Funciones Definidas a Trozos

Una función definida a trozos es aquella que utiliza diferentes expresiones algebraicas dependiendo del valor de la variable independiente. Imagina que tienes varias "recetas" matemáticas y debes elegir cuál usar según el valor de entrada.

El dominio de estas funciones está dividido en intervalos disyuntos (que no se solapan), y para cada intervalo aplicamos una fórmula diferente. Por ejemplo:

$f(x) = \begin{cases} x+2 & \text{Si } x<1 & (-\infty, 1) \ x^2-2 & \text{Si } 1 \le x \le 3 & [1, 3] \ 3 & \text{Si } x>3 & (3,\infty) \end{cases}$

Al graficar esta función, obtenemos diferentes "trozos" que siguen comportamientos distintos. El dominio total es la unión de todos los intervalos: $(-∞, 1)∪[1,3]∪(3,∞)$ y su rango es $(-∞, 7]$.

💡 Consejo útil: Para evaluar una función a trozos, primero identifica en qué intervalo se encuentra el valor de x, luego aplica la expresión correspondiente a ese intervalo.

Graficación de Funciones a Trozos

Para graficar funciones a trozos, debemos analizar cada "trozo" por separado. Tomemos como ejemplo:

$f(x) = \begin{cases} 2x + 3 & \text{Si } x > 0 \ 3 - 2x & \text{Si } x \le 0 \end{cases}$

Cuando trabajamos con esta función, primero identificamos los intervalos: $(-∞,0]$ y $(0,∞)$. Luego, calculamos algunos puntos para cada intervalo y los graficamos por separado.

Para valores como $x = -2, -1, 0$ usamos la expresión $3-2x$, obteniendo$y = 7, 5, 3$respectivamente. Para valores como$x = 1, 2, 3$usamos$2x+3$, obteniendo$y = 5, 7, 9$.

Al unir estos "trozos" en una sola gráfica, notamos que el dominio completo es $(-∞,0]∪(0,∞) = \mathbb{R}$ y el rango es $[3,∞)$.

🔍 Observación clave: Fíjate que en el punto $x=0$ ambas expresiones dan el mismo valor $y=3$. Esto no siempre ocurre, y cuando no coinciden, la función presenta discontinuidades.