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Saray :D
14/12/2025
Matemáticas
Integracion por Fracciones Parciales
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14 de dic de 2025
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Saray :D
@ara2911
¡Prepárate para dominar uno de los métodos más útiles del... Mostrar más
Antes de meternos en las fracciones parciales, necesitás recordar algunos conceptos básicos que van a ser súper importantes.
Las fracciones propias tienen un numerador menor que el denominador , mientras que las fracciones impropias tienen un numerador mayor . Esto mismo aplica para las fracciones algebraicas, pero con polinomios.
El grado de un polinomio es simplemente el exponente más grande de la variable. Por ejemplo, en 3x³ + 2x² - x + 4, el grado es 3. Una fracción algebraica es P(x)/Q(x), donde tanto P(x) como Q(x) son polinomios.
¡Dato clave! Si tenés una fracción algebraica impropia, podés convertirla en mixta haciendo la división larga de polinomios. Esto va a ser fundamental para aplicar fracciones parciales.
El método de integración por fracciones parciales es tu mejor amigo cuando necesitás integrar funciones racionales. La idea es descomponer una fracción complicada en varias más simples.
Existen cuatro casos principales según el tipo de denominador: factores lineales no repetidos, factores lineales repetidos, factores cuadráticos irreducibles no repetidos, y factores cuadráticos repetidos.
Antes de aplicar cualquier caso, seguí estos pasos: factorizar los polinomios, determinar si la fracción es propia o impropia, y si es impropia, hacer la división para expresarla como C(x) + R(x)/Q(x).
¡Tip importante! Siempre verificá primero si tu fracción es propia o impropia. ¡Este paso te puede ahorrar mucho tiempo y errores!
Cuando el denominador Q(x) se factoriza en factores lineales diferentes , podés descomponer la fracción en fracciones más simples con constantes A, B, etc.
Para resolver ∫/dx, primero factorizás: x²+2x-3 = . Luego escribís / = A/ + B/.
Para encontrar A y B, multiplicás ambos lados por y sustituís valores estratégicos de x. Con x = -3 encontrás A = 3, y con x = 1 encontrás B = 2.
¡Truco genial! Elegí valores de x que anulen uno de los términos. Esto hace que encontrar las constantes sea súper fácil.
La integral final queda: 3ln|x+3| + 2ln|x-1| + C.
Cuando tenés una fracción impropia como ∫/dx, primero hacés la división larga de polinomios. El grado del numerador (3) es mayor que el del denominador (2), así que es impropia.
Al dividir 2x³+x-1 entre x²+5x, obtenés: cociente C(x) = 2x-10 y residuo R(x) = 51x-1. Tu integral se convierte en: ∫dx + ∫/dx.
Para la segunda parte, aplicás fracciones parciales: / = A/x + B/. Encontrás A = -1/5 y B = 256/5 usando el método de sustitución.
¡No te olvides! La integral de 2x-10 es x²-10x. ¡Es la parte más fácil del problema!
El resultado final es: x² - 10x - (1/5)ln|x| + (256/5)ln|x+5| + C.
Cuando tenés factores lineales que se repiten , necesitás una fracción parcial para cada potencia del factor, desde 1 hasta n.
Para ∫/dx, escribís: / = A/x + B/ + C/².
Multiplicás por x² para obtener: 2x²+1 = A² + Bx + Cx. Expandís y usás sustitución estratégica: con x = 0 encontrás A = 1/9, con x = 3 obtenés C = 19/3.
Para encontrar B, sustituís cualquier otro valor y usás los valores ya conocidos de A y C. Resulta B = 13/9.
¡Cuidado con las potencias! Recordá que ∫1/²dx = -1/, no logaritmo natural.
El resultado es: (1/9)ln|x| + (13/9)ln|x-3| - 19/ + C.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
Puedes descargar la app en Google Play Store y Apple App Store.
¡Sí lo es! Tienes acceso totalmente gratuito a todo el contenido de la app, puedes chatear con otros alumnos y recibir ayuda inmeditamente. Puedes ganar dinero utilizando la aplicación, que te permitirá acceder a determinadas funciones.
