.
El área entre dos curvas en un intervalo se calcula mediante la integral de la diferencia entre la función superior y la inferior:
A = \int_a^b dx
Para resolver estos problemas correctamente, debes seguir estos pasos:
Por ejemplo, para encontrar el área entre y = x² y y = x, primero encontramos los puntos de intersección: x² = x x = 0 x = 0 o x = 1
Esto nos da los puntos (0,0) y (1,1). Una tabla de valores nos muestra que entre x = 0 y x = 1, la función y = x está por encima de y = x².
🔍 Visualización: Crear una tabla de valores o un pequeño bosquejo te ayudará a determinar qué función es superior e inferior en cada intervalo, evitando errores comunes.
Acceso a todos los documentos
Mejora tus notas
Únete a millones de estudiantes
Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.
Cuando trabajas con funciones que se intersectan en varios puntos, debes dividir el problema en regiones y analizar cada una por separado. Esto te permitirá aplicar correctamente la fórmula del área entre curvas.
Continuando con el ejemplo anterior de y = x² y y = x, calculamos: A = \int_0^1 dx = \left \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right_0^1 = \frac{1}{6} \text{ u}^2
Para un ejemplo más complejo, si tenemos f(x) = x³ - 3x + 3 y g(x) = x + 3, primero encontramos los puntos de intersección resolviendo: x^3 - 3x + 3 = x + 3 x^3 - 4x = 0 x = 0
Obtenemos x₁ = 0, x₂ = 2, x₃ = -2, con coordenadas (0,3), (2,5) y (-2,1).
⚠️ Punto clave: Identifica los puntos críticos de las funciones para determinar los máximos y mínimos locales. Esto te ayudará a visualizar qué función está por encima en cada intervalo.
Acceso a todos los documentos
Mejora tus notas
Únete a millones de estudiantes
Al registrarte aceptas las Condiciones del servicio y la Política de privacidad.
Para calcular el área total entre las curvas f(x) = x³ - 3x + 3 y g(x) = x + 3 que se intersectan en múltiples puntos, debemos dividir el cálculo en regiones específicas.
Primero calculamos el área de la región entre x = -2 y x = 0: A_1 = \int_{-2}^0 dx = \int_{-2}^0 dx = 4 \text{ u}^2
Luego calculamos el área de la región entre x = 0 y x = 2: A_2 = \int_0^2 dx = 4 \text{ u}^2
El área total entre las curvas es la suma: A = A₁ + A₂ = 8 u².
La tabla de valores confirma nuestra solución:
| x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| y = x + 3 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| y = x³ - 3x + 3 | 1 | 5 | 3 | 1 | 5 |
💡 Estrategia ganadora: Organiza tu trabajo por regiones y verifica con una tabla de valores para asegurarte de identificar correctamente qué función está por encima en cada intervalo.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
¡Sí lo es! Tienes acceso totalmente gratuito a todo el contenido de la app, puedes chatear con otros alumnos y recibir ayuda inmeditamente. Puedes ganar dinero utilizando la aplicación, que te permitirá acceder a determinadas funciones.
2
Herramientas Inteligentes NUEVO
Transforma estos apuntes en: ✓ 50+ Preguntas de Práctica ✓ Fichas Interactivas ✓ Examen Completo de Práctica ✓ Esquemas de Ensayo
App Store
Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuaria de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuaria de Android
Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
usuaria de Android
Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuaria de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuaria de Android
Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
usuaria de Android
Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
Matemáticas
Inglés
Biologia
Química