Funciones Racionales y sus Propiedades

Las funciones racionales son aquellas que se expresan como el cociente de dos expresiones algebraicas. En particular, estudiaremos funciones de la forma f(x) = a/$x+a$ donde a es un número real.

Recordemos que los números racionales (fracciones) tienen la forma a/b donde a y b son números reales y b no puede ser cero. Por ejemplo: -3, 1/2, 0/-4 son números racionales. Cuando el denominador es cero $a/0$, la expresión es indeterminada.

En el caso de la función f(x) = 1/$x+1$, tenemos una restricción importante: el denominador no puede ser cero. Esto significa que x+1 ≠ 0, por lo tanto x ≠ -1. Esta restricción afectará el dominio de nuestra función.

💡 Cuando trabajas con funciones racionales, siempre identifica los valores que hacen el denominador igual a cero, pues estos valores no pertenecen al dominio de la función.

Análisis de la Función f(x) = 1/$x+1$

Cuando calculamos valores para esta función, obtenemos diferentes resultados dependiendo del valor de x. Por ejemplo:

• Si x = -4, entonces f(-4) = 1/(-4+1) = 1/(-3) = -0,3
• Si x = -2, entonces f(-2) = 1/(-2+1) = 1/(-1) = -1
• Si x = 0, entonces f(0) = 1/(0+1) = 1/1 = 1

Al analizar la función f(x) = 1/$x+1$ encontramos sus características principales:

• Dominio: ℝ - {-1} $todos los números reales excepto -1$
• Rango: ℝ - {0} (todos los números reales excepto 0)
• No tiene intercepto con el eje x
• El intercepto con el eje y está en (0,1)

La función tiene dos asíntotas: una vertical en x = -1 y una horizontal en y = 0. Además, es decreciente en todo su dominio, es decir, en los intervalos (-∞, -1) y (-1, +∞).

Ejemplo: f(x) = 1/$2-x$

Ahora analicemos otra función racional: f(x) = 1/$2-x$. En esta función, la restricción es 2-x ≠ 0, lo que significa que x ≠ 2.

Calculando algunos valores para esta función:

• Para x = -1: f(-1) = 1/(2-(-1)) = 1/3 = 0,3
• Para x = 0: f(0) = 1/(2-0) = 1/2 = 0,5
• Para x = 1: f(1) = 1/(2-1) = 1/1 = 1
• Para x = 3: f(3) = 1/(2-3) = 1/(-1) = -1

Si seguimos calculando valores como f(4) = -0,5 y f(5) = -0,3, comenzamos a ver un patrón. La función se acerca a cero cuando x se aleja de 2, pero nunca llega a cruzar el eje x.

🔍 Cuando grafiques funciones racionales, calcula suficientes puntos a ambos lados de la asíntota vertical para visualizar correctamente el comportamiento de la curva.

Características de f(x) = 1/$2-x$

Al analizar en detalle la función f(x) = 1/$2-x$, podemos identificar sus propiedades fundamentales:

El dominio es ℝ-{2}, es decir, todos los números reales excepto 2. El rango es ℝ-{0}, o sea, todos los números reales excepto 0. Esto ocurre porque la función nunca toma el valor y = 0.

Esta función no tiene intercepto con el eje x, pero sí tiene un intercepto con el eje y en el punto (0, 0.5). Además, presenta dos asíntotas importantes:

• Asíntota vertical: x = 2
• Asíntota horizontal: y = 0

A diferencia del ejemplo anterior, esta función es creciente en todo su dominio, tanto en el intervalo (-∞, 2) como en (2, +∞). Esto significa que los valores de y aumentan conforme x aumenta $excepto en la discontinuidad en x = 2$.