App Store
Google Play
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuaria de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuaria de Android
Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
usuario de iOS
Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
usuaria de Android
Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
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Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
usuario de iOS
Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuaria de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
usuario de Android
Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
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Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
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Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
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Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
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Saray :D
@ara2911
¡Prepárate para dominar uno de los métodos más útiles del cálculo integral! Las fracciones parciales te permiten resolver integrales complicadas dividiéndolas en pedazos más manejables. Es como desarmar un rompecabezas matemático para resolverlo paso a paso.
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Antes de meternos en las fracciones parciales, necesitás recordar algunos conceptos básicos que van a ser súper importantes.
Las fracciones propias tienen un numerador menor que el denominador , mientras que las fracciones impropias tienen un numerador mayor . Esto mismo aplica para las fracciones algebraicas, pero con polinomios.
El grado de un polinomio es simplemente el exponente más grande de la variable. Por ejemplo, en 3x³ + 2x² - x + 4, el grado es 3. Una fracción algebraica es P(x)/Q(x), donde tanto P(x) como Q(x) son polinomios.
¡Dato clave! Si tenés una fracción algebraica impropia, podés convertirla en mixta haciendo la división larga de polinomios. Esto va a ser fundamental para aplicar fracciones parciales.
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El método de integración por fracciones parciales es tu mejor amigo cuando necesitás integrar funciones racionales. La idea es descomponer una fracción complicada en varias más simples.
Existen cuatro casos principales según el tipo de denominador: factores lineales no repetidos, factores lineales repetidos, factores cuadráticos irreducibles no repetidos, y factores cuadráticos repetidos.
Antes de aplicar cualquier caso, seguí estos pasos: factorizar los polinomios, determinar si la fracción es propia o impropia, y si es impropia, hacer la división para expresarla como C(x) + R(x)/Q(x).
¡Tip importante! Siempre verificá primero si tu fracción es propia o impropia. ¡Este paso te puede ahorrar mucho tiempo y errores!
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Cuando el denominador Q(x) se factoriza en factores lineales diferentes , podés descomponer la fracción en fracciones más simples con constantes A, B, etc.
Para resolver ∫/dx, primero factorizás: x²+2x-3 = . Luego escribís / = A/ + B/.
Para encontrar A y B, multiplicás ambos lados por y sustituís valores estratégicos de x. Con x = -3 encontrás A = 3, y con x = 1 encontrás B = 2.
¡Truco genial! Elegí valores de x que anulen uno de los términos. Esto hace que encontrar las constantes sea súper fácil.
La integral final queda: 3ln|x+3| + 2ln|x-1| + C.
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Cuando tenés una fracción impropia como ∫/dx, primero hacés la división larga de polinomios. El grado del numerador (3) es mayor que el del denominador (2), así que es impropia.
Al dividir 2x³+x-1 entre x²+5x, obtenés: cociente C(x) = 2x-10 y residuo R(x) = 51x-1. Tu integral se convierte en: ∫dx + ∫/dx.
Para la segunda parte, aplicás fracciones parciales: / = A/x + B/. Encontrás A = -1/5 y B = 256/5 usando el método de sustitución.
¡No te olvides! La integral de 2x-10 es x²-10x. ¡Es la parte más fácil del problema!
El resultado final es: x² - 10x - (1/5)ln|x| + (256/5)ln|x+5| + C.
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Cuando tenés factores lineales que se repiten , necesitás una fracción parcial para cada potencia del factor, desde 1 hasta n.
Para ∫/dx, escribís: / = A/x + B/ + C/².
Multiplicás por x² para obtener: 2x²+1 = A² + Bx + Cx. Expandís y usás sustitución estratégica: con x = 0 encontrás A = 1/9, con x = 3 obtenés C = 19/3.
Para encontrar B, sustituís cualquier otro valor y usás los valores ya conocidos de A y C. Resulta B = 13/9.
¡Cuidado con las potencias! Recordá que ∫1/²dx = -1/, no logaritmo natural.
El resultado es: (1/9)ln|x| + (13/9)ln|x-3| - 19/ + C.
Nuestro compañero de IA está específicamente adaptado a las necesidades de los estudiantes. Basándonos en los millones de contenidos que tenemos en la plataforma, podemos dar a los estudiantes respuestas realmente significativas y relevantes. Pero no se trata solo de respuestas, el compañero también guía a los estudiantes a través de sus retos de aprendizaje diarios, con planes de aprendizaje personalizados, cuestionarios o contenidos en el chat y una personalización del 100% basada en las habilidades y el desarrollo de los estudiantes.
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La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
usuaria de Android
Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
usuaria de iOS
Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
usuaria de Android
A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
David K
usuario de iOS
¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
usuaria de Android
En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
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Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
Julia S
usuaria de Android
Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
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Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
Sarah L
usuaria de Android
Antes pasaba horas buscando en Google materiales escolares, pero ahora solo subo mis cosas a Knowunity y reviso los útiles resúmenes de otros - me siento mucho más seguro al prepararme para los exámenes.
Paul T
usuario de iOS
La app es muy fácil de usar y está muy bien diseñada. Hasta ahora he encontrado todo lo que estaba buscando y he podido aprender mucho de las presentaciones. Definitivamente utilizaré la aplicación para un examen de clase. Y, por supuesto, también me sirve mucho de inspiración.
Pablo
usuario de iOS
Esta app es realmente genial. Hay tantos apuntes de clase y ayuda [...]. Tengo problemas con matemáticas, por ejemplo, y la aplicación tiene muchas opciones de ayuda. Gracias a Knowunity, he mejorado en mates. Se la recomiendo a todo el mundo.
Elena
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Vaya, estoy realmente sorprendida. Acabo de probar la app porque la he visto anunciada muchas veces y me he quedado absolutamente alucinada. Esta app es LA AYUDA que quieres para el insti y, sobre todo, ofrece muchísimas cosas, como ejercicios y hojas informativas, que a mí personalmente me han sido MUY útiles.
Ana
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Solía tener problemas para completar mis tareas a tiempo hasta que descubrí Knowunity, que no solo facilita subir mi propio contenido sino que también proporciona excelentes resúmenes que hacen mi trabajo más rápido y eficiente.
Thomas R
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Siempre era un desafío encontrar toda la información importante para mis tareas – desde que comencé a usar Knowunity, puedo simplemente subir mi contenido y beneficiarme de los resúmenes de otros, lo que me ayuda mucho con la organización.
Lisa M
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A menudo sentía que no tenía suficiente visión general al estudiar, pero desde que comencé a usar Knowunity, eso ya no es un problema – subo mi contenido y siempre encuentro resúmenes útiles en la plataforma, lo que hace mi aprendizaje mucho más fácil.
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¡La app es buenísima! Sólo tengo que introducir el tema en la barra de búsqueda y recibo la respuesta muy rápido. No tengo que ver 10 vídeos de YouTube para entender algo, así que me ahorro tiempo. ¡Muy recomendable!
Sara
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En el instituto era muy malo en matemáticas, pero gracias a la app, ahora saco mejores notas. Os agradezco mucho que hayáis creado la aplicación.
Roberto
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Solía ser realmente difícil recopilar toda la información para mis presentaciones. Pero desde que comencé a usar Knowunity, solo subo mis apuntes y encuentro increíbles resúmenes de otros – ¡hace mi estudio mucho más eficiente!
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Estaba constantemente estresado con todo el material de estudio, pero desde que comencé a usar Knowunity, subo mis cosas y reviso los geniales resúmenes de otros – realmente me ayuda a gestionar todo mejor y es mucho menos estresante.
Marco B
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Siempre fue difícil encontrar los materiales adecuados para mis tareas. Ahora solo subo mis apuntes a Knowunity y obtengo los mejores resúmenes de otros - realmente me ayuda a entender todo más rápido y mejora mis notas.
